Im mathematischen Feld der Topologie ist die Erweiterung von Alexandroff eine Weise, einen topologischen Nichtkompaktraum durch das Angrenzen an einen einzelnen Punkt auf solche Art und Weise zu erweitern, dass der resultierende Raum kompakt ist. Es wird für den russischen Mathematiker Pavel Alexandrov genannt.

Lassen Sie genauer X ein topologischer Raum sein. Dann ist die Erweiterung von Alexandroff X bestimmter kompakter RaumX* zusammen mit einem offenen Einbetten c: X  solcher X*, dass die Ergänzung X in X* aus einem einzelnen Punkt besteht, hat normalerweise  angezeigt. Die Karte c ist Hausdorff compactification, wenn, und nur wenn X ein lokal kompakter, nichtkompakter Raum von Hausdorff ist. Für solche Räume wird die Erweiterung von Alexandroff den einen Punkt compactification oder Alexandroff compactification genannt. Die Vorteile des Alexandroffs compactification liegen in seinem einfachen, häufig geometrisch bedeutungsvolle Struktur und die Tatsache, dass es in einem genauen unter dem ganzen compactifications minimalen Sinn ist; der Nachteil liegt in der Tatsache, dass er nur Hausdorff compactification auf der Klasse lokal kompakter, nichtkompakter Räume von Hausdorff verschieden von Stein-Čech compactification gibt, das für jeden Raum von Tychonoff, eine viel größere Klasse von Räumen besteht.

Beispiel: umgekehrter stereografischer Vorsprung

Ein geometrisch ansprechendes Beispiel des eines Punkts compactification wird durch den umgekehrten stereografischen Vorsprung angeführt. Rufen Sie zurück, dass der stereografische Vorsprung S einen ausführlichen homeomorphism vom Einheitsbereich minus der Nordpol (0,0,1) zum Euklidischen Flugzeug gibt. Der umgekehrte stereografische Vorsprung ist ein offenes, dichtes Einbetten in einen erhaltenen Kompaktraum von Hausdorff durch das Angrenzen an den zusätzlichen Punkt. Unter dem stereografischen Vorsprung werden Breitenkreise zu planaren Kreisen kartografisch dargestellt. Hieraus folgt dass die gelöschte Nachbarschaft-Basis von gegebenen durch die durchstochenen kugelförmigen Kappen

\setminus K) \cup \{\infty \} </Mathematik> als K erstreckt sich durch die Kompaktteilmengen dessen. Dieses Beispiel enthält bereits die Schlüsselkonzepte des allgemeinen Falls.

Motivation

Lassen Sie, ein Einbetten von einem topologischen Raum X zu kompaktem Hausdorff topologischer Raum Y, mit dem dichten Image und Ein-Punkt-Rest zu sein. Dann c (X) ist in einem Kompaktraum von Hausdorff offen auch ist lokal kompakter Hausdorff, folglich ist sein homeomorphic Vorimage X auch lokal kompakter Hausdorff. Außerdem, wenn X dann c (X) kompakt wären, würde in Y geschlossen und folglich nicht dicht. So kann ein Raum nur einen einen Punkt compactification zulassen, wenn es lokal kompakt, nichtkompakt ist und Hausdorff. Außerdem, in solch einem einen Punkt compactification das Image einer Nachbarschaft-Basis für x in X gibt eine Nachbarschaft-Basis für c (x) in c (X), und — weil eine Teilmenge eines Kompaktraums von Hausdorff kompakt ist, wenn, und nur wenn es geschlossen wird — die offene Nachbarschaft alle erhaltenen Sätze durch das Angrenzen an das Image unter c einer Teilmenge X mit der Kompaktergänzung sein muss.

Die Erweiterung von Alexandroff

Lassen Sie X jeder topologische Raum sein und zu lassen, jeder Gegenstand zu sein, der nicht bereits ein Element X. ist (In Bezug auf die formelle Mengenlehre, die man zum Beispiel nehmen konnte, um X selbst zu sein, aber es ist nicht wirklich notwendig oder nützlich, so spezifisch zu sein.) Gestellt, und topologize durch die Einnahme als offene Sätze aller offenen Teilmengen U X zusammen mit allen Teilmengen V, die enthalten und solch, der geschlossen und kompakt wird.

Die Einschließungskarte wird die Erweiterung von Alexandroff X (Willard, 19A) genannt.

Die obengenannten Eigenschaften folgen alle leicht von der obengenannten Diskussion:

• Die Karte c ist dauernd und offen: Es bettet X als eine offene Teilmenge dessen ein.
• Der Raum ist kompakt.
• Das Image c (X) ist darin dicht, wenn X nichtkompakt ist.
• Der Raum ist Hausdorff, wenn, und nur wenn X Hausdorff und lokal kompakt ist.

Der ein Punkt compactification

Insbesondere die Erweiterung von Alexandroff ist ein compactification X, wenn, und nur wenn X Hausdorff, nichtkompakt und lokal kompakt ist. In diesem Fall wird es den einen Punkt compactification oder Alexandroff compactification X genannt. Rufen Sie von der obengenannten Diskussion dass jeder compactification zurück

mit einem Punkt ist Rest notwendigerweise (isomorph zu) der Alexandroff compactification.

Lassen Sie X jeder Nichtkompaktraum von Tychonoff sein. Unter der natürlichen teilweisen Einrichtung auf dem Satz von Gleichwertigkeitsklassen von compactifications ist jedes minimale Element zur Erweiterung von Alexandroff (Engelking, Lehrsatz 3.5.12) gleichwertig. Hieraus folgt dass ein Nichtkompaktraum von Tychonoff einen minimalen compactification zulässt, wenn, und nur wenn es lokal kompakt ist.

Weitere Beispiele

• Der ein Punkt compactification des Satzes von positiven ganzen Zahlen ist homeomorphic zum Raum, der aus K = {0} besteht, U {1/n n ist ein positiver integer.} mit der Ordnungstopologie.
• Der ein Punkt compactification des n-dimensional Euklidischen Raums R ist homeomorphic zum N-Bereich S. Als oben kann die Karte ausführlich als ein n-dimensional umgekehrter stereografischer Vorsprung gegeben werden.
• Da der Verschluss einer verbundenen Teilmenge verbunden wird, wird die Erweiterung von Alexandroff eines verbundenen Nichtkompaktraums verbunden. Jedoch kann ein ein Punkt compactification einen getrennten Raum "verbinden": Zum Beispiel ist der ein Punkt compactification der zusammenhanglosen Vereinigung von Kopien des Zwischenraums (0,1) ein Keil von Kreisen.
• Die Erweiterung von Alexandroff kann als ein functor von der Kategorie von topologischen Räumen zur Kategorie angesehen werden, deren Gegenstände dauernde Karten sind, und für den die morphisms von dazu Paare von dauernden Karten sind

Y_1 \rightarrow Y_2 </Mathematik> solch dass. Insbesondere homeomorphic Räume haben isomorphe Erweiterungen von Alexandroff.

Siehe auch

• Wallman compactification
• Ende (Topologie)
• Bereich von Riemann
• Normaler Raum
• Stereografischer Vorsprung