:This-Artikel tritt in technische Details schnell ein. Weil eine sanftere Einführung Theorie von Ramsey sieht.

In combinatorics stellt der Lehrsatz von Ramsey fest, dass in jedem Färben der Ränder eines genug großen ganzen Graphen man monochromatische ganze Subgraphen finden wird. Für 2 Farben stellt der Lehrsatz von Ramsey fest, dass für jedes Paar von positiven ganzen Zahlen (r, s), dort eine am wenigsten positive ganze Zahl R (r, s) solch besteht, dass für jeden ganzen Graphen auf R (r s) Scheitelpunkte, deren Ränder rot oder Blau gefärbt werden, dort entweder ein ganzer Subgraph auf r Scheitelpunkten bestehen, der, oder ein ganzer Subgraph auf s Scheitelpunkten völlig blau ist, der völlig rot ist. Hier R (r, s) bedeutet eine ganze Zahl, die sowohl von r als auch von s abhängt. Wie man versteht, vertritt es die kleinste ganze Zahl, für die der Lehrsatz hält.

Der Lehrsatz von Ramsey ist ein foundational laufen auf combinatorics hinaus. Die erste Version dieses Ergebnisses wurde von F. P. Ramsey bewiesen. Das hat die kombinatorische Theorie, jetzt genannt Theorie von Ramsey begonnen, die Regelmäßigkeit mitten in der Unordnung sucht: allgemeine Bedingungen für die Existenz von Unterbauten mit regelmäßigen Eigenschaften. In dieser Anwendung ist es eine Frage der Existenz von monochromatischen Teilmengen, d. h. Teilmengen von verbundenen Rändern von gerade einer Farbe.

Eine Erweiterung dieses Lehrsatzes gilt für jede begrenzte Zahl von Farben, aber nicht gerade zwei. Genauer stellt der Lehrsatz fest, dass für jede gegebene Zahl von Farben c und irgendwelche gegebenen ganzen Zahlen n..., n, es eine Zahl, R (n..., n), solch dass wenn die Ränder eines ganzen Graphen von gibt

Auftrag R (n..., n) wird mit c verschiedenen Farben, dann für einige ich zwischen 1 und c gefärbt, er muss einen ganzen Subgraphen des Auftrags n enthalten, dessen Ränder die ganze Farbe i sind. Der spezielle Fall hat oben c = 2 (und n = r und n = s).

Beispiel: R (3,3)

6 = =

Im folgenden Beispiel stellt die Formel R (3,3) eine Lösung der Frage zur Verfügung, die die minimale Zahl von Scheitelpunkten fragt, die ein Graph enthalten muss, um sicherzustellen, dass entweder (1) mindestens 3 Scheitelpunkte im Graphen verbunden werden oder (2), sind mindestens 3 Scheitelpunkte im Graphen unverbunden. Bemerken Sie, dass infolge der symmetrischen Natur des Problem-Raums, R (r, s) auf dieselbe Lösung wie R (s, r) hinausläuft. Das ist im Beispiel R (3,3) seit den Werten von r nicht sofort offensichtlich, und s sind dasselbe.

Nehmen Sie an, dass die Ränder eines ganzen Graphen auf 6 Scheitelpunkten rot und Blau gefärbt werden. Picken Sie einen Scheitelpunkt v auf. Es gibt 5 Rand-Ereignis zu v und so (durch den Ablegefach-Grundsatz) mindestens 3 von ihnen müssen dieselbe Farbe sein. Ohne Verlust der Allgemeinheit können wir annehmen, dass mindestens 3 dieser Ränder, zu Scheitelpunkten r, s und t in Verbindung stehend, blau sind. (Wenn nicht, seien Sie rot und blau darin wert, was folgt.), Wenn einige der Ränder (r, s), (r, t), (s, t) auch dann blau ist, haben wir ein völlig blaues Dreieck. Wenn nicht, dann sind jene drei Ränder ganz rot, und wir haben ein völlig rotes Dreieck. Seit diesem Argument Arbeiten für jedes Färben enthält jeder K einen monochromatischen K, und deshalb R (3,3)  6. Die populäre Version davon wird den Lehrsatz auf Freunden und Fremden genannt.

Ein alternativer Beweis arbeitet durch das doppelte Zählen. Es geht wie folgt: Zählen Sie die Zahl von bestellten verdreifacht sich Scheitelpunkte x, y, z solch, dass der Rand (xy) rot ist und der Rand (yz) blau ist. Erstens wird jeder gegebene Scheitelpunkt die Mitte jedes 0 × 5 = 0 sein (alle Ränder vom Scheitelpunkt sind dieselbe Farbe), 1 × 4 = 4 (vier sind dieselbe Farbe, man ist die andere Farbe), oder 2 × 3 = 6 (drei sind dieselbe Farbe, zwei sind die andere Farbe) solcher verdreifacht sich. Deshalb gibt es höchstens 6 × 6 = 36 solcher verdreifacht sich. Zweitens, für jedes nichtmonochromatische Dreieck (xyz), dort bestehen Sie genau zwei solcher verdreifacht sich. Deshalb gibt es höchstens 18 nichtmonochromatische Dreiecke. Deshalb sind mindestens 2 der 20 Dreiecke im K monochromatisch.

Umgekehrt ist es zum 2-farbigen ein K möglich, ohne jeden monochromatischen K zu schaffen, dass R (3,3)> 5 zeigend. Das einzigartige Färben wird nach rechts gezeigt. So R (3,3) = 6.

Die Aufgabe des Beweises, dass R (3,3)  6 eines der Probleme von William Lowell Putnam Mathematical Competition 1953 war.

Beweis des Lehrsatzes

Zuerst beweisen wir den Lehrsatz für den 2-farbigen Fall, durch die Induktion auf r + s.

Es ist aus der Definition das für den ganzen n, R (n, 1) = R (1, n) = 1 klar. Das fängt die Induktion an.

Wir beweisen, dass R (r, s) besteht, indem er einen dafür gebundenen ausführlichen gefunden wird. Durch die induktive Hypothese R (r  1, s) und R (r, s  1) bestehen.

Denken Sie einen ganzen Graphen auf R (r  1, s) + R (r, s  1) Scheitelpunkte.

Picken Sie einen Scheitelpunkt v vom Graphen auf, und verteilen Sie die restlichen Scheitelpunkte in zwei Sätze M und N, solch, dass für jeden Scheitelpunkt w w in der M ist, wenn (v, w) blau ist, und w in N ist, wenn (v, w) rot ist.

Weil der Graph R hat (r − 1, s) + R (r, s − 1) = |M + |N + 1 Scheitelpunkte, hieraus folgt dass irgendein |M  R (r  1, s) oder |N  R (r, s  1). Im ehemaligen Fall, wenn M einen roten K dann so hat, wird der ursprüngliche Graph und wir beendet. Sonst hat M einen blauen K und so blauer K definitionsgemäß der M. Der letzte Fall ist analog.

So ist der Anspruch wahr, und wir haben den Beweis für 2 Farben vollendet. Wir beweisen jetzt das Ergebnis für den allgemeinen Fall von c Farben. Der Beweis ist wieder durch die Induktion, dieses Mal auf der Zahl von Farben c. Wir haben das Ergebnis für c = 1 (trivial) und für c = 2 (oben). Lassen Sie jetzt c > 2.

R (n..., n)  R (n..., n, R (n, n)).

Bemerken Sie, dass die rechte Seite nur Zahlen von Ramsey für c  1 Farben und 2 Farben enthält, und deshalb besteht und eine begrenzte Nummer t durch die induktive Hypothese ist. So wird Beweis des Anspruchs den Lehrsatz beweisen.

Beweis des Anspruchs: Denken Sie einen Graphen auf t Scheitelpunkten und färben Sie seine Ränder mit c Farben. Jetzt 'gehen farbenblind' und geben vor, dass c  1 und c dieselbe Farbe sind. So ist der Graph jetzt (c  1) - gefärbt. Durch die induktive Hypothese enthält es irgendeinen ein K monochromatically gefärbt mit der Farbe i für ungefähr 1  i  (c  2) oder ein K-coloured in der 'trüben Farbe'. Im ehemaligen Fall werden wir beendet. Im letzten Fall erlangen wir unseren Anblick wieder wieder und sehen aus der Definition von R (n, n) müssen wir irgendeinen (c  1) - monochromer K oder ein c-monochrome K haben. In jedem Fall ist der Beweis abgeschlossen.

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Im 2-farbigen Fall, wenn R (r  1, s) und R (r, s  1) beide sogar sind, kann die Induktionsungleichheit zu gestärkt werden

Zahlen von Ramsey

Die Zahlen R (r, s) im Lehrsatz von Ramsey (und ihre Erweiterungen auf mehr als zwei Farben) sind als Zahlen von Ramsey bekannt. Ein oberer, der für R (r, s) gebunden ist, kann aus dem Beweis des Lehrsatzes herausgezogen werden, und andere Argumente geben niedrigere Grenzen. (Das tiefer gebundene erste wurde von Paul Erdős mit der probabilistic Methode erhalten.) Jedoch gibt es eine riesengroße Lücke zwischen den dichtesten niedrigeren Grenzen und den dichtesten oberen Grenzen. Folglich gibt es sehr wenige Nummern r und s, für die wir den genauen Wert von R (r, s) wissen. Computerwissenschaft eines niedrigeren hat L für R gebunden (r, s) verlangt gewöhnlich das Ausstellen eines blauen/roten Färbens des Graphen K ohne blauen K Subgraphen und keinen roten K Subgraphen. Obere Grenzen sind häufig beträchtlich schwieriger zu gründen: Ein entweder muss den ganzen möglichen colourings überprüfen, um die Abwesenheit eines Gegenbeispiels zu bestätigen, oder ein mathematisches Argument für seine Abwesenheit zu präsentieren. Ein hoch entwickeltes Computerprogramm braucht auf den ganzen colourings individuell nicht zu schauen, um sie alle zu beseitigen; dennoch ist es eine sehr schwierige rechenbetonte Aufgabe, die vorhandene Software nur auf kleinen Größen führen kann.

Wie beschrieben, oben, R (3,3) = 6. Es ist leicht, dass R (4,2) = 4, und, mehr allgemein, dass R (s, 2) = s für den ganzen s zu beweisen: ein Graph auf s − 1 Knoten mit allen Rändern haben rote Aufschläge als ein Gegenbeispiel gefärbt und beweisen dass R (s, 2)  s; unter colourings eines Graphen auf s Knoten hat sich das Färben mit allen Rändern gefärbt rot enthält einen S-Knoten roter Subgraph, und alle anderen colourings enthalten einen blauen 2-Knoten-Subgraphen (d. h. ein Paar von mit einem blauen Rand verbundenen Knoten.) Das Verwenden der Induktionsungleichheit, es kann dass R (4,3)  R (4,2) + R (3,3) &minus beschlossen werden; 1 = 9, und deshalb R (4,4)  R (4,3) + R (3,4)  18. Es gibt nur zwei (4,4,16) Graphen (d. h. 2-colourings eines ganzen Graphen auf 16 Knoten ohne ganze blaue oder rote 4-Knoten-Subgraphen) unter 6.4×10 einzigartig 2-colourings von 16-Knoten-Graphen und nur einem (4,4,17) Graph (der Graph von Paley des Auftrags 17) unter 2.46×10 colourings. (Das wurde von Evans, Pulham und Sheehan 1979 bewiesen.) Hieraus folgt dass R (4,4) = 18.

Die Tatsache, dass R (4,5) =25 zuerst von Brendan McKay und Stanisław Radziszowski 1995 gegründet wurde.

Der genaue Wert von R (5,5) ist unbekannt, obwohl, wie man bekannt, es zwischen 43 (Geoffrey Exoo) und 49 (McKay und Radziszowski) (einschließlich) liegt.

McKay, Radziszowski und Exoo haben computergestützte Graph-Generationsmethoden verwendet, 1997 zu vermuten, dass R (5,5) genau 43 ist. Sie sind im Stande gewesen, genau 656 (5,5,42) Graphen zu bauen, denselben Satz von Graphen durch verschiedene Wege erreichend. Keiner der 656 Graphen konnte zu (5,5,43) Graph erweitert werden.

Für R (r, s) mit r, s> 5, sind nur schwache Grenzen verfügbar. Niedrigere Grenzen für R (6,6) und R (8 sind 8) seit 1965 und 1972 beziehungsweise nicht verbessert worden.

R (r s) für Werte von r und s werden bis zu 10 im Tisch unten gezeigt. Wo der genaue Wert unbekannt ist, verzeichnet der Tisch die am besten bekannten Grenzen. R (r s) für Werte von r und s werden weniger als 3 durch R (1, s) = 1 und R (2, s) = s für alle Werte von s gegeben. Der Standardüberblick auf der Entwicklung der Zahl-Forschung von Ramsey ist von Stanisław Radziszowski geschrieben worden.

Es gibt eine triviale Symmetrie über die Diagonale.

Dieser Tisch wird aus einem größeren Tisch herausgezogen, der von Stanisław Radziszowski, abgesehen von R (4,6) ≥36 kompiliert ist, der von Geoffrey Exoo 2012 bewiesen wurde.

Asymptotics

Die Ungleichheit R (r, s)  R (r  1, s) + R (r, s  1) kann induktiv angewandt werden, um das zu beweisen

:

Insbesondere dieses Ergebnis, wegen Erdős und Szekeres, deutet dass wenn r = s, an

:

Ein Exponential-tiefer gebunden,

:

wurde durch Erdős 1947 gegeben und war in seiner Einführung der probabilistic Methode instrumental. Es gibt offensichtlich eine riesige Lücke zwischen diesen zwei Grenzen: Zum Beispiel, für s=10, gibt das 101  R (10,10)  48620. Dennoch sind Exponentialwachstumsfaktoren von irgendeinem gebunden bis heute nicht verbessert worden und belaufen sich noch auf 4 und beziehungsweise. Es gibt keinen bekannten ausführlichen Aufbau, der einen tiefer gebundenen Exponential-erzeugt. Die am besten bekannten niedrigeren und oberen Grenzen für diagonale Zahlen von Ramsey stehen zurzeit an

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wegen Spencers und Conlons beziehungsweise.

Für die außerdiagonalen Zahlen von Ramsey R (3, t), ist es bekannt, dass sie von der Ordnung sind; das kann gleichwertig festgesetzt werden, sagend dass die kleinstmögliche Unabhängigkeitszahl in einem N-Scheitelpunkt Graph ohne Dreiecke ist. Das obere, das für R (3, t) gebunden ist, wird von Ajtai, Komlós und Szemerédi, tiefer bestimmt von Kim gegeben. Mehr allgemein, für außerdiagonale Zahlen von Ramsey R (s, t) mit s befestigt und das T-Wachsen, sind die am besten bekannten Grenzen

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wegen Bohman und Keevash und Ajtai, Komlós und Szemerédi beziehungsweise.

Ein Mehrfarbenbeispiel: R (3,3,3)

17 = =

Eine Mehrfarbenzahl von Ramsey ist eine Zahl von Ramsey mit 3 oder mehr Farben. Es gibt nur eine nichttriviale Mehrfarbenzahl von Ramsey, für die der genaue Wert, nämlich R (3,3,3) = 17 bekannt ist.

Nehmen Sie an, dass Sie ein Rand-Färben eines ganzen Graphen mit 3 Farben, rot, gelb und grün haben. Nehmen Sie weiter an, dass das Rand-Färben keine monochromatischen Dreiecke hat. Wählen Sie einen Scheitelpunkt v aus. Denken Sie den Satz von Scheitelpunkten, die einen grünen Rand zum Scheitelpunkt v haben. Das wird die grüne Nachbarschaft von v genannt. Die grüne Nachbarschaft von v kann keine grünen Ränder enthalten, da sonst es ein grünes Dreieck geben würde, das aus den zwei Endpunkten dieses grünen Randes und des Scheitelpunkts v besteht. So ließ der veranlasste Rand, der sich auf der grünen Nachbarschaft von v färbt, Ränder mit nur zwei Farben, nämlich gelb und rot färben. Seitdem R (3,3) = 6 kann die grüne Nachbarschaft von v höchstens 5 Scheitelpunkte enthalten. Ähnlich kann die rote und gelbe Nachbarschaft von v höchstens 5 Scheitelpunkte jeder enthalten. Da jeder Scheitelpunkt, abgesehen von v selbst, in einem der Grüns, roter oder gelber Nachbarschaft von v ist, kann der komplette ganze Graph höchstens 1 + 5 + 5 + 5 = 16 Scheitelpunkte haben. So haben wir R (3,3,3)  17.

Zu sehen, dass R (3,3,3)  17, es genügt, um einen Rand zu ziehen, der sich auf dem ganzen Graphen auf 16 Scheitelpunkten mit 3 Farben färbt, der monochromatische Dreiecke vermeidet. Es stellt sich heraus, dass es genau zwei solche colourings auf K, den so genannten aufgedrehten und gedrehten colourings gibt. Beide colourings werden in der Zahl nach rechts, mit dem aufgedrehten Färben auf der Spitze und dem gedrehten Färben auf dem Boden gezeigt. Sowohl in colourings in der Zahl, bemerken Sie, dass die Scheitelpunkte etikettiert werden, als auch dass die Scheitelpunkte v durch v zweimal, sowohl auf dem verlassenen als auch auf dem Recht gezogen werden, um die Zeichnungen zu vereinfachen.

So, R (3,3,3) = 17.

Wenn Sie Farbe entweder des aufgedrehten oder gedrehten Färbens auf K auswählen, und den Graphen denken, dessen Ränder genau jene Ränder sind, die die angegebene Farbe haben, werden Sie den Graphen von Clebsch bekommen.

Es ist bekannt, dass es genau zwei Rand colourings mit 3 Farben auf K gibt, die monochromatische Dreiecke vermeiden, die durch das Löschen jedes Scheitelpunkts vom aufgedrehten und gedrehten colourings auf K beziehungsweise gebaut werden können.

Es ist auch bekannt, dass es genau 115 Rand colourings mit 3 Farben auf K gibt, die monochromatische Dreiecke vermeiden, vorausgesetzt, dass wir Rand colourings denken, die sich durch eine Versetzung der Farben als seiend dasselbe unterscheiden.

Erweiterungen des Lehrsatzes

Der Lehrsatz kann auch zu Hypergraphen erweitert werden. Eine M Hypergraph ist ein Graph, dessen "Ränder" Sätze der M Scheitelpunkte - in einem normalen Graphen sind, der ein Rand eine Reihe 2 Scheitelpunkte ist. Die volle Behauptung des Lehrsatzes von Ramsey für Hypergraphen ist dass für irgendwelche ganzen Zahlen M und c,

und irgendwelche ganzen Zahlen n..., n,

es gibt eine ganze Zahl R (n..., n; c, m) solch dass wenn die Hyperränder einer ganzen M Hypergraph des Auftrags R (n..., n; c, werden m) mit c verschiedenen Farben, dann für einige gefärbt, was ich zwischen 1 und c der Hypergraph einen ganzen sub-m-hypergraph des Auftrags n enthalten muss, dessen Hyperränder die ganze Farbe i sind. Dieser Lehrsatz wird gewöhnlich durch die Induktion auf der M, dem 'Hypervorgebirge' des Graphen bewiesen. Der Grundfall für den Beweis ist M = 2, der genau der Lehrsatz oben ist.

Experimenteller Entschluss mit dem Quant-Algorithmus

Eine Zeitung behauptend, dass eine experimentelle Durchführung eines Quant-Algorithmus, R (M, 2) für 3 $ \le m\le 8 $ lösend, kürzlich vorveröffentlicht worden ist. Die Forschungsmannschaft-Leitung durch Zhengbing Bian, D-Welle-Systeme hat 84 qubits mit insgesamt 28 für die Berechnung verwendeten qubits verwendet.

Unendlicher Lehrsatz von Ramsey

Ein weiteres Ergebnis, auch allgemein genannt den Lehrsatz von Ramsey, gilt für unendliche Graphen. In einem Zusammenhang, wo begrenzte Graphen auch besprochen werden, wird es häufig den "Unendlichen Lehrsatz von Ramsey" genannt. Da durch die bildliche Darstellung eines Graphen zur Verfügung gestellte Intuition verringert wird, wenn man sich vom begrenzten bis unendliche Graphen bewegt, werden Lehrsätze in diesem Gebiet gewöhnlich in der mit dem Satz theoretischen Fachsprache ausgedrückt.

Lehrsatz: Lassen Sie X ein zählbar unendlicher Satz sein und die Elemente X (die Teilmengen X der Größe n) in c verschiedenen Farben zu färben. Dann dort besteht eine unendliche Teilmenge M X solch, dass die Größe n Teilmengen der M alle dieselbe Farbe hat.

Beweis: Der Beweis wird für c = 2 gegeben. Es ist leicht, den Lehrsatz für eine beliebige Zahl von Farben mit einem 'Farbenblindheits'-Argument als oben zu beweisen. Der Beweis ist durch (die ganze) Induktion auf n, der Größe der Teilmengen. Für n = 1 ist die Behauptung zum Ausspruch gleichwertig, dass, wenn Sie einen unendlichen Satz in zwei Sätze spalten, einer von ihnen unendlich ist. Das ist offensichtlich. Das Annehmen des Lehrsatzes ist für n  r wahr, wir beweisen es für n = r + 1. In Anbetracht eines 2-Färben-von (r + 1) - Element-Teilmengen X, lassen Sie ein Element X sein und Y = X\zu lassen. Wir veranlassen dann eine 2-Färben-von den R-Element-Teilmengen von Y, indem wir gerade zu jeder R-Element-Teilmenge beitragen (um (r + 1) - Element-Teilmenge X) zu kommen. Durch die Induktionsvoraussetzung, dort besteht eine unendliche Teilmenge Y innerhalb von solchem Y, dass jede R-Element-Teilmenge von Y dieselbe Farbe im veranlassten Färben gefärbt wird. So gibt es ein Element a und eine unendliche Teilmenge Y solch, dass ganz (r + 1) - Element-Teilmengen X, aus a und r Elemente von Y bestehend, dieselbe Farbe haben. Durch dasselbe Argument gibt es ein Element in Y und einer unendlichen Teilmenge Y Y mit denselben Eigenschaften. Induktiv erhalten wir eine Folge {a, a, a...} solch dass die Farbe von jedem (r + 1) - Element-Teilmenge (a, a..., a) mit mir (1) 's, um den gewünschten monochromatischen Satz zu bekommen.

Unendliche Version bezieht das begrenzte ein

Es ist möglich, den begrenzten Lehrsatz von Ramsey von der unendlichen Version durch einen Beweis durch den Widerspruch abzuleiten. Nehmen Sie an, dass der begrenzte Lehrsatz von Ramsey falsch ist. Dann dort bestehen Sie solche ganze Zahlen, dass für jede ganze Zahl, dort - das Färben ohne einen monochromatischen Satz der Größe besteht. Lassen Sie zeigen den-colourings ohne einen monochromatischen Satz der Größe an.

Für jeden k ist die Beschränkung, zu (durch das Ignorieren der Farbe aller Sätze anmalend, die enthalten), anmalend. Definieren Sie, um der colourings zu sein, in dem Beschränkungen von colourings darin sind. Seitdem ist nicht leer, keiner ist.

Ähnlich ist die Beschränkung von irgendwelchem anmalend in, ein erlaubend, als der Satz aller dieser Beschränkungen, ein nichtleerer Satz zu definieren. Ständig so, definieren Sie für alle ganzen Zahlen.

Jetzt, für jede ganze Zahl, und jeden Satz ist nichtleer. Außerdem, ist als begrenzt. Hieraus folgt dass die Kreuzung von allen diesen Sätzen nichtleer ist, und lassen. Dann jeder anmalend ist die Beschränkung anmalend. Deshalb, indem man uneinschränkt, zu anmalend, anmalend, und das Tun so fortsetzend, baut man ein Färben ohne jeden monochromatischen Satz der Größe. Das widerspricht dem unendlichen Lehrsatz von Ramsey.

Wenn ein passender topologischer Gesichtspunkt genommen wird, wird dieses Argument ein Standardkompaktheitsargument zeigend, dass die unendliche Version des Lehrsatzes die begrenzte Version einbezieht.

Geleiteter Graph Zahlen von Ramsey

Es ist auch möglich, Zahlen von Ramsey für geleitete Graphen zu definieren. (Diese wurden durch P eingeführt. Erdős & L. Moser.) Lassen R (n) die kleinste solche Nummer Q sein, dass jeder ganze Graph mit einzeln geleiteten Kreisbogen (auch ein "Turnier" genannt hat) und mit  Q Knoten einen acyclic enthält (auch hat "transitiv" genannt) N-Knotensubturnier.

Das ist die Entsprechung des geleiteten Graphen dessen, was (oben) R genannt worden ist (n, n; 2) enthält die kleinste solche Nummer Z dass irgendwelcher, der der Ränder eines ganzen ungeleiteten Graphen mit  Z Knoten 2-Färben-ist, einen monochromatischen ganzen Graphen auf n Knoten. (Die geleitete Entsprechung der zwei möglichen Kreisbogen-Farben ist die zwei Richtungen der Kreisbogen, die Entsprechung von "monochromatisch" ist "der ganze Punkt der Kreisbogen-Pfeile derselbe Weg," d. h. ". acyclic.")

Siehe auch

• Lehrsatz des Paris-Harrington
• Sim (Bleistift-Spiel)
• Unendliche Theorie von Ramsey
• Zahl von Van der Waerden

Referenzen

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Links

• Ramsey@Home ist ein verteiltes Rechenprojekt, das entworfen ist, um neue niedrigere Grenzen für verschiedene Zahlen von Ramsey mit einem Gastgeber von verschiedenen Techniken zu finden.
• Der Überblick von Radziszowski über kleine Zahlen von Ramsey
• dieser Lispeln-Code schätzt obere Grenzen für besondere Zahlen von Ramsey gegeben die allgemeinen Regeln in Radziszowski
• Überblick über den geleiteten Graphen Zahlen von Ramsey
• Zahl von Ramsey - von MathWorld (enthält niedrigere und obere Grenzen bis zu R (19,19))
• Zahl von Ramsey - Geoffrey Exoo (Enthält R (5,5)> 42 Gegenbeweis)
• Ein Beweis dass R (3,6) = 18