Das Paradox des Currys ist ein Paradox, das in der naiven Mengenlehre oder naiven Logik vorkommt, und die Abstammung eines willkürlichen Satzes von einem sich selbstbeziehenden Satz und einigen anscheinend harmlosen logischen Abzug-Regeln erlaubt. Es wird nach dem Curry des Logikers Haskell genannt.

Es ist auch das Paradox von Löb nach Martin Hugo Löb genannt worden.

Natürliche Sprache

Ansprüche der Form "wenn A, dann werden B" bedingte Ansprüche genannt. Das Paradox des Currys verwendet eine besondere Art des Selbstverweisungskonditionalsatzes, wie demonstriert, in diesem Beispiel:

:If dieser Satz, ist dann Grenzen von Deutschland China wahr.

Wenn auch Deutschland China nicht begrenzt, ist der Beispiel-Satz sicher ein Satz der natürlichen Sprache, und so kann die Wahrheit dieses Satzes analysiert werden. Das Paradox folgt aus dieser Analyse. Erstens können allgemeine Probetechniken der natürlichen Sprache verwendet werden, um zu beweisen, dass der Beispiel-Satz wahr ist. Zweitens kann die Wahrheit des Beispiel-Satzes verwendet werden, um dieses Deutschland Grenzen China zu beweisen. Weil Deutschland China nicht begrenzt, weist das darauf hin, dass es einen Fehler in einem der Beweise gegeben hat. Schlechter der Anspruch "Grenzen von Deutschland konnte China" durch jeden anderen Anspruch ersetzt werden, und der Satz würde noch nachweisbar sein; so scheint jeder Satz, nachweisbar zu sein. Weil der Beweis nur gut akzeptierte Methoden des Abzugs verwendet, und weil keine dieser Methoden scheint, falsch zu sein, ist diese Situation paradox.

Beweis, dass der Satz wahr

Die folgende Analyse wird verwendet, um zu zeigen, dass der Satz, "Wenn dieser Satz wahr ist, dann sind Grenzen von Deutschland China" selbst wahr. Der angesetzte Satz ist der Form, "Wenn dann B", wo sich A auf den Satz selbst und B bezieht, auf "Grenzen von Deutschland China" verweist. Innerhalb der naiven Logik, an der Curry arbeitete, soll die Methode, für einen Konditionalsatz zu beweisen, annehmen, dass die Hypothese (A) wahr ist, und dann erweisen Sie sich von dieser Annahme, dass der Beschluss (B) wahr ist.

Nehmen Sie an, dass A wahr ist. Weil sich A auf den gesamten Satz bezieht, deshalb ist das Annehmen A wahr ist dasselbe als das Annehmen, dass die Behauptung, "Wenn dann B" auch wahr ist. Weil A wahr ist, deshalb ist B wahr. Das Annehmen A ist wahr ist deshalb genug, um zu versichern, dass B unabhängig von der Wahrheit der Behauptung B wahr ist.

Das Paradox

In einer naiven Logik ist der Satz selbst, angezeigter A, wahr. Der Satz ist der Form "Wenn dann B". Da A deshalb wahr ist, "Wenn dann B" wahr ist. Wir wenden dann Modus ponens an, um zu zeigen, dass B wahr ist; aber das ist unmöglich, weil B "Grenzen von Deutschland China" ist, das falsch ist.

Formale Logik

Das Beispiel in der vorherigen Abteilung hat unformalisiert, das Denken der natürlichen Sprache verwendet. Das Paradox des Currys kommt auch in der formalen Logik vor. In diesem Zusammenhang zeigt es, dass, wenn wir annehmen, es einen formellen Satz gibt (X  Y), wo X selbst dazu gleichwertig ist (X  Y), dann können wir Y mit einem formellen Beweis beweisen. Ein Beispiel solch eines formellen Beweises ist wie folgt.

1. X  X

:rule der Annahme, auch genannt Neuformulierung der Proposition oder der Hypothese

2. X  (X  Y)

:substitute-Recht-Seite 1, seitdem X ist zu X  Y durch die Annahme gleichwertig

3. X  Y

:from 2 durch die Zusammenziehung

4. X

:substitute 3, seitdem X = X  Y

5. Y

:from 4 und 3 durch den Modus ponens

Deshalb, wenn Y eine unbeweisbare Behauptung in einem formellen System ist, gibt es keine Behauptung X in diesem solchem System, dass X zur Implikation (X  Y) gleichwertig ist. Im Vergleich zeigt die vorherige Abteilung, dass auf der natürlichen (unformalisierten) Sprache für jede Behauptung Y der natürlichen Sprache es eine solche Behauptung Z der natürlichen Sprache gibt, dass Z zu (Z  Y) auf natürlicher Sprache gleichwertig ist. Nämlich ist Z, "Wenn dieser Satz dann Y wahr ist".

Naive Mengenlehre

Selbst wenn die zu Grunde liegende mathematische Logik keinen Selbstverweisungssatz in Mengenlehren zulässt, die uneingeschränktes Verständnis erlauben, können wir dennoch jede logische Behauptung Y beweisen, indem wir den Satz untersuchen

:

Der Beweis geht wie folgt weiter:

1. : Definition von X
2. : von 1
3. : von 2, Zusammenziehung
4. :from 1
5. : von 3 und 4, Modus ponens
6. :from 3 und 5, Modus ponens

Deshalb, in einer Theorie der konsistenten Menge, besteht der Satz für falschen Y nicht. Das kann als eine Variante auf dem Paradox von Russell gesehen werden, aber ist nicht identisch. Einige Vorschläge für die Mengenlehre haben versucht, sich mit dem Paradox von Russell nicht durch das Einschränken der Regel des Verständnisses, aber durch das Einschränken der Regeln der Logik zu befassen, so dass es die widersprechende Natur des Satzes aller Sätze duldet, die nicht Mitglieder von sich sind. Die Existenz von Beweisen wie derjenige über Shows, dass solch eine Aufgabe nicht so einfach ist, weil mindestens eine der Abzug-Regeln, die im Beweis oben verwendet sind, weggelassen oder eingeschränkt werden müssen.

Logik von Combinatory

In der Studie von illative combinatory Logik hat Curry 1941 die Implikation des Paradoxes als Andeutung anerkannt, dass, ohne Beschränkungen, die folgenden Eigenschaften einer combinatory Logik unvereinbar sind:

(i) Kombinatorische Vollständigkeit. Das bedeutet, dass ein Abstraktionsmaschinenbediener definierbar (oder primitiv ist) im System, das eine Voraussetzung an die ausdrucksvolle Macht des Systems ist.

(ii) Deduktive Vollständigkeit. Das ist eine Voraussetzung an derivability, nämlich, der Grundsatz dass in einem formellen System mit der materiellen Implikation und dem Modus ponens, wenn Y aus der Hypothese X nachweisbar ist, dann gibt es auch einen Beweis von X  Y.

Diskussion

Das Paradox des Currys kann auf jeder Sprache formuliert werden, die bestimmte Bedingungen entspricht:

1. Die Sprache muss einen Apparat enthalten, der sie sich auf, und Gespräch über, seine eigenen Sätze (wie Anführungszeichen, Namen oder Ausdrücke wie "dieser Satz") beziehen lässt;
2. Die Sprache muss sein eigenes Wahrheitsprädikat enthalten: D. h. die Sprache, Anruf es "L", muss ein Prädikat enthalten, das "true-in-L" und die Fähigkeit bedeutet, dieses Prädikat irgendwelchen Sätzen zuzuschreiben;
3. Die Sprache muss die Regel die Zusammenziehung zulassen, die grob sprechend bedeutet, dass eine relevante Hypothese so oft wiederverwendet werden kann wie notwendige; und
4. Die Sprache muss die Regeln die Identität (wenn A, dann A) und Modus ponens zulassen (von A, und wenn dann B, B schließen Sie).

Verschiedene andere Sätze von Bedingungen sind auch möglich. Natürliche Sprachen enthalten fast immer alle diese Eigenschaften. Mathematische Logik ermuntert andererseits allgemein ausführliche Verweisung auf seine eigenen Sätze nicht, obwohl das Herz der Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel die Beobachtung ist, dass gewöhnlich das irgendwie getan werden kann; sieh Zahl von Gödel. Das Wahrheitsprädikat ist allgemein, aber in der naiven Mengenlehre nicht verfügbar, das wird durch die uneingeschränkte Regel des Verständnisses erreicht. Die Regel der Zusammenziehung wird allgemein akzeptiert, obwohl geradlinige Logik (genauer, geradlinige Logik ohne die Exponentialmaschinenbediener) das für dieses Paradox erforderliche Denken nicht zulassen.

Bemerken Sie, dass verschieden vom Lügner-Paradox oder dem Paradox von Russell dieses Paradox davon nicht abhängt, welches Modell der Ablehnung verwendet wird, weil es völlig ohne Ablehnung ist. So kann parakonsequente Logik noch dafür verwundbar sein, selbst wenn sie zum Lügner-Paradox geschützt sind.

Die Entschlossenheit des Paradoxes des Currys ist ein streitsüchtiges Problem, weil Entschlossenheiten (abgesondert von trivialen wie das Zurückweisen X direkt) schwierig und nicht intuitiv sind. Logiker sind unentschieden, ob solche Sätze irgendwie unzulässig sind (und wenn so, wie man sie verbannt), oder sinnlos, oder ob sie richtig sind und Probleme mit dem Konzept der Wahrheit selbst offenbaren (und wenn so, ob wir das Konzept der Wahrheit zurückweisen sollten, oder es ändern), oder ob sie gütig durch eine passende Rechnung ihrer Bedeutungen gemacht werden können.

Geradlinige Logik weist Zusammenziehung zurück und lässt dieses Paradox direkt so nicht zu, aber man muss seine Exponentialmaschinenbediener entfernen, oder das Paradox in einer modalen Form wieder erscheint.

Siehe auch

• Das Paradox von Richard
• Kleene-Rosser Paradox
• Das Paradox von Girard
• Liste von Paradoxen

Außenverbindungen

• Grossman, Jason, australische Nationale Universität: Ein Beweis dass Pinguin-Regel das Weltall. Eine kurze und unterhaltende Diskussion des Paradoxes des Currys.
• Relevante Logik der Ersten Ordnung LP# und das Paradox des Currys