In der Statistik, bösartig hat zwei zusammenhängende Bedeutungen:

• die bösartige Arithmetik (und ist vom geometrischen Mittel oder harmonisch bösartig bemerkenswert).
• der erwartete Wert einer zufälligen Variable, die auch die bösartige Bevölkerung genannt wird.

Es gibt andere statistische Maßnahmen, die mit Durchschnitten - einschließlich 'der Mittellinie' und 'Weise' nicht verwirrt sein sollten. Andere einfache statistische Analysen verwenden Maßnahmen der Ausbreitung, wie Reihe, interquartile Reihe oder Standardabweichung.

Für eine reellwertige zufällige Variable X ist das bösartige die Erwartung von X.

Bemerken Sie, dass nicht jeder Wahrscheinlichkeitsvertrieb einen definierten bösartigen (oder Abweichung) hat; sieh den Vertrieb von Cauchy für ein Beispiel.

Für eine Datei ist das bösartige die Summe der durch die Zahl von Werten geteilten Werte. Die bösartige von einer Reihe von Nummern x, x..., x wird normalerweise dadurch angezeigt, "x Bar" ausgesprochen. Das bedeutet ist ein Typ der bösartigen Arithmetik. Wenn die Datei auf einer Reihe von erhaltenen Beobachtungen durch die Stichprobenerhebung einer statistischen Bevölkerung basiert hat, bedeutet das wird die "Probe bösartig" genannt, um es von der "Bevölkerung bösartig" zu unterscheiden (oder). Das bösartige wird häufig zusammen mit der Standardabweichung angesetzt: Das bösartige beschreibt die Hauptposition der Daten, und die Standardabweichung beschreibt die Ausbreitung. Ein alternatives Maß der Streuung ist die Mittelabweichung, die zur durchschnittlichen absoluten Abweichung vom bösartigen gleichwertig ist. Es ist zu outliers weniger empfindlich, aber weniger mathematisch lenksam.

Wenn eine Reihe von Beobachtungen von einer größeren Bevölkerung probiert wird (die Höhen einer Probe von Erwachsenen messend, die von der Bevölkerung der ganzen Welt zum Beispiel angezogen sind), oder von einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb, der die Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses gibt, dann können die größere Bevölkerung oder der Wahrscheinlichkeitsvertrieb verwendet werden, um eine "bösartige Bevölkerung" zu bauen, der auch der erwartete Wert für eine Probe ist, die von dieser Bevölkerung oder Wahrscheinlichkeitsvertrieb gezogen ist. Für eine begrenzte Bevölkerung würde das einfach die Arithmetik sein, die des gegebenen Eigentums für jedes Mitglied der Bevölkerung bösartig ist. Für einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb würde das eine Summe oder Integral über jeden möglichen durch die Wahrscheinlichkeit dieses Werts beschwerten Wert sein. Es ist eine universale Tagung, die durch das Symbol bösartige Bevölkerung zu vertreten. Im Fall von einem getrennten Wahrscheinlichkeitsvertrieb wird die bösartige von einer getrennten zufälligen Variable x durch die Einnahme des Produktes jedes möglichen Werts von x und seiner Wahrscheinlichkeit P (x), und dann das Hinzufügen aller dieser Produkte zusammen gegeben, gebend.

Die bösartige Probe kann sich von der Bevölkerung bösartig besonders für kleine Proben unterscheiden, aber das Gesetz der großen Anzahl diktiert, dass je größer die Größe der Probe, desto wahrscheinlicher es ist, dass die bösartige Probe der bösartigen Bevölkerung nah sein wird.

Sowie Statistik, Mittel werden häufig in der Geometrie und Analyse verwendet; eine breite Reihe der Mittel ist zu diesen Zwecken entwickelt worden, die in der Statistik nicht sehr verwendet werden. Diese werden unten verzeichnet.

Beispiele der Mittel

Bösartige Arithmetik (AM)

Die bösartige Arithmetik ist der "Standard"-Durchschnitt, häufig einfach genannt das "bösartige".

:

Zum Beispiel, die von fünf Werten bösartige Arithmetik: 4, 36, 45, 50, 75 ist

:

Das bösartige kann häufig mit der Mittellinie, Weise oder Reihe verwirrt sein. Das bösartige ist der arithmetische Durchschnitt von einer Reihe von Werten oder Vertrieb; jedoch, für den schiefen Vertrieb, ist das bösartige nicht notwendigerweise dasselbe als der mittlere Wert (Mittellinie) oder das wahrscheinlichste (Weise). Zum Beispiel wird Mitteleinkommen aufwärts durch eine kleine Anzahl von Leuten mit sehr großen Einkommen verdreht, so dass die Mehrheit ein Einkommen tiefer hat als das bösartige. Im Vergleich ist das mittlere Einkommen das Niveau, an dem Hälfte der Bevölkerung unten ist und Hälfte oben ist. Das Weise-Einkommen ist das wahrscheinlichste Einkommen, und bevorzugt die größere Anzahl der Leute mit niedrigeren Einkommen. Die Mittellinie oder Weise sind häufig intuitivere Maßnahmen solcher Daten.

Dennoch wird vieler schiefer Vertrieb am besten durch ihr bösartiges - wie der Exponentialvertrieb und Vertrieb von Poisson beschrieben.

Geometrisches Mittel (GM)

Das geometrische Mittel ist ein Durchschnitt, der für Sätze von positiven Zahlen nützlich ist, die gemäß ihrem Produkt und nicht ihrer Summe interpretiert werden (wie mit der Arithmetik bösartig der Fall ist) z.B Raten des Wachstums.

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Zum Beispiel, das geometrische Mittel von fünf Werten: 4, 36, 45, 50, 75 ist:

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Harmonisch bösartig (HM)

Die bösartige Harmonische ist ein Durchschnitt, der für Sätze von Zahlen nützlich ist, die in Bezug auf eine Einheit, zum Beispiel Geschwindigkeit (Entfernung pro Einheit der Zeit) definiert werden.

:

Zum Beispiel, die der fünf Werte bösartige Harmonische: 4, 36, 45, 50, 75 ist

:

Beziehung zwischen AM, GM und HM

AM, GM und HM befriedigen diese Ungleichheit:

:

Gleichheit hält nur, wenn alle Elemente der gegebenen Probe gleich sind.

Verallgemeinerte Mittel

Bösartige Macht

Das verallgemeinerte bösartige, auch bekannt als die Macht bösartig oder bösartiger Hölder, ist eine Abstraktion der quadratischen, arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel. Es wird für eine Reihe von n positiven Zahlen x durch definiert

:Indem

wir den passenden Wert für den Parameter M wählen, bekommen wir alle Mittel:

ƒ-mean

Das kann weiter als der verallgemeinerte f-mean verallgemeinert werden

:

und wieder wird eine passende Wahl eines invertible ƒ geben

Belastete bösartige Arithmetik

Die belastete bösartige Arithmetik wird verwendet, wenn man durchschnittliche Werte von Proben derselben Bevölkerung mit verschiedenen Beispielgrößen verbinden will:

:

Die Gewichte vertreten die Grenzen der teilweisen Probe. In anderen Anwendungen vertreten sie ein Maß für die Zuverlässigkeit des Einflusses auf das bösartige durch jeweilige Werte.

Gestutzt bösartig

Manchmal könnte eine Reihe von Zahlen outliers, d. h. enthalten, der viel niedriger oder viel höher ist als andere.

Häufig sind outliers falsche durch Kunsterzeugnisse verursachte Daten. In diesem Fall kann man einen gestutzten bösartigen verwenden. Es schließt Verschrottung gegeben Teile der Daten oben oder das unterste Ende, normalerweise ein gleicher Betrag an jedem Ende und dann Einnahme der der restlichen Daten bösartigen Arithmetik ein. Die Zahl von entfernten Werten wird als ein Prozentsatz der Gesamtzahl von Werten angezeigt.

Bösartiger Interquartile

Der bösartige interquartile ist ein spezifisches Beispiel eines gestutzten bösartigen. Es ist einfach die Arithmetik, die nach dem Entfernen des niedrigsten und des höchsten Viertels von Werten bösartig ist.

:

das Annehmen der Werte ist bestellt worden, so ist einfach ein spezifisches Beispiel eines belasteten bösartigen für einen spezifischen Satz von Gewichten.

Haben Sie von einer Funktion vor

In der Rechnung und besonders mehrvariablen Rechnung wird die bösartige von einer Funktion als der durchschnittliche Wert der Funktion über sein Gebiet lose definiert. In einer Variable wird die bösartige von einer Funktion f (x) über den Zwischenraum (a, b) durch definiert

:

Rufen Sie dass ein Definieren-Eigentum des durchschnittlichen Werts begrenzt vieler Zahlen zurück

ist das. Mit anderen Worten, ist der unveränderliche Wert der wenn

hinzugefügt zu sich Zeiten kommt dem Ergebnis gleich, die Begriffe dessen hinzuzufügen. Analog, ein

das Definieren des Eigentums des durchschnittlichen Werts einer Funktion über den Zwischenraum ist das

:

Mit anderen Worten, ist der unveränderliche Wert, der, wenn integriert, zu Ende dem Ergebnis von gleichkommt

Integrierung. Aber durch den zweiten Hauptsatz der Rechnung, das Integral eines unveränderlichen

ist gerade

:

Siehe auch den ersten Mittelwertlehrsatz für die Integration, die versichert

das, wenn dann dauernd ist, dort besteht ein solcher Punkt dass

:

Der Punkt wird den Mittelwert darauf genannt. So schreiben wir

und ordnen Sie die vorhergehende Gleichung um, um die obengenannte Definition zu bekommen.

In mehreren Variablen wird das bösartige über ein relativ kompaktes Gebiet U in einem Euklidischen Raum durch definiert

:

Das verallgemeinert die bösartige Arithmetik. Andererseits ist es auch möglich, das geometrische Mittel zu Funktionen durch das Definieren des geometrischen Mittels von f zu verallgemeinern, um zu sein

:

Mehr allgemein, in der Maß-Theorie und Wahrscheinlichkeitstheorie jede Sorte von Mittelspielen eine wichtige Rolle. In diesem Zusammenhang legt die Ungleichheit von Jensen scharfe Schätzungen auf der Beziehung zwischen diesen zwei verschiedenen Begriffen der bösartigen von einer Funktion.

Es gibt auch einen harmonischen Durchschnitt von Funktionen und einen quadratischen Durchschnitt (oder Wurzel bedeuten Quadrat) Funktionen.

Haben Sie von einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb vor

Sieh erwarteten Wert.

Haben Sie von Winkeln vor

Die meisten üblichen Mittel scheitern auf kreisförmigen Mengen, wie Winkel, Tageszeit, Bruchteile von reellen Zahlen. Für jene Mengen brauchen Sie eine bösartige von kreisförmigen Mengen.

Bösartiger Fréchet

Der bösartige Fréchet gibt eine Weise, für das "Zentrum" eines Massenvertriebs auf einer Oberfläche oder, mehr allgemein, Sammelleitung von Riemannian zu bestimmen. Verschieden von vielen anderen Mitteln wird bösartiger Fréchet auf einem Raum definiert, dessen Elemente zusammen nicht notwendigerweise hinzugefügt oder mit Skalaren multipliziert werden können.

Es ist manchmal auch bekannt als der Karcher bösartig (genannt nach Hermann Karcher).

Andere Mittel

• Arithmetisches geometrisches Mittel
• Arithmetisch-harmonischer bösartiger
• Cesàro haben vor
• Chisini haben vor
• Contraharmonic haben vor
• Elementarer symmetrischer bösartiger
• Geometrisch-harmonischer bösartiger
• Heinz bösartiger
• Heronian haben vor
• Identric haben vor
• Lehmer haben vor
• Logarithmischer bösartiger
• Mittellinie
• Bewegender Durchschnitt
• Wurzel Mittelquadrat
• Das Wärmegewicht von Rényi (ein verallgemeinerter f-mean)
• Stolarsky haben vor
• Belastetes geometrisches Mittel
• Belasteter harmonischer bösartiger

Eigenschaften

Alle Mittel teilen einige Eigenschaften, und zusätzliche Eigenschaften werden durch die allgemeinsten Mittel geteilt.

Einige dieser Eigenschaften werden hier gesammelt.

Belastet bösartig

Eine belastete MittelM ist eine Funktion, die Tupel von positiven Zahlen zu einer positiven Zahl kartografisch darstellt

:

solch, dass die folgenden Eigenschaften halten:

• "Fester Punkt": M (1,1..., 1) = 1
• Gleichartigkeit: M (λ x..., λ x) = λ M (x..., x) für den ganzen λ und x. In der Vektor-Notation: M (λ x) = λ Mx für alle N-Vektoren x.
• Monomuskeltonus: Wenn x  y für jeden ich, dann Mx  Mein

Es folgt

• Boundedness: Minute x  Mx  max x
• Kontinuität:
• Es gibt Mittel, die nicht differentiable sind. Zum Beispiel wird die maximale Zahl eines Tupels als ein bösartiger (als ein äußerster Fall der Macht bösartig, oder als ein spezieller Fall einer Mittellinie) betrachtet, aber ist nicht differentiable.
• Alle Mittel, die oben mit Ausnahme von den meisten Verallgemeinerten F-Mitteln verzeichnet sind, befriedigen die präsentierten Eigenschaften.
• Wenn f bijektiv ist, dann befriedigt der verallgemeinerte f-mean das feste Punkt-Eigentum.
• Wenn f ausschließlich monotonisch ist, dann befriedigen die verallgemeinerten f-mean auch das Monotonie-Eigentum.
• Im Allgemeinen wird ein verallgemeinerter f-mean Gleichartigkeit verpassen.

Die obengenannten Eigenschaften beziehen Techniken ein, um kompliziertere Mittel zu bauen:

Wenn C, M..., M beschwert wird, sind Mittel und p eine positive reelle Zahl,

dann A und B durch definiert

::

werden auch Mittel beschwert.

Unbelastet bösartig

Intuitiv gesprochen ist ein unbelasteter bösartiger ein belasteter bösartiger mit gleichen Gewichten.

Da unsere Definition von belasteten, die oben bösartig sind, besondere Gewichte, nicht ausstellt

gleiche Gewichte müssen durch einen verschiedenen Weg behauptet werden.

Eine verschiedene Ansicht auf der homogenen Gewichtung ist, dass die Eingänge getauscht werden können, ohne das Ergebnis zu verändern.

So definieren wir M, um ein unbelasteter bösartiger zu sein, wenn es ein belasteter bösartiger ist

und für jede Versetzung π Eingänge ist das Ergebnis dasselbe.

: Symmetrie: Mx = M (πx) für alle N-Tupel π und Versetzungen π auf N-Tupeln.

Analog zu den belasteten Mitteln,

wenn C ein belasteter bösartiger und M ist..., M sind unbelastete Mittel und

p ist eine positive reelle Zahl,

dann A und B durch definiert::

sind auch unbelastete Mittel.

Wandeln Sie sich unbelastet bösartig zum bösartigen belasteten um

Ein unbelasteter bösartiger kann in einen belasteten bösartigen durch das Wiederholen von Elementen verwandelt werden.

Diese Verbindung kann auch verwendet werden, um festzustellen, dass ein bösartiger die belastete Version eines unbelasteten bösartigen ist.

Sagen Sie, dass Sie die unbelastete MittelM und den haben

beschweren Sie die Zahlen durch natürliche Zahlen.

(Wenn die Zahlen vernünftig sind, sie dann mit kleinstem gemeinsamem Nenner multiplizieren.)

Dann wird der entsprechende beschwerte MittelA durch erhalten

:

Mittel von Tupeln verschiedener Größen

Wenn eine MittelM für Tupel mehrerer Größen definiert wird, dann erwartet man auch, dass das bösartige von einem Tupel durch die Mittel von Teilungen begrenzt wird. Genauer

• In Anbetracht eines willkürlichen Tupels x, der in y..., y, dann verteilt wird

::

: (Sieh Konvexen Rumpf.)

Bevölkerung und Beispielmittel

Die bösartige von einer Bevölkerung hat einen erwarteten Wert von μ, der als die bösartige Bevölkerung bekannt ist. Die bösartige Probe macht einen guten Vorkalkulatoren der Bevölkerung bösartig, weil sein erwarteter Wert dasselbe als die bösartige Bevölkerung ist. Die einer Bevölkerung bösartige Probe ist eine zufällige Variable, nicht eine Konstante, und folglich wird sie seinen eigenen Vertrieb haben. Für eine zufällige Probe von n Beobachtungen von einer normalerweise verteilten Bevölkerung ist der Beispielmittelvertrieb

:

Häufig, da die Bevölkerungsabweichung ein unbekannter Parameter ist, wird sie durch die Mittelsumme von Quadraten geschätzt, die den Vertrieb der Probe ändert, die von einer Normalverteilung bis einen t Vertrieb eines Studenten mit n &minus bösartig ist; 1 Grade der Freiheit.

Siehe auch

• Algorithmen, um bösartig und Abweichung zu rechnen
• Durchschnitt, dasselbe als Haupttendenz
• Beschreibende Statistik
• Für einen unabhängigen identischen Vertrieb vom reals ist die bösartige von einer Probe ein unvoreingenommener Vorkalkulator für die bösartige von der Bevölkerung.
• Kurtosis
• Gesetz von Durchschnitten
• Mittellinie
• Weise (Statistik)
• Kugelförmiger bösartiger
• Zusammenfassende Statistik
• Das Gesetz von Taylor
• Belasteter bösartiger

Links

• Vergleich zwischen Arithmetik und geometrischem Mittel von zwei Zahlen
• Einige Beziehungen, die Mittel einschließen