In der Mathematik ist Differenzialtopologie das Feld, das sich differentiable Funktionen auf Differentiable-Sammelleitungen befasst. Es ist nah mit der Differenzialgeometrie verbunden, und zusammen setzen sie die geometrische Theorie von Differentiable-Sammelleitungen zusammen.

Beschreibung

Differenzialtopologie denkt die Eigenschaften und Strukturen, die verlangen, dass nur eine glatte Struktur auf einer Sammelleitung definiert wird. Glatte Sammelleitungen sind 'weicher' als Sammelleitungen mit geometrischen Extrastrukturen, die als Hindernisse für bestimmte Typen von Gleichwertigkeiten und Deformierungen handeln können, die in der Differenzialtopologie bestehen. Zum Beispiel sind Volumen und Krümmung von Riemannian invariants, der verschiedene geometrische Strukturen auf derselben glatten Sammelleitung unterscheiden kann - d. h. kann man" bestimmte Sammelleitungen glatt "glatt machen, aber es könnte das Verzerren des Raums und Beeinflussen der Krümmung oder des Volumens verlangen.

Andererseits sind glatte Sammelleitungen starrer als die topologischen Sammelleitungen. John Milnor hat entdeckt, dass einige Bereiche mehr als eine glatte Struktur haben — sieh exotischen Bereich und den Lehrsatz von Donaldson. Kervaire hat topologische Sammelleitungen ohne glatte Struktur überhaupt ausgestellt. Einige Aufbauten der glatten mannigfaltigen Theorie, wie die Existenz der Tangente Bündel, können in der topologischen Einstellung mit viel mehr Arbeit getan werden, und andere können nicht.

Eines der Hauptthemen in der Differenzialtopologie ist die Studie von speziellen Arten von glattem mappings zwischen Sammelleitungen, nämlich Immersionen und Untertauchen und die Kreuzungen von Subsammelleitungen über transversality. Mehr allgemein interessiert man sich für Eigenschaften und invariants von glatten Sammelleitungen, die durch diffeomorphisms, eine andere spezielle Art davon vorgetragen werden, glatt kartografisch darzustellen. Morsezeichen-Theorie ist ein anderer Zweig der Differenzialtopologie, in der die topologische Information über eine Sammelleitung aus Änderungen in der Reihe von Jacobian einer Funktion abgeleitet wird.

Für eine Liste von Differenzialtopologie-Themen, sieh die folgende Verweisung: Liste von Differenzialgeometrie-Themen.

Differenzialtopologie gegen die Differenzialgeometrie

Differenzialtopologie und Differenzialgeometrie werden zuerst durch ihre Ähnlichkeit charakterisiert. Sie beide studieren in erster Linie die Eigenschaften von Differentiable-Sammelleitungen manchmal mit einer Vielfalt von ihnen auferlegten Strukturen.

Ein Hauptunterschied liegt in der Natur der Probleme, die jedes Thema versucht zu richten. In einer Ansicht unterscheidet Differenzialtopologie sich von der Differenzialgeometrie durch das Studieren in erster Linie jener Probleme, die von Natur aus global sind.

Denken Sie, dass das Beispiel einer Kaffeetasse und eines Berliners (sieht). Aus dem Gesichtswinkel von der Differenzialtopologie sind der Berliner und die Kaffeetasse dasselbe (gewissermaßen). Das ist eine von Natur aus globale Ansicht aber, weil es keinen Weg für das Differenzial topologist gibt, um zu erzählen, ob die zwei Gegenstände dasselbe (in diesem Sinn) durch das Schauen auf gerade ein winziges (lokales) Stück von jedem von ihnen sind. Er muss Zugang zu jedem kompletten (globalen) Gegenstand haben.

Aus dem Gesichtswinkel von der Differenzialgeometrie sind die Kaffeetasse und der Berliner verschieden, weil es unmöglich ist, die Kaffeetasse auf solche Art und Weise dass seine Konfigurationsmatchs dieser des Berliners rotieren zu lassen. Das ist auch eine globale Denkart über das Problem. Aber eine wichtige Unterscheidung ist, dass der geometer den kompletten Gegenstand nicht braucht, das zu entscheiden. Indem er zum Beispiel an gerade einem winzigen Stück des Griffs schaut, kann er entscheiden, dass die Kaffeetasse vom Berliner verschieden ist, weil der Griff dünner (oder mehr gekrümmt ist) als jedes Stück des Berliners.

Um es kurz und bündig zu stellen, studiert Differenzialtopologie Strukturen auf Sammelleitungen, die gewissermaßen keine interessante lokale Struktur haben. Differenzialgeometrie studiert Strukturen auf Sammelleitungen, die wirklich einen interessanten Vorortszug (oder manchmal sogar unendlich klein) Struktur haben.

Mathematischer, zum Beispiel, ist das Problem, einen diffeomorphism zwischen zwei Sammelleitungen derselben Dimension zu bauen, von Natur aus global, da lokal zwei solche Sammelleitungen immer diffeomorphic sind. Ebenfalls ist das Problem, eine Menge auf einer Sammelleitung zu schätzen, die invariant unter differentiable mappings ist, von Natur aus global, da jeder lokale invariant im Sinn trivial sein wird, dass es bereits in der Topologie von R ausgestellt wird. Außerdem schränkt Differenzialtopologie sich notwendigerweise zur Studie von diffeomorphism nicht ein. Zum Beispiel, symplectic Topologie - eine Unterabteilung der Differenzialtopologie - studiert globale Eigenschaften von Symplectic-Sammelleitungen. Differenzialgeometrie beschäftigt sich mit Problemen - der lokal oder global sein kann - die immer einige nichttriviale lokale Eigenschaften haben. So kann Differenzialgeometrie Differentiable-Sammelleitungen studieren, die mit einer Verbindung, ein metrischer ausgestattet sind (der Riemannian, pseudo-Riemannian, oder Finsler sein kann), eine spezielle Sorte des Vertriebs (wie eine CR Struktur), und so weiter.

Diese Unterscheidung zwischen Differenzialgeometrie und Differenzialtopologie wird jedoch in Fragen verschmiert, die spezifisch lokalem diffeomorphism invariants wie der Tangente-Raum an einem Punkt gehören. Differenzialtopologie befasst sich auch mit Fragen wie diese, die spezifisch den Eigenschaften von differentiable mappings auf R (zum Beispiel das Tangente-Bündel, die Strahlbündel, der Erweiterungslehrsatz von Whitney, und so weiter) gehören.

Dennoch wird die Unterscheidung klarer in abstrakten Begriffen. Differenzialtopologie ist die Studie (unendlich klein, lokal, und global) Eigenschaften von Strukturen auf Sammelleitungen, die keine nichttrivialen lokalen Module haben, wohingegen Differenzialgeometrie die Studie (unendlich klein, lokal, und global) Eigenschaften von Strukturen auf Sammelleitungen ist, die nichttriviale lokale Module haben.

Siehe auch

• Liste von Differenzialgeometrie-Themen
• Wörterverzeichnis der Differenzialgeometrie und Topologie
• Wichtige Veröffentlichungen in der Differenzialgeometrie
• Wichtige Veröffentlichungen in der Differenzialtopologie
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit

Referenzen