In der Mathematik ist ein Einbetten (oder das Einbetten) ein Beispiel von einer mathematischen Struktur, die innerhalb eines anderen Beispiels wie eine Gruppe enthalten ist, die eine Untergruppe ist.

Wenn, wie man sagt, ein Gegenstand X in einem anderen Gegenstand Y eingebettet wird, wird das Einbetten durch einen injective und Struktur bewahrende Karte gegeben. Die genaue Bedeutung "der Struktur-Bewahrung" hängt von der Art der mathematischen Struktur ab, deren X und Y Beispiele sind. In der Fachsprache der Kategorie-Theorie wird eine Struktur bewahrende Karte einen morphism genannt.

Die Tatsache, dass eine Karte ein Einbetten ist, wird häufig durch den Gebrauch eines "krummen Pfeils" so angezeigt: Andererseits wird diese Notation manchmal für Einschließungskarten vorbestellt.

In Anbetracht X und Y können mehrere verschiedene embeddings X in Y möglich sein. In vielen Fällen von Interesse gibt es einen Standard (oder "kanonisch") das Einbetten, wie diejenigen der natürlichen Zahlen in den ganzen Zahlen, den ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen, den rationalen Zahlen in den reellen Zahlen und den reellen Zahlen in den komplexen Zahlen. In solchen Fällen ist es üblich, das Gebiet X mit seinem Image f (X) enthalten in Y, so dass dann zu identifizieren.

Topologie und Geometrie

Allgemeine Topologie

In der allgemeinen Topologie ist ein Einbetten eine isomorphe Funktion (d. h., eine Einspritzung), der ein homeomorphism auf sein Image ist. Ausführlicher, eine injective dauernde Karte f: X  Y zwischen topologischen Räumen X und Y sind ein topologisches Einbetten, wenn f einen homeomorphism zwischen X und f (X) nachgibt (wohin f (X) die Subraumtopologie trägt, die von Y geerbt ist). Intuitiv dann, das Einbetten f: X  Y lassen uns X als ein Subraum von Y behandeln. Jedes Einbetten ist injective und dauernd. Jede Karte, die injective, dauernd und entweder offen oder geschlossen ist, ist ein Einbetten; jedoch gibt es auch embeddings, die weder offen noch geschlossen sind. Der Letztere geschieht, wenn das Image f (X) weder ein offener Satz noch ein geschlossener Satz in Y ist.

Für einen gegebenen Raum X ist die Existenz eines Einbettens von X  Y ein topologischer invariant X. Das erlaubt zwei Räumen, bemerkenswert zu sein, wenn man im Stande ist, in einen Raum eingebettet zu werden, während der andere nicht ist.

Differenzialtopologie

In der Differenzialtopologie:

Lassen Sie M und N glatte Sammelleitungen sein und eine glatte Karte zu sein. Dann wird f eine Immersion genannt, wenn seine Ableitung überall injective ist. Ein Einbetten oder ein glattes Einbetten, wird definiert, um eine injective Immersion zu sein, die ein Einbetten im topologischen Sinn ist, der oben (d. h. homeomorphism auf sein Image) erwähnt ist.

Mit anderen Worten ist ein Einbetten diffeomorphic zu seinem Image, und insbesondere muss das Image eines Einbettens eine Subsammelleitung sein. Eine Immersion ist ein lokales Einbetten (d. h. für jeden Punkt gibt es eine solche Nachbarschaft, der ein Einbetten ist.)

Wenn die Bereichssammelleitung kompakt ist, ist der Begriff eines glatten Einbettens zu dieser einer injective Immersion gleichwertig.

Ein wichtiger Fall ist N=R. Das Interesse hier ist darin, wie großer n in Bezug auf die Dimension sein muss, stellt die M der M Der Whitney, der Lehrsatz einbettet, fest, dass n = 2 M genug ist. Zum Beispiel verlangt das echte projektive Flugzeug der Dimension 2 n = 4 für ein Einbetten. Eine Immersion dieser Oberfläche ist jedoch in R, möglich, und ein Beispiel ist die Oberfläche des Jungen - der Selbstkreuzungen hat. Die römische Oberfläche scheitert, eine Immersion zu sein, weil sie Quer-Kappen enthält.

Ein Einbetten ist richtig, wenn es sich gut w.r.t. Grenzen benimmt: Man verlangt, dass die Karte dass solch

• , und
• ist transversal zu in jedem Punkt dessen.

Die erste Bedingung ist dazu gleichwertig, zu haben, und. Die zweite Bedingung, grob das Sprechen, sagt, dass f (X) nicht Tangente zur Grenze von Y ist.

Geometrie von Riemannian

In der Riemannian Geometrie:

Lassen Sie (M, g) und (N, h) Sammelleitungen von Riemannian sein.

Ein isometrisches Einbetten ist ein glattes Einbetten f: M  N, der das metrische im Sinn bewahrt, dass g dem Hemmnis von h durch f, d. h. g = f*h gleich ist. Ausführlich, für irgendwelche zwei Tangente-Vektoren

wir haben

Analog ist isometrische Immersion eine Immersion zwischen Sammelleitungen von Riemannian, die die Metrik von Riemannian bewahrt.

Gleichwertig ist ein isometrisches Einbetten (Immersion) ein glattes Einbetten (Immersion), die Länge von Kurven (vgl Nash bewahrt, der Lehrsatz einbettet).

Algebra

Im Allgemeinen, für eine algebraische Kategorie C, ein Einbetten zwischen zwei C-algebraic Strukturen X und Y ist C-morphism e:XY, der injective ist.

Feldtheorie

In der Feldtheorie ist ein Einbetten Feldes E in Feld F ein Ringhomomorphismus σ: E  F.

Der Kern von σ ist ein Ideal von E, der das ganze Feld E, wegen der Bedingung σ (1) =1 nicht sein kann. Außerdem ist es ein wohl bekanntes Eigentum von Feldern, dass ihre einzigen Ideale das Nullideal und das ganze Feld selbst sind. Deshalb ist der Kern 0, so ist jedes Einbetten von Feldern ein monomorphism. Folglich ist E zum Teilfeld σ (E) F isomorph. Das rechtfertigt das Nameneinbetten für einen willkürlichen Homomorphismus von Feldern.

Universale Algebra und Mustertheorie

Wenn σ eine Unterschrift ist und σ-structures ist (auch hat σ-algebras in der universalen Algebra oder Modelle in der Mustertheorie genannt), dann ist eine Karte ein σ-embedding iff der ganze folgende hält:

• ist injective,
• für jedes-Ary-Funktionssymbol und haben wir,
• für jedes-ary Beziehungssymbol und haben wir iff

Hier ist eine theoretische Musternotation, die dazu gleichwertig ist. In der Mustertheorie gibt es auch einen stärkeren Begriff des elementaren Einbettens.

Ordnungstheorie und Bereichstheorie

In der Ordnungstheorie ist ein Einbetten von teilweisen Ordnungen eine Funktion F von X bis solchen Y dass:

In der Bereichstheorie ist eine zusätzliche Voraussetzung:

: wird geleitet.

Metrische Räume

Von metrischen Räumen kartografisch darzustellen, wird ein Einbetten genannt

(mit der Verzerrung) wenn

für eine Konstante.

Räume von Normed

Ein wichtiger spezieller Fall ist der von normed Räumen; in diesem Fall ist es natürlich, geradlinigen embeddings zu denken.

Eine der grundlegenden Fragen die können nach einem endlich-dimensionalen normed Raum gefragt werden, ist, wie ist die maximale solche Dimension, dass der Raum von Hilbert in mit der unveränderlichen Verzerrung geradlinig eingebettet werden kann?

Die Antwort wird durch den Lehrsatz von Dvoretzky gegeben.

Kategorie-Theorie

In der Kategorie-Theorie gibt es keine befriedigende und allgemein akzeptierte Definition von embeddings, der in allen Kategorien anwendbar ist. Man würde erwarten, dass der ganze Isomorphismus und alle Zusammensetzungen von embeddings embeddings sind, und dass alle embeddings monomorphisms sind. Andere typische Voraussetzungen sind: Jeder extremal monomorphism ist ein Einbetten, und embeddings sind unter Hemmnissen stabil.

Ideal sollte die Klasse aller eingebetteten Subgegenstände eines gegebenen Gegenstands, bis zum Isomorphismus, auch, und so ein bestellter Satz klein sein. In diesem Fall, wie man sagt, wird die Kategorie in Bezug auf die Klasse von embeddings gut angetrieben. Das erlaubt, neue lokale Strukturen auf der Kategorie (wie ein Verschluss-Maschinenbediener) zu definieren.

In einer konkreten Kategorie ist ein Einbetten ein morphism ƒ: Ein  B, der eine Injective-Funktion vom zu Grunde liegenden Satz zum zu Grunde liegenden Satz von B ist und auch eine Initiale morphism im folgenden Sinn ist:

Wenn g eine Funktion vom zu Grunde liegenden Satz eines Gegenstands C zum zu Grunde liegenden Satz von A ist, und wenn seine Zusammensetzung mit dem ƒ ein morphism ƒg ist: C  B, dann g selbst ist ein morphism.

Ein factorization System für eine Kategorie verursacht auch einen Begriff des Einbettens. Wenn (E, M) ein factorization System ist, dann kann der morphisms in der M als der embeddings besonders betrachtet werden, wenn die Kategorie in Bezug auf die M Konkrete Theorien gut angetrieben wird, häufig haben ein factorization System, in dem M aus dem embeddings im vorherigen Sinn besteht. Das ist der Mehrheit der in diesem Artikel angeführten Beispiele der Fall.

Wie gewöhnlich in der Kategorie-Theorie gibt es ein Doppelkonzept, das als Quotient bekannt ist. Alle vorhergehenden Eigenschaften können dualized sein.

Ein Einbetten kann sich auch auf ein Einbetten functor beziehen.

Siehe auch

• Deckel
• Immersion
• Subsammelleitung
• Subraum

Referenzen

• .

Außenverbindungen