In der Mathematik, besonders Gruppentheorie, können die Elemente jeder Gruppe in conjugacy Klassen verteilt werden; Mitglieder derselben conjugacy Klasse teilen viele Eigenschaften, und die Studie von conjugacy Klassen von non-abelian Gruppen offenbart viele wichtige Eigenschaften ihrer Struktur. In allen abelian Gruppen ist jede conjugacy Klasse ein Satz, der ein Element (Singleton-Satz) enthält.

Funktionen, die für Mitglieder derselben conjugacy Klasse unveränderlich sind, werden Klassenfunktionen genannt.

Definition

Nehmen Sie an, dass G eine Gruppe ist. Zwei Elemente a und b von G werden verbunden genannt, wenn dort ein Element g in G mit besteht

:gag = b.

(In der geradlinigen Algebra wird das Ähnlichkeit von matrices genannt.)

Es kann sogleich gezeigt werden, dass conjugacy eine Gleichwertigkeitsbeziehung und deshalb Teilungen G in Gleichwertigkeitsklassen ist. (Das bedeutet, dass jedes Element der Gruppe genau einer conjugacy Klasse gehört, und die Klassenkl. (a) und Kl. (b) gleich sind, wenn, und nur wenn a und b verbunden sind, und sonst auseinander nehmen.) Ist die Gleichwertigkeitsklasse, die das Element in G enthält

:Cl (a) = {Knebel: g  G }\

und wird die conjugacy Klasse von a genannt. Der Klassifikationsindex von G ist die Zahl von verschiedenen (nichtgleichwertigen) conjugacy Klassen.

Klassen von Conjugacy kann durch das Beschreiben von ihnen, oder kürzer durch Abkürzungen solcher als "6A", das Bedeuten verwiesen werden, dass "eine bestimmte conjugacy Klasse von Elementen des Auftrags 6", und "6B" eine verschiedene conjugacy Klasse von Elementen des Auftrags 6 sein würde; die conjugacy Klasse 1A ist die conjugacy Klasse der Identität. In einigen Fällen, conjugacy Klassen kann auf eine gleichförmige Weise - zum Beispiel auf die symmetrische Gruppe beschrieben werden sie können durch die Zyklus-Struktur beschrieben werden.

Beispiele

Die symmetrische Gruppe S, aus allen 6 Versetzungen von drei Elementen bestehend, hat drei conjugacy Klassen:

• keine Änderung (Alphabet  Alphabet)
• zwei (Alphabet  acb, Alphabet  bac, Alphabet  cba) abwechselnd
• eine zyklische Versetzung aller drei (Alphabet  bca, Alphabet  Taxi)

Die symmetrische Gruppe S, aus allen 24 Versetzungen von vier Elementen bestehend, hat fünf conjugacy Klassen, die mit ihren Zyklus-Strukturen und Ordnungen verzeichnet sind:

• (1): keine Änderung (1 Element)
• (2): das Austauschen zwei (6 Elemente)
• (3): eine zyklische Versetzung drei (8 Elemente)
• (4): eine zyklische Versetzung aller vier (6 Elemente)
• (2) (2): das Austauschen zwei und auch die anderen zwei (3 Elemente)

Im Allgemeinen ist die Zahl von conjugacy Klassen in der symmetrischen Gruppe S der Zahl von Teilungen der ganzen Zahl von n gleich. Das ist, weil jede conjugacy Klasse genau einer Teilung {1, 2..., n} in Zyklen, bis zur Versetzung der Elemente {1, 2..., n} entspricht.

Siehe auch die richtigen Folgen des Würfels, der durch Versetzungen der Körperdiagonalen charakterisiert werden kann.

Eigenschaften

• Das Identitätselement ist immer in seiner eigenen Klasse, die Kl. (e) = {e }\ist
• Wenn G abelian, dann Knebel = für den ganzen a und g in G ist; so Kl. (a) = für alle in G; das Konzept ist deshalb im abelian Fall nicht sehr nützlich. Der Misserfolg davon gibt uns so eine Idee darin, welcher Grad die Gruppe nonabelian ist.
• Wenn zwei Elemente a und b von G derselben conjugacy Klasse gehören (d. h., wenn sie verbunden sind), dann haben sie dieselbe Ordnung. Mehr allgemein, jede Behauptung über eine Dose, in eine Behauptung über b=gag übersetzt werden, weil die Karte φ (x) = gxg ein automorphism von G ist.
• Ein Element G liegt im Zentrum Z (G) von G, wenn, und nur wenn seine conjugacy Klasse nur ein Element, selbst hat. Mehr allgemein, wenn C (a) den centralizer in G, d. h., die Untergruppe anzeigt, die aus allen Elementen g solch dass ga = ag, dann der Index [G besteht: C (a)] ist der Zahl der Elemente in der conjugacy Klasse (durch den Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers) gleich.
• Wenn a und b verbunden sind, dann so sind Mächte von ihnen, und - so kth Mächte nehmend, gibt eine Karte auf conjugacy Klassen, und man kann von der conjugacy Klassen eine gegebene conjugacy Klasse "Mächte" darin sprechen. Zum Beispiel, in der symmetrischen Gruppe, ist das Quadrat eines Elements des Typs (3) (2) (ein 3-Zyklen- und ein 2-Zyklen-) ein Element des Typs (3), während der Würfel ein Element des Typs (2), so die Mächte der Klasse (3) (2) in die Klassen (3) und (2) ist.

Klassengleichung von Conjugacy

Wenn G eine begrenzte Gruppe, dann für ein Gruppenelement a, die Elemente in der conjugacy Klasse ist, in der isomorphen Ähnlichkeit mit cosets des centralizer C (a) zu sein. Das kann durch das Bemerken gesehen werden, dass irgendwelche zwei Elemente b und c, der demselben coset (und folglich, b=cz für einen z im centralizer C (a)) gehört, dasselbe Element verursachen, wenn sie sich a paaren: bab=cza (cz) =czazc=czzac=cac.

So die Zahl der Elemente in der conjugacy Klasse, des Index [G:C (a)] des centralizer C (a) in G zu sein. So ist die Größe jeder conjugacy Klasse ein Teiler der Ordnung der Gruppe.

Außerdem, wenn wir ein einzelnes vertretendes Element x aus jeder conjugacy Klasse wählen, leiten wir aus der Zusammenhanglosigkeit der conjugacy Klassen dass |G =  [G ab: C (x)], wo C (x) der centralizer des Elements x ist. Das Bemerken, dass jedes Element des Zentrums Z (G) eine conjugacy Klasse bildet, die gerade sich enthält, verursacht die folgende wichtige Klassengleichung:

: |G = |Z (G) | +  [G: C (x)]

wovon die zweite Summe über ein vertretendes Element jeder conjugacy Klasse ist, die nicht im Zentrum ist.

Kenntnisse der Teiler der Gruppe befehlen, dass |G häufig verwendet werden kann, um Information über die Ordnung des Zentrums oder von den conjugacy Klassen zu gewinnen.

Beispiel

Denken Sie eine begrenzte P-Gruppe G (d. h. eine Gruppe mit dem Auftrag p, wo p eine Primzahl und n> 0) ist. Wir sind dabei, dass zu beweisen: Jede begrenzte P-Gruppe hat ein nichttriviales Zentrum.

Da die Ordnung jeder conjugacy Klasse von G die Ordnung von G teilen muss, hieraus folgt dass jede conjugacy Klasse H auch hat, bestellen etwas Macht von p, wo 0 = |Z (G) | +  (p). Davon sehen wir, dass p |Z (G) |, so |Z (G) |> 1 teilen muss.

Conjugacy von Untergruppen und allgemeinen Teilmengen

Mehr allgemein, in Anbetracht jeder Teilmenge S G (S nicht notwendigerweise eine Untergruppe), definieren wir eine Teilmenge T von G, um zu S verbunden zu sein, wenn, und nur wenn dort ein g in solchem G dass T = gSg besteht. Wir können Kl. (S) als der Satz aller Teilmengen T solchen G definieren, dass T zu S verbunden ist.

Ein oft verwendeter Lehrsatz ist, dass, in Anbetracht jeder Teilmenge S G, der Index von N (S) (der normalizer von S) in G der Ordnung der Kl. (S) gleichkommt:

: |Cl (S) | = [G: N (S)]

Das folgt seitdem, wenn g und h in G sind, dann gSg = hSh wenn, und nur wenn gh in N (S) mit anderen Worten ist, wenn, und nur wenn g und h in demselben coset von N (S) sind.

Bemerken Sie, dass diese Formel einen gegebenen früher für die Zahl der Elemente in einer conjugacy Klasse verallgemeinert (lassen Sie S =).

Der obengenannte ist besonders nützlich, wenn er über Untergruppen von G spricht. Die Untergruppen können so in conjugacy Klassen mit zwei Untergruppen geteilt werden, die derselben Klasse gehören, wenn, und nur wenn sie verbunden sind.

Verbundene Untergruppen sind isomorph, aber isomorphe Untergruppen brauchen nicht verbunden zu sein (zum Beispiel, eine abelian Gruppe kann zwei verschiedene Untergruppen haben, die isomorph sind, aber sie sind nie verbunden).

Conjugacy als Gruppenhandlung

Wenn wir definieren

:g. x = gxg

für irgendwelche zwei Elemente g und x in G dann haben wir eine Gruppenhandlung von G auf G. Die Bahnen dieser Handlung sind die conjugacy Klassen, und der Ausgleicher eines gegebenen Elements ist der centralizer des Elements.

Ähnlich können wir eine Gruppenhandlung von G auf dem Satz aller Teilmengen von G definieren, indem wir schreiben

:g. S = gSg,

oder auf dem Satz der Untergruppen von G.

Geometrische Interpretation

Klassen von Conjugacy in der grundsätzlichen Gruppe eines Pfad-verbundenen topologischen Raums kann als Gleichwertigkeitsklassen von freien Schleifen unter freiem homotopy gedacht werden.

Siehe auch

• Topologischer conjugacy
• FC-Gruppe