In der Mathematik, in Anbetracht einer Primzahl p, ist eine P-Gruppe' eine periodische Gruppe, in der jedes Element eine Macht von p als seine Ordnung hat: Jedes Element ist der Hauptmacht-Ordnung. D. h. für jedes Element g der Gruppe, dort besteht eine natürliche Zahl n solch, dass g zur Macht p dem Identitätselement gleich ist. Solche Gruppen werden auch p-primary' oder einfach primär genannt.

Eine begrenzte Gruppe ist eine P-Gruppe, wenn, und nur wenn seine Ordnung (die Zahl seiner Elemente) eine Macht von p ist. Der Rest dieses Artikels befasst sich mit begrenzten P-Gruppen. Für ein Beispiel einer unendlichen abelian P-Gruppe, sieh Gruppe von Prüfer, und für ein Beispiel einer unendlichen einfachen P-Gruppe, sieh Ungeheuer-Gruppe von Tarski.

Eigenschaften

Ziemlich viel ist über die Struktur von begrenzten P-Gruppen bekannt.

Nichttriviales Zentrum

Eines der ersten Standardergebnisse mit der Klassengleichung ist, dass das Zentrum einer nichttrivialen begrenzten P-Gruppe die triviale Untergruppe (Beweis) nicht sein kann.

Das bildet die Basis für viele induktive Methoden in P-Gruppen.

Zum Beispiel enthält der normalizer N einer richtigen Untergruppe H einer begrenzten P-Gruppe G richtig H, weil für jedes Gegenbeispiel mit H=N das Zentrum Z in N, und also auch in H enthalten wird, aber dann gibt es ein kleineres Beispiel H/Z, dessen normalizer in G/Z N/Z=H/Z ist, einen unendlichen Abstieg schaffend. Als eine Folgeerscheinung ist jede begrenzte P-Gruppe nilpotent.

In einer anderen Richtung schneidet jede normale Untergruppe einer begrenzten P-Gruppe das Zentrum nichttrivial durch. Insbesondere jede minimale normale Untergruppe einer begrenzten P-Gruppe ist des Auftrags p und enthalten im Zentrum. Tatsächlich ist der Sockel einer begrenzten P-Gruppe die Untergruppe des Zentrums, das aus den Hauptelementen des Auftrags p besteht.

Wenn G eine P-Gruppe ist, dann auch ist G/Z, und so hat es auch ein nichttriviales Zentrum. Das Vorimage in G des Zentrums von G/Z wird das zweite Zentrum genannt, und diese Gruppen beginnen die obere Hauptreihe. Die früheren Anmerkungen über den Sockel verallgemeinernd, enthält eine begrenzte P-Gruppe mit dem Auftrag p normale Untergruppen des Auftrags p mit 0  i  n, und jede normale Untergruppe des Auftrags p wird im ith Zentrum Z enthalten. Wenn eine normale Untergruppe in Z nicht enthalten wird, dann hat seine Kreuzung mit Z Größe mindestens p.

Automorphisms

Die automorphism Gruppen von P-Gruppen werden gut studiert. Da jede begrenzte P-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat, so dass die innere automorphism Gruppe ein richtiger Quotient der Gruppe ist, hat jede begrenzte P-Gruppe eine nichttriviale automorphism Außengruppe. Jeder automorphism von G veranlasst einen automorphism auf G/Φ (G), wo Φ (G) die Untergruppe von Frattini von G ist. Der Quotient G/Φ (G) ist eine elementare abelian Gruppe, und seine automorphism Gruppe ist eine allgemeine geradlinige Gruppe, also sehr gut verstanden. Die Karte von der automorphism Gruppe von G in diese allgemeine geradlinige Gruppe ist von Burnside studiert worden, der gezeigt hat, dass der Kern dieser Karte eine P-Gruppe ist.

Beispiele

P-Gruppen derselben Ordnung sind nicht notwendigerweise isomorph; zum Beispiel sind die zyklische Gruppe C und die Gruppe von Klein V beide 2 Gruppen des Auftrags 4, aber sie sind nicht isomorph.

Noch brauche eine P-Gruppe, abelian zu sein; die zweiflächige Gruppe Dih des Auftrags 8 ist ein non-abelian 2-Gruppen-. Jedoch ist jede Gruppe des Auftrags p abelian.

Die zweiflächigen Gruppen sind dem sowohl sehr ähnlich als auch von den quaternion Gruppen und den halbzweiflächigen Gruppen sehr unterschiedlich. Zusammen bilden der Dieder, der Halbdieder und die quaternion Gruppen die 2 Gruppen der maximalen Klasse, die jene Gruppen des Auftrags 2 und der nilpotency Klasse n ist.

Wiederholte Kranz-Produkte

Die wiederholten Kranz-Produkte von zyklischen Gruppen des Auftrags p sind sehr wichtige Beispiele von P-Gruppen. Zeigen Sie die zyklische Gruppe des Auftrags p als W (1), und das Kranz-Produkt von W (n) mit W (1) als W (n+1) an. Dann W ist (n) die P-Untergruppe von Sylow der symmetrischen Gruppe Sym (p). Maximale P-Untergruppen der allgemeinen geradlinigen Gruppe sind GL (n, Q) direkte Produkte von verschiedenem W (n). Es hat Auftrag p wo k = (p1) / (p1). Es hat nilpotency Klasse p, und seine niedrigere Hauptreihe, obere Hauptreihe, niedrigere Hochzahl-p Hauptreihe und obere Hochzahl-p Hauptreihen sind gleich. Es wird durch seine Elemente des Auftrags p erzeugt, aber seine Hochzahl ist p. Das zweite solche Gruppe, W (2), ist auch eine P-Gruppe der maximalen Klasse, da es Auftrag p und nilpotency Klasse p hat, aber ist nicht eine regelmäßige P-Gruppe. Da Gruppen des Auftrags p immer regelmäßige Gruppen sind, ist es auch ein minimaler solches Beispiel.

Verallgemeinerte zweiflächige Gruppen

Wenn p=2 und n=2, W (n) die zweiflächige Gruppe des Auftrags 8 sind, so in einem Sinn W stellt (n) eine Entsprechung für die zweiflächige Gruppe für die ganze Blüte p wenn n=2 zur Verfügung. Jedoch, für höher n die Analogie wird gespannt. Es gibt eine verschiedene Familie von Beispielen, die näher die zweiflächigen Gruppen des Auftrags 2 nachahmt, aber das verlangt ein bisschen mehr Einstellung. Lassen Sie ζ eine primitive pth Wurzel der Einheit in den komplexen Zahlen anzeigen, und Z [ζ] der Ring von cyclotomic ganzen Zahlen sein lassen, die dadurch erzeugt sind, und P das durch 1 ζ erzeugte Hauptideal sein zu lassen. Lassen Sie G eine zyklische Gruppe des Auftrags p sein, der durch ein Element z erzeugt ist. Bilden Sie das halbdirekte Produkt E (p) Z [ζ] und G, wo z als Multiplikation durch ζ handelt. Die Mächte P sind normale Untergruppen von E (p), und die Beispiel-Gruppen sind E (p, n) = E (p)/P. E (p, n) hat Auftrag p und nilpotency Klasse n, auch ist eine P-Gruppe der maximalen Klasse. Wenn p=2, E (2, n) die zweiflächige Gruppe des Auftrags 2 ist. Wenn p, sowohl W (2) als auch E seltsam ist (p, p) sind unregelmäßige Gruppen der maximalen Klasse und des Auftrags p, aber sind nicht isomorph.

Matrixgruppen von Unitriangular

Die Sylow Untergruppen von allgemeinen geradlinigen Gruppen sind eine andere grundsätzliche Familie von Beispielen. Lassen Sie V ein Vektorraum der Dimension n mit der Basis {e, e, …, e} sein und V zu definieren, um der Vektorraum zu sein, der durch {e, e, …, e} für 1  i  n erzeugt ist, und V = 0 wenn ich &gt zu definieren; n. Für jede 1  M  n der Satz von invertible geradlinigen Transformationen V, die bringen, formt sich jeder V zu V eine Untergruppe von Aut (V) hat U angezeigt. Wenn V ein Vektorraum über Z/pZ ist, dann ist U eine P-Untergruppe von Sylow von Aut (V) = GL (n, p), und die Begriffe seiner niedrigeren Hauptreihe sind gerade der U. In Bezug auf matrices sind U jene oberen dreieckigen matrices mit 1s ein die Diagonale und der 0s auf den ersten m1 Superdiagonalen. Die Gruppe U hat Auftrag p, nilpotency Klasse n und Hochzahl p, wo k kleinste ganze Zahl mindestens so groß ist wie die Basis p Logarithmus von n.

Klassifikation

Die Gruppen des Auftrags p für 0  n  4 wurden früh in der Geschichte der Gruppentheorie klassifiziert, und moderne Arbeit hat diese Klassifikationen zu Gruppen erweitert, deren Ordnung p teilt, obwohl die bloße Zahl von Familien solcher Gruppen so schnell wächst, dass weitere Klassifikationen entlang diesen Linien schwierig für den Menschenverstand beurteilt werden umzufassen. Ein Beispiel ist, der Gruppen der Ordnung klassifiziert.

Anstatt die Gruppen durch die Ordnung zu klassifizieren, hat Philip Hall vorgehabt, einen Begriff von isoclinism von Gruppen zu verwenden, die begrenzte P-Gruppen in Familien gesammelt haben, die auf dem großen Quotienten und den Untergruppen gestützt sind.

Eine völlig verschiedene Methode klassifiziert begrenzte P-Gruppen durch ihren coclass, d. h. den Unterschied zwischen ihrer Zusammensetzungslänge und ihrer nilpotency Klasse. Die so genannten Coclass-Vermutungen haben den Satz aller begrenzten P-Gruppen von festem coclass als Unruhen von begrenzt vielen Stütze-Gruppen beschrieben. Die Coclass-Vermutungen wurden in den 1980er Jahren mit Techniken bewiesen, die verbunden sind, um Algebra und mächtige P-Gruppen Zu liegen.

Vorherrschen

Unter Gruppen

Die Zahl von Isomorphismus-Klassen von Gruppen des Auftrags p wächst als, und diese werden durch die Klassen beherrscht, die Two-Stepp nilpotent sind. Wegen dieses schnellen Wachstums gibt es eine Folklorevermutung behauptend, dass fast alle begrenzten Gruppen 2 Gruppen sind: Wie man denkt, neigt der Bruchteil von Isomorphismus-Klassen von 2 Gruppen unter Isomorphismus-Klassen von Gruppen der Ordnung am grössten Teil von n zu 1, weil n zur Unendlichkeit neigt. Zum Beispiel, der 49 910 529 484 verschiedenen Gruppen der Ordnung höchstens 2000, 49 487 365 422, oder gerade mehr als 99 %, sind 2 Gruppen des Auftrags 1024.

Innerhalb einer Gruppe

Jede begrenzte Gruppe, deren Ordnung durch p teilbar ist, enthält eine Untergruppe, die eine nichttriviale P-Gruppe, nämlich eine zyklische Gruppe des Auftrags p ist, der durch ein Element des beim Lehrsatz von Cauchy erhaltenen Auftrags p erzeugt ist. Tatsächlich enthält es eine P-Gruppe der maximalen möglichen Ordnung: Wenn, wo p M nicht teilt, dann hat G eine Untergruppe P der Ordnung, eine P-Untergruppe von Sylow genannt hat. Diese Untergruppe braucht nicht einzigartig zu sein, aber irgendwelche Untergruppen dieser Ordnung sind verbunden, und jede P-Untergruppe von G wird in einer P-Untergruppe von Sylow enthalten. Das und andere Eigenschaften werden in den Lehrsätzen von Sylow bewiesen.

Anwendung auf die Struktur einer Gruppe

P-Gruppen sind grundsätzliche Werkzeuge im Verstehen der Struktur von Gruppen und in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen. P-Gruppen entstehen sowohl als Untergruppen als auch als Quotient-Gruppen. Als Untergruppen für einen gegebenen ersten p hat man die P-Untergruppen von Sylow P (größte nicht einzigartige P-Untergruppe, aber alle paaren sich), und der P-Kern (die einzigartige größte normale P-Untergruppe), und verschieden andere. Als Quotienten ist der größte P-Gruppenquotient der Quotient von G durch die p-residual Untergruppe Diese Gruppen sind (für die verschiedene Blüte) verbunden, besitzen wichtige Eigenschaften wie der im Brennpunkt stehende Untergruppe-Lehrsatz, und erlauben, viele Aspekte der Struktur der Gruppe zu bestimmen.

Lokale Kontrolle

Viel von der Struktur einer begrenzten Gruppe wird in der Struktur seiner so genannten lokalen Untergruppen, dem normalizers von NichtidentitätsP-Untergruppen getragen.

Die großen elementaren abelian Untergruppen einer begrenzten Gruppe üben Kontrolle über die Gruppe aus, die im Beweis des Lehrsatzes von Feit-Thompson verwendet wurde. Bestimmte Haupterweiterungen von elementaren abelian Gruppen haben gerufen extraspecial Gruppenhilfe beschreiben die Struktur von Gruppen als handelnd symplectic Vektorräume.

Brauer hat alle Gruppen klassifiziert, deren 2 Untergruppen von Sylow das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen des Auftrags 4, und Walter, Gorenstein, die Sauferei, Suzuki, Glauberman sind, und andere jene einfachen Gruppen klassifiziert haben, deren 2 Untergruppen von Sylow abelian, Dieder, Halbdieder oder quaternion waren.

Siehe auch

• Nilpotent-Gruppe
• Prüfer reihen auf
• Regelmäßige P-Gruppe

Referenzen

• Y. Berkovich, Gruppen von Hauptmacht-Ordnung, Band 1, W. de Gruyter, Berlin, 2008.
• Y. Berkovich und Z. Janko, Gruppen von Hauptmacht-Ordnung, Band 2, W. de Gruyter, Berlin, 2008.