In der Mathematik ist ein Flugzeug eine flache, zweidimensionale Oberfläche. Ein Flugzeug ist die zwei dimensionale Entsprechung eines Punkts (Nulldimensionen), eine Linie (eine Dimension) und ein Raum (drei Dimensionen). Flugzeuge können als Subräume von einem höheren dimensionalen Raum, als mit den Wänden eines Zimmers entstehen, oder sie können eine unabhängige Existenz in ihrem eigenen Recht, als in der Einstellung der Euklidischen Geometrie genießen.

Wenn

man im zweidimensionalen Euklidischen Raum arbeitet, wird der bestimmte Artikel, das Flugzeug verwendet, um sich auf den ganzen Raum zu beziehen. Viele grundsätzliche Aufgaben in Mathematik, Geometrie, Trigonometrie, Graph-Theorie und grafisch darzustellen, werden im zweidimensionalen Raum, oder mit anderen Worten im Flugzeug durchgeführt.

Euklidische Geometrie

Euklid hat die erste bekannte axiomatische Behandlung der Geometrie dargelegt. Er hat einen kleinen Kern von unbestimmten Begriffen ausgewählt (hat allgemeine Begriffe genannt) und Postulate (oder Axiome), der er dann gepflegt hat, verschiedene geometrische Behauptungen zu beweisen. Obwohl das Flugzeug in seinem modernen Sinn keine Definition nirgends in den Elementen direkt gegeben wird, kann davon als ein Teil der allgemeinen Begriffe gedacht werden. In seiner Arbeit macht Euklid nie von Zahlen Gebrauch, um Länge, Winkel oder Gebiet zu messen. Auf diese Weise ist das Euklidische Flugzeug nicht ganz dasselbe als das Kartesianische Flugzeug.

Flugzeuge im 3-dimensionalen euklidischen Raum eingebettet

Diese Abteilung ist spezifisch mit in drei Dimensionen eingebetteten Flugzeugen beschäftigt: spezifisch, in R.

Eigenschaften

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum können wir die folgenden Tatsachen ausnutzen, die in höheren Dimensionen nicht halten:

• Zwei Flugzeuge sind entweder Parallele, oder sie schneiden sich in einer Linie.
• Eine Linie ist entweder Parallele zu einem Flugzeug, schneidet sie an einem einzelnen Punkt durch, oder wird im Flugzeug enthalten.
• Zwei Liniensenkrechte zu demselben Flugzeug muss zu einander parallel sein.
• Zwei Flugzeug-Senkrechte zu derselben Linie muss zu einander parallel sein.

Definition mit einem Punkt und einem normalen Vektoren

In einem dreidimensionalen Raum ist eine andere wichtige Weise, ein Flugzeug zu definieren, durch das Spezifizieren eines Punkts und eines normalen Vektoren zum Flugzeug.

Lassen Sie, der Positionsvektor von einem bekannten Punkt im Flugzeug zu sein, und n ein zum Flugzeug normaler Nichtnullvektor sein zu lassen. Die Idee besteht darin, dass ein Punkt mit dem Positionsvektoren im Flugzeug ist, wenn, und nur wenn der Vektor, der von dazu gezogen ist, auf n rechtwinklig ist. Das Zurückrufen, dass zwei Vektoren rechtwinklig sind, wenn, und nur wenn ihr Punktprodukt Null ist, hieraus folgt dass das gewünschte Flugzeug als der Satz aller Punkte r solch dass ausgedrückt werden kann

:

(Der Punkt hier bedeutet ein Punktprodukt, nicht Skalarmultiplikation.)

Ausgebreitet wird das

:

der die vertraute Gleichung für ein Flugzeug ist.

Bemerken Sie, dass das bedeutet, dass zwei nichtgleiche Punkte verwendet werden können, um ein Flugzeug zu definieren, so lange sie bestellt und gemäß einer abgestimmten Tagung verwendet werden: Zum Beispiel sitzt der erste Punkt auf dem Flugzeug, und der normale Vektor wird implizit von definiert (-).

Das Definieren eines Flugzeugs mit einem Punkt und zwei Vektoren, die darauf liegen

Wechselweise kann ein Flugzeug parametrisch als der Satz aller Punkte der Form beschrieben werden

:

wo sich s und t über alle reellen Zahlen erstrecken, und Vektoren gegeben werden, die das Flugzeug definieren, und der Vektor ist, der die Position eines willkürlichen (aber befestigt) Punkt auf dem Flugzeug vertritt. Die Vektoren und können als Vektoren vergegenwärtigt werden, die daran anfangen und in verschiedenen Richtungen entlang dem Flugzeug hinweisen. Bemerken Sie, dass und rechtwinklig sein kann, aber nicht parallel sein kann.

Das Definieren eines Flugzeugs durch drei Punkte

Lassen Sie, und seien Sie Non-Collinear-Punkte.

Methode 1

Das Flugzeug durchgehend, und kann als der Satz aller Punkte definiert werden (x, y, z), die die folgenden bestimmenden Gleichungen befriedigen:

:

x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\

x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\

x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1

\end {vmatrix} = \begin {vmatrix }\

x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\

x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\

x - x_3 & y - y_3 & z - z_3

\end {vmatrix} = 0. </Mathematik>

Methode 2

Um das Flugzeug als eine Gleichung in der Form zu beschreiben, lösen Sie das folgende Gleichungssystem:

:::

Dieses System kann mit der Regierung von Cramer und grundlegenden Matrixmanipulationen gelöst werden. Lassen Sie

:

x_1 & y_1 & z_1 \\

x_2 & y_2 & z_2 \\

x_3 & y_3 & z_3

\end {vmatrix} </Mathematik>.

Wenn D Nichtnull ist (so für Flugzeuge nicht durch den Ursprung), können die Werte für a, b und c wie folgt berechnet werden:

:

1 & y_1 & z_1 \\

1 & y_2 & z_2 \\

1 & y_3 & z_3

\end {vmatrix} </Mathematik>

:

x_1 & 1 & z_1 \\

x_2 & 1 & z_2 \\

x_3 & 1 & z_3

\end {vmatrix} </Mathematik>:

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1

\end {vmatrix}. </Mathematik>

Diese Gleichungen sind in d parametrisch. Das Setzen d gleich jeder Nichtnullzahl und das Ersetzen davon in diese Gleichungen werden einen Lösungssatz nachgeben.

Methode 3

Dieses Flugzeug kann auch durch den "Punkt und einen normalen Vektoren" Vorschrift oben beschrieben werden. Ein passender normaler Vektor wird durch das Kreuzprodukt gegeben

:

und der Punkt kann genommen werden, um einige der gegebenen Punkte zu sein, oder.

Entfernung von einem Punkt bis ein Flugzeug

Für ein Flugzeug und einen Punkt, der nicht notwendigerweise auf dem Flugzeug liegt, ist die kürzeste Entfernung von zum Flugzeug

:

Hieraus folgt dass im Flugzeug wenn und nur wenn D=0 liegt.

Wenn

sie bedeutet, dass a, b, und c dann normalisiert werden, wird die Gleichung

:

Linie der Kreuzung zwischen zwei Flugzeugen

Die Linie der Kreuzung zwischen zwei Flugzeugen, und wo normalisiert werden, wird durch gegeben

:

wo

::

Das wird dadurch gefunden zu bemerken, dass die Linie sowohl auf dem Flugzeug normals rechtwinklig sein muss, als auch so Parallele zu ihrem Kreuzprodukt (dieses Kreuzprodukt Null ist, wenn, und nur wenn die Flugzeuge parallel sind, und sich deshalb nichtschneiden oder völlig zusammenfallend).

Der Rest des Ausdrucks wird durch die Entdeckung eines willkürlichen Punkts auf der Linie erreicht. Um so zu tun, denken Sie, dass jeder Punkt im Raum als geschrieben werden kann, da eine Basis ist. Wir möchten einen Punkt finden, der auf beiden Flugzeugen (d. h. auf ihrer Kreuzung) ist, so fügen Sie diese Gleichung in jede der Gleichungen der Flugzeuge ein, um zwei gleichzeitige Gleichungen zu bekommen, die für gelöst werden können und.

Wenn wir weiter annehmen, dass und dann orthonormal sind, ist der nächste Punkt auf der Linie der Kreuzung zum Ursprung

. Wenn das nicht der Fall ist, dann muss ein komplizierteres Verfahren http://mathworld.wolfram.com/Plane-PlaneIntersection.html. verwendet werden

Zweiflächiger Winkel

In Anbetracht zwei sich schneidender Flugzeuge, die dadurch beschrieben sind, und wird der zweiflächige Winkel zwischen ihnen definiert, um der Winkel zwischen ihren normalen Richtungen zu sein:

:

Flugzeuge in verschiedenen Gebieten der Mathematik

Zusätzlich zu seiner vertrauten geometrischen Struktur mit dem Isomorphismus, der Isometrien in Bezug auf das übliche Skalarprodukt ist, kann das Flugzeug an verschiedenen anderen Niveaus der Abstraktion angesehen werden. Jedes Niveau der Abstraktion entspricht einer spezifischen Kategorie.

An einem Extrem können alle geometrischen und metrischen Konzepte fallen gelassen sein, um das topologische Flugzeug zu verlassen, von dem als eine idealisierte homotopically triviale unendliche Gummiplatte gedacht werden kann, die einen Begriff der Nähe behält, aber keine Entfernungen hat. Das topologische Flugzeug hat ein Konzept eines geradlinigen Pfads, aber kein Konzept einer Gerade. Das topologische Flugzeug oder seine Entsprechung die offene Scheibe, ist die grundlegende topologische Nachbarschaft, die verwendet ist, um Oberflächen (oder 2 Sammelleitungen) zu bauen, klassifiziert in der niedrig-dimensionalen Topologie. Der Isomorphismus des topologischen Flugzeugs ist alle dauernden Bijektionen. Das topologische Flugzeug ist der natürliche Zusammenhang für den Zweig der Graph-Theorie, die sich mit planaren Graphen befasst, und wie der vier Farbenlehrsatz resultiert.

Das Flugzeug kann auch als ein affine Raum angesehen werden, dessen Isomorphismus Kombinationen von Übersetzungen und nichtsingulären geradlinigen Karten ist. Aus diesem Gesichtspunkt gibt es keine Entfernungen, aber collinearity und Verhältnisse von Entfernungen auf jeder Linie werden bewahrt.

Differenzialgeometrie sieht ein Flugzeug als eine 2-dimensionale echte Sammelleitung, ein topologisches Flugzeug an, das mit einer Differenzialstruktur versorgt wird. Wieder in diesem Fall gibt es keinen Begriff der Entfernung, aber es gibt jetzt ein Konzept der Glätte von Karten, zum Beispiel ein differentiable oder glatter Pfad (je nachdem der Typ der Differenzialstruktur angewandt). Der Isomorphismus ist in diesem Fall Bijektionen mit dem gewählten Grad von differentiability.

In der entgegengesetzten Richtung der Abstraktion können wir eine vereinbare Feldstruktur auf das geometrische Flugzeug anwenden, das komplizierte Flugzeug und das Hauptgebiet der komplizierten Analyse verursachend. Das komplizierte Feld hat nur zwei Isomorphismus, der die echte Linie befestigt, die Identität und Konjugation verlässt.

Ebenso als im echten Fall kann das Flugzeug auch als das einfachste, eindimensionale (über die komplexen Zahlen) komplizierte Sammelleitung, manchmal genannt die komplizierte Linie angesehen werden. Jedoch hebt sich dieser Gesichtspunkt scharf vom Fall des Flugzeugs als eine 2-dimensionale echte Sammelleitung ab. Der Isomorphismus ist alle conformal Bijektionen des komplizierten Flugzeugs, aber die einzigen Möglichkeiten sind Karten, die der Zusammensetzung einer Multiplikation durch eine komplexe Zahl und eine Übersetzung entsprechen.

Außerdem ist die Euklidische Geometrie (der Nullkrümmung überall hat) nicht die einzige Geometrie, die das Flugzeug haben kann. Das Flugzeug kann eine sphärische Geometrie durch das Verwenden des stereografischen Vorsprungs gegeben werden. Davon kann als das Stellen eines Bereichs auf dem Flugzeug (gerade wie ein Ball auf dem Fußboden), das Entfernen des Spitzenpunkts und die Projektierung des Bereichs auf das Flugzeug von diesem Punkt) gedacht werden. Das ist einer der Vorsprünge, die im Bilden einer flachen Karte des Teils der Oberfläche der Erde verwendet werden können. Die resultierende Geometrie hat unveränderliche positive Krümmung.

Wechselweise kann das Flugzeug auch ein metrischer gegeben werden, der ihm unveränderliche negative Krümmung gibt, die das Hyperbelflugzeug gibt. Die letzte Möglichkeit findet eine Anwendung in der Theorie der speziellen Relativität im vereinfachten Fall, wo es zwei Raumdimensionen und eine Zeitdimension gibt. (Das Hyperbelflugzeug ist eine Zeitmäßighyperoberfläche im dreidimensionalen Raum von Minkowski.)

Topologische und unterschiedliche geometrische Begriffe

Der ein Punkt compactification des Flugzeugs ist homeomorphic zu einem Bereich (sieh stereografischen Vorsprung); die offene Platte ist homeomorphic zu einem Bereich mit den Vermissten "von Nordpol"; das Hinzufügen, dass Punkt den (kompakten) Bereich vollendet. Das Ergebnis dieses compactification ist eine Sammelleitung gekennzeichnet als der Bereich von Riemann oder die komplizierte projektive Linie. Der Vorsprung vom Euklidischen Flugzeug bis einen Bereich ohne einen Punkt ist ein diffeomorphism und sogar eine Conformal-Karte.

Das Flugzeug selbst ist homeomorphic (und diffeomorphic) zu einer offenen Platte. Für das Flugzeug von Lobachevsky ist solcher diffeomorphism conformal, aber für das Euklidische Flugzeug ist es nicht.

Siehe auch

• Halbflugzeug
• Hyperflugzeug
• Linienstufige Kreuzung
• Flugzeug der Folge
• Punkt auf dem Flugzeug, das am Ursprung am nächsten

ist

• Projektives Flugzeug

Links