In der Mengenlehre und Logik ist eine Beziehung ein Eigentum, das Wahrheitswerte K-Tupeln von Personen zuteilt. Gewöhnlich beschreibt das Eigentum eine mögliche Verbindung zwischen den Bestandteilen eines K-Tupels. Für einen gegebenen Satz von K-Tupeln wird ein Wahrheitswert jedem K-Tupel gemäß zugeteilt, ob das Eigentum tut oder nicht hält.

Ein Beispiel einer dreifältigen Beziehung (d. h., zwischen drei Personen) ist: "X Y Z", wo (X, Y, Z) eine 3-Tupel-von Personen ist; zum Beispiel "wurde Beatrice Wood in Henri-Pierre Roché von Marcel Duchamp vorgestellt", ist wahr, während "Karl Marx in Friedrich Engels von Königin Victoria vorgestellt wurde", ist falsch.

Die Variable k das Geben der Zahl von "Plätzen" in der Beziehung, 3 für das obengenannte Beispiel, ist eine natürliche Zahl (Null, ein, zwei...), genannt den arity der Beziehung, adicity, oder Dimension. Eine Beziehung mit K-Plätzen wird einen k-ary, einen k-adic oder eine k-dimensional Beziehung verschiedenartig genannt. Beziehungen mit einer begrenzten Zahl von Plätzen werden begrenzten Platz oder finitary Beziehungen genannt. Es ist möglich, das Konzept zu verallgemeinern, um infinitary Beziehungen zwischen Unendlichkeiten von Personen, zum Beispiel unendliche Folgen einzuschließen; jedoch, in diesem Artikel nur finitary Beziehungen werden besprochen, der zukünftig einfach Beziehungen genannt wird.

Da es nur einen 0-Tupel-, das so genannte leere Tupel gibt , gibt es nur zwei Nullplatz-Beziehungen: Derjenige, der immer, und derjenige hält, der nie hält. Sie sind manchmal nützlich, für den Grundfall eines Induktionsarguments zu bauen. Ein-Platz-Beziehungen werden unäre Beziehungen genannt. Zum Beispiel kann jeder Satz (wie die Sammlung von Hofdichtern von Nobel) als eine Sammlung von Personen angesehen werden, die ein Eigentum (wie die haben, der Nobelpreis zuerkannt worden zu sein). Zweistellige Beziehungen werden binäre Beziehungen oder dyadische Beziehungen genannt. Der letzte Begriff hat historischen Vorrang. Binäre Beziehungen sind in Anbetracht der Allgegenwart von Beziehungen sehr üblich wie:

• Gleichheit und Ungleichheit, die durch Zeichen solcher als "=" und "} }\angezeigt ist

Die einfachere von den zwei Definitionen von in der Mathematik gestoßenen K-Platz-Beziehungen ist:

Definition 1. Eine Beziehung L über die Sätze X, …, X ist eine Teilmenge ihres Kartesianischen Produktes, schriftlicher L  X × … × X.

Beziehungen werden gemäß der Zahl von Sätzen im definierenden Kartesianischen Produkt mit anderen Worten gemäß der Zahl von Begriffen im Anschluss an L klassifiziert. Folglich:

:* Lu zeigt eine unäre Beziehung oder Eigentum an;

:* Luv oder uLv zeigen eine binäre Beziehung an;

:* Luvw zeigt eine dreifältige Beziehung an;

:* Luvwx zeigt eine Vierergruppe-Beziehung an.

Beziehungen mit mehr als vier Begriffen werden gewöhnlich k-ary oder n-stufig, zum Beispiel, "eine 5-ary Beziehung genannt". Eine k-ary Beziehung ist einfach eine Reihe von K-Tupeln.

Die zweite Definition macht von einem Idiom Gebrauch, das in der Mathematik üblich ist, festsetzend, dass "solch und solcher ein N-Tupel sind", um sicherzustellen, dass solch und solch ein mathematischer Gegenstand durch die Spezifizierung von n mathematischen Teilgegenständen bestimmt wird. Im Fall von einer Beziehung L über K-Sätze gibt es k + 1 Dinge, nämlich, die K-Sätze plus eine Teilmenge ihres Kartesianischen Produktes anzugeben. Im Idiom wird das durch den Ausspruch ausgedrückt, dass L (k + 1) - Tupel ist.

Definition 2. Eine Beziehung L über die Sätze X, …, X ist (k + 1) - Tupel L = (X, …, X, G (L)), wo G (L) eine Teilmenge des Kartesianischen Produktes X &times ist; … × X. G wird (L) den Graphen von L genannt.

Elemente einer Beziehung werden durch das Verwenden fetter Charaktere, zum Beispiel, das unveränderliche Element = (a, …, a) oder das variable Element = (x, …, x) kürzer angezeigt.

Eine Behauptung der Form "ist in der Beziehung L" wird genommen, um zu bedeuten, dass das in L laut der ersten Definition ist und das in G (L) laut der zweiten Definition ist.

Die folgenden Rücksichten gelten laut jeder Definition:

• Die Sätze X für j = 1 zu k werden die Gebiete der Beziehung genannt. Laut der ersten Definition bestimmt die Beziehung keine gegebene Folge von Gebieten einzigartig.
• Wenn alle Gebiete X derselbe Satz X sind, dann ist es einfacher, L als eine k-ary Beziehung mehr als X zu kennzeichnen.
• Wenn einige der Gebiete X leer ist, dann ist das definierende Kartesianische Produkt leer, und die einzige Beziehung über solch eine Folge von Gebieten ist die leere Beziehung L =. Folglich wird es allgemein festgesetzt, dass alle Gebiete nichtleer sind.

In der Regel, was auch immer Definition am besten passt, wird die Anwendung in der Nähe zu diesem Zweck und irgendetwas gewählt, was darunter fällt, wird eine Beziehung nach der Dauer dieser Diskussion genannt. Wenn es notwendig wird, die zwei Definitionen zu unterscheiden, kann eine Entität, die die zweite Definition befriedigt, eine eingebettete oder eingeschlossene Beziehung genannt werden.

Wenn L eine Beziehung über die Gebiete X, …, X ist, ist es herkömmlich, um eine Folge von Begriffen als genannt Variablen, x, …, x zu betrachten, die sich wie man sagt, über die jeweiligen Gebiete erstrecken.

Lassen Sie ein Gebiet von Boolean B ein Zwei-Elemente-Satz, sagen wir, B = {0, 1} sein, wessen Elemente als logische Werte, normalerweise 0 = falsch und 1 = wahr interpretiert werden können. Die charakteristische Funktion der Beziehung L, schriftlichen ƒ oder χ (L), ist der GeBoolean-schätzte Funktions-ƒ: X × … × X  B, definiert auf solche Art und Weise, dass ƒ = 1 nur für den Fall das K-Tupel in der Beziehung L ist. In der Wahrscheinlichkeit und Statistik, wo charakteristische Funktion eine andere Bedeutung hat, bezieht sich Anzeigefunktion darauf, was hier eine charakteristische Funktion genannt wird.

Es ist in der angewandten Mathematik, Informatik und Statistik herkömmlich, um sich auf eine GeBoolean-schätzte Funktion wie ƒ als ein K-Platz-Prädikat zu beziehen. Aus dem abstrakteren Gesichtspunkt der formalen Logik und Mustertheorie setzt die Beziehung L ein logisches Modell oder eine Verwandtschaftsstruktur ein, die als eine von vielen möglichen Interpretationen von einem K-Platz-Prädikat-Symbol dient.

Weil Beziehungen in vielen wissenschaftlichen Disziplinen sowie in vielen Zweigen der Mathematik und Logik entstehen, gibt es beträchtliche Schwankung in der Fachsprache. Dieser Artikel behandelt eine Beziehung als die mit dem Satz theoretische Erweiterung eines Verwandtschaftskonzepts oder Begriffes. Ein verschiedener Gebrauch bestellt den Begriff "Beziehung" zur entsprechenden logischen Entität, entweder das logische Verständnis vor, das die Gesamtheit von Verstärkungen oder abstrakten Eigenschaften ist, die alle Elemente der Beziehung in der Erweiterung gemeinsam haben, oder die Symbole, die genommen werden, um diese Elemente und Verstärkungen anzuzeigen. Weiter führen einige Schriftsteller der letzten Überzeugung Begriffe mit konkreteren Konnotationen, wie "Verwandtschaftsstruktur" für die mit dem Satz theoretische Erweiterung eines gegebenen Verwandtschaftskonzepts ein.

Transitive Beziehungen

Transitive Beziehungen sind binäre Beziehungen R auf einem einzelnen Satz X, wo für den ganzen a, b, c in X, aRb und bRc Kreisbogen einbezieht. Transitive Beziehungen fallen in zwei breite Klassen, Gleichwertigkeitsbeziehungen und Ordnungsbeziehungen. Gleichwertigkeitsbeziehungen sind auch symmetrisch und reflexiv, während Ordnungsbeziehungen (ganze Ordnung) antisymmetrisch oder (teilweise Ordnung) asymmetrisch sind und (einschließliche Ordnung) reflexiv oder (strenge Ordnung) antireflexiv sein können. Die algebraische Struktur von Gleichwertigkeitsbeziehungen baut auf Transformationsgruppen; das von Ordnungsbeziehungen baut auf Gitter-Theorie. Für mehr auf Beziehungen und Mathematik, von einer philosophischen Einstellung, sieh Lucas (1999: chpt. 9).

Analogie mit Funktionen

betrachten kann, verkehrt eine binäre Beziehung R auf Sätzen X und Y, mit jedem Mitglied X, Null oder mehr Mitglieder von Y. (Im Fall von einer Beziehung T auf mehr als zwei Sätzen, X oder Y, oder beide können Kreuzprodukte von einigen der Sätze sein, auf denen T definiert wird.) X wird dann auf das Gebiet von R verwiesen. Y wird die Reihe oder codomain von R genannt. Die Teilmenge von Y, der mit einem Mitglied x X vereinigt ist, wird das Image von x, schriftlich als R (x) genannt. Die Teilmenge von Y hat mit einer Teilmenge &xi verkehrt; X ist die Vereinigung der Images des ganzen x in ξ und wird das Image &xi genannt; schriftlich als R (ξ).

R wird völlig definiert oder an X, wenn für jedes Mitglied x von X ganz, es gibt mindestens ein Mitglied y von Y wo xRy. R wird einzigartig definiert oder an X, wenn für jedes Mitglied x X röhrenförmig, es gibt höchstens ein Mitglied y Y wo xRy. R ist surjective oder ganz an Y, wenn für jedes Mitglied y Y, es gibt mindestens ein Mitglied x X wo xRy. R ist injective oder röhrenförmig an Y, wenn für jedes Mitglied y Y, es gibt höchstens ein Mitglied x X wo xRy. Wenn R sowohl völlig definiert und einzigartig dann R definiert wird, wird gut definiert oder 1 Stammkunde an X (für jedes Mitglied x X, es gibt ein und nur ein Mitglied y Y wo xRy). Wenn R sowohl surjective als auch injective dann R ist, ist bijektiv oder an Y 1-regelmäßig. Wenn R sowohl einzigartig definiert wird und injective dann R, ist isomorph.

Eine Funktion ist eine gut definierte Beziehung. Eine einzigartig definierte Beziehung ist eine teilweise Funktion. Eine Surjective-Funktion ist eine Surjektion. Eine Injective-Funktion ist eine Einspritzung. Eine bijektive Funktion ist eine Bijektion.

Beziehungen verallgemeinern Funktionen. Da es Zusammensetzung von Funktionen gibt, gibt es Zusammensetzung von Beziehungen.

Jede binäre Beziehung R hat eine umstellen Beziehung R, der mit der umgekehrten Funktion verbunden ist. Für eine Beziehung R, der sowohl völlig definiert wird und injective, ist die umstellen Beziehung R ein wahres Gegenteil, in dem R treu jedes Element x oder Teilmenge ξ:  R (R wieder herstellt (ξ)) =

Beispiele

Diese Abteilung, bespricht über das Beispiel, die arithmetische binäre Beziehung der Teilbarkeit.

Teilbarkeit

Ein typischeres Beispiel einer 2-Plätze-Beziehung in der Mathematik ist die Beziehung der Teilbarkeit zwischen zwei positiven ganzen Zahlen n und M, die in Behauptungen wie "n ausgedrückt wird, teilt M", oder "n tritt in M ein" Das ist eine Beziehung, die so häufig heraufkommt, dass ein spezielles Symbol "|" vorbestellt wird, um es auszudrücken, ein erlaubend, zu schreiben, dass "nm" für "n M" teilt

Um die binäre Beziehung der Teilbarkeit in Bezug auf Sätze auszudrücken, haben wir den Satz P von positiven ganzen Zahlen, P = {1, 2, 3, …}, und wir haben die binäre Beziehung D auf solchem P, dass das befohlene Paar (n, m) in der Beziehung D nur für den Fall nm ist. In anderen Redewendungen, die oft verwendet werden, sagt man, dass die Nummer n durch D mit der Zahl verbunden ist, ist M nur für den Fall n ein Faktor der M, d. h. nur für den Fall teilt n M ohne Rest. Die Beziehung D, betrachtet als eine Reihe von befohlenen Paaren, besteht aus allen Paaren von Zahlen (n, m) solch, dass n M teilt.

Zum Beispiel, 2 ist ein Faktor 4, und 6 ist ein Faktor 72, der entweder als 2|4 und 6|72 oder als D (2, 4) und D (6, 72) geschrieben werden kann.

Das angedeutete Lesen

Der Logiker Augustus De Morgan, in der 1860 veröffentlichten Arbeit, war erst, um den Begriff der Beziehung in irgendetwas wie sein gegenwärtiger Sinn zu artikulieren. Er hat auch die ersten formellen Ergebnisse in der Theorie von Beziehungen festgesetzt (auf De Morgan und Beziehungen, sieh Merrill 1990). Charles Sanders Peirce hat neu formuliert und hat die Ergebnisse von De Morgan erweitert. Bertrand Russell (1938; 1. Hrsg.-1903) war historisch wichtig, in dem er in einem Platz viele Ergebnisse des 19. Jahrhunderts auf Beziehungen, besonders Ordnungen, durch Peirce, Gottlob Frege, Georg Cantor, Richard Dedekind und andere zusammengebracht hat. Russell und A. N. Whitehead haben freien Gebrauch von diesen gemacht läuft auf ihren epochalen Principia Mathematica hinaus. Weil eine systematische Abhandlung auf der Theorie von Beziehungen R. Fraïssé, Theorie von Beziehungen sieht (das Nördliche Holland; 2000).

Zeichen

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Mathematik)
• Funktionelle Beziehung
• Vorkommen-Struktur
• Logik von Verwandten
• Logische Matrix
• Teilweise Ordnung
• Vorsprung (Mengenlehre)
• Reflexive Beziehung
• Beziehungsalgebra
• Die Beziehungsverminderung
• Zeichen-Beziehung
• Transitive Beziehung
• Verwandtschaftsalgebra
• Verwandtschaftsmodell
• Peirce, C.S. (1870), "Beschreibung einer Notation für die Logik von Verwandten, Sich aus einer Erweiterung der Vorstellungen der Rechnung von Boole der Logik", Lebenserinnerungen der amerikanischen Kunstakademie und Wissenschaften 9, 317-78, 1870 Ergebend. Nachgedrucktes, Gesammeltes Papier-BEDIENUNGSFELD 3.45-149, Chronologische Ausgabe CE 2, 359-429.
• Ulam, S.M. und Bednarek, A.R. (1990), "Auf der Theorie von Verwandtschaftsstrukturen und Diagrammen für die Parallele Berechnung", Seiten 477-508 in A.R. Bednarek und Françoise Ulam (Hrsg.). Analogien Zwischen Analogien: Die Mathematischen Berichte von S.M. Ulam und His Los Alamos Collaborators, Universität der Presse von Kalifornien, Berkeleys, Kalifornien

Bibliografie

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Links

• Kartesianisches Produkt, Beziehung, Funktion ProvenMath