In der Mathematik ist eine einheitliche Matrix eine (quadratische) komplizierte Matrix, die die Bedingung befriedigt

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wo die Identitätsmatrix in n Dimensionen ist und das verbundene ist, stellen um (auch hat Hermitian adjoint genannt) dessen. Bemerken Sie, dass diese Bedingung andeutet, dass eine Matrix einheitlich ist, wenn, und nur wenn es ein Gegenteil hat, das seinem verbundenen gleich ist, umstellen

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Eine einheitliche Matrix, in der alle Einträge echt sind, ist eine orthogonale Matrix. Gerade als eine orthogonale Matrix das (echte) Skalarprodukt von zwei echten bewahrt

Vektoren,

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so befriedigt auch eine einheitliche Matrix

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für alle komplizierten Vektoren x und y, wo Standplätze jetzt für das Standardskalarprodukt darauf.

Wenn eine Matrix dann ist, ist der folgende alle gleichwertigen Bedingungen:

1. ist einheitlicher

ist einheitlicher

1. die Säulen der Form eine orthonormale Basis in Bezug auf dieses Skalarprodukt
2. die Reihen der Form eine orthonormale Basis in Bezug auf dieses Skalarprodukt

1. ist eine Isometrie in Bezug auf die Norm von diesem Skalarprodukt

1. ist eine normale Matrix mit eigenvalues, der auf dem Einheitskreis liegt.

Eigenschaften

• Alle einheitlichen matrices sind normal, und der geisterhafte Lehrsatz gilt deshalb für sie. So hat jede einheitliche Matrix eine Zergliederung der Form

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:where ist einheitlich, und ist diagonal und einheitlich. D. h. eine einheitliche Matrix ist diagonalizable durch eine einheitliche Matrix.

Für jede einheitliche Matrix hält der folgende:

• .

• ist invertible, damit.

ist

• auch einheitlich.

• Konserve-Länge ("Isometrie"):.
• wenn Komplex eigenvalues hat, sind sie vom Modul 1.
• Eigenspaces sind orthogonal: Wenn Matrix dann normal ist, sind seine Eigenvektoren entsprechend verschiedenem eigenvalues orthogonal.
• Für jeden n bildet der Satz des ganzen n durch n einheitlichen matrices mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe, genannt U (n).
• Jede Einheitsnorm-Matrix ist der Durchschnitt von zwei einheitlichen matrices. Demzufolge ist jede Matrix eine geradlinige Kombination von zwei einheitlichen matrices.

Siehe auch

• Orthogonale Matrix
• Matrix von Hermitian
• Matrix von Symplectic
• Einheitliche Gruppe
• Spezielle einheitliche Gruppe
• Einheitlicher Maschinenbediener
• Matrixzergliederung
• Identitätsmatrix

Außenverbindungen