In der Mathematik sind die octonions eine normed Abteilungsalgebra über die reellen Zahlen, die gewöhnlich durch den Großbuchstaben O, mit der Fettschrift O oder kühnen Wandtafel vertreten sind. Es gibt nur vier solche Algebra, die anderen drei, die die reellen Zahlen R, die komplexen Zahlen C und der quaternions H sind. Die octonions sind solche Algebra mit acht Dimensionen am größten, verdoppeln die Zahl des quaternions, von dem sie eine Erweiterung sind. Sie sind nichtauswechselbar und nichtassoziativ, aber befriedigen eine schwächere Form von associativity, Macht associativity.

Octonions sind als der quaternions und die komplexen Zahlen nicht ebenso bekannt, die viel weiter studiert und verwendet werden. Trotz dessen haben sie einige interessante Eigenschaften und sind mit mehreren außergewöhnlichen Strukturen in der Mathematik, unter ihnen die außergewöhnlichen Lüge-Gruppen verbunden. Zusätzlich haben octonions Anwendungen in Feldern wie Schnur-Theorie, spezielle Relativität und Quant-Logik.

Die octonions wurden 1843 von John T. Graves entdeckt, der durch die Entdeckung seines Freunds William Hamilton von quaternions begeistert ist. Graves hat seine Entdeckungsoktaven genannt. Sie wurden unabhängig von Arthur Cayley entdeckt und werden manchmal Zahlen von Cayley oder die Algebra von Cayley genannt.

Definition

Vom octonions kann als Oktette (oder 8 Tupel) von reellen Zahlen gedacht werden. Jeder octonion ist eine echte geradlinige Kombination der Einheit octonions:

:

wo e das echte oder Skalarelement ist; es kann mit der reellen Zahl 1 identifiziert werden. D. h. jeder octonion x kann in der Form geschrieben werden

:

mit echten Koeffizienten {x}.

Hinzufügung und Subtraktion von octonions werden durch das Hinzufügen und das Abziehen entsprechender Begriffe und folglich ihrer Koeffizienten wie quaternions getan. Multiplikation ist komplizierter. Multiplikation ist über die Hinzufügung verteilend, so kann das Produkt von zwei octonions durch das Summieren des Produktes aller Begriffe wieder wie quaternions berechnet werden. Das Produkt jedes Begriffes kann durch die Multiplikation der Koeffizienten und eine Multiplikationstabelle der Einheit octonions, wie dieser gegeben werden:

</Zentrum>

Die meisten außerdiagonalen Elemente des Tisches sind antisymmetrisch, es fast ein Verdrehen - symmetrische Matrix abgesehen von den Elementen auf der Hauptdiagonale, der Reihe und der Säule machend, für die ein operand ist.

Der Tisch kann durch die Beziehungen zusammengefasst werden:

:

wo ein völlig antisymmetrischer Tensor mit dem Wert +1 wenn ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 ist, und:

:

mit e das Skalarelement und ich, j, k = 1... 7.

Die obengenannte Definition, obwohl nicht einzigartig ist, aber nur eine von 480 möglichen Definitionen für die octonion Multiplikation ist. Andere können durch das Permutieren der Nichtskalarelemente erhalten werden, so kann betrachtet werden, verschiedene Basen zu haben. Abwechselnd können sie durch das Befestigen der Produktregel für einige Begriffe und das Ableiten des Rests von den anderen Eigenschaften des octonions erhalten werden. Die 480 verschiedenen Algebra sind isomorph, sind in der Praxis so identisch, und es gibt selten ein Bedürfnis in Betracht zu ziehen, welche besondere Multiplikationsregel verwendet wird.

Aufbau von Cayley-Dickson

Eine systematischere Weise, den octonions zu definieren, ist über den Aufbau von Cayley-Dickson. Da quaternions als Paare von komplexen Zahlen definiert werden kann, kann der octonions als Paare von quaternions definiert werden. Hinzufügung wird pairwise definiert. Das Produkt von zwei Paaren von quaternions (a, b) und (c, d) wird durch definiert

:

wo den verbundenen vom quaternion z anzeigt. Diese Definition ist zu ein gegebener oben gleichwertig, wenn die acht Einheit octonions mit den Paaren identifiziert wird

: (1,0), (ich, 0), (j, 0), (k, 0), (0,1), (0, i), (0, j), (0, k)

Mnemonisches Flugzeug von Fano

Ein günstiger mnemonischer, für sich an die Produkte der Einheit octonions zu erinnern, wird durch das Diagramm am Recht gegeben, das die Multiplikationstabelle von Cayley und Graves vertritt. Dieses Diagramm mit sieben Punkten und sieben Linien (wird der Kreis bis 1, 2, und 3 als eine Linie betrachtet), wird das Flugzeug von Fano genannt. Die Linien werden orientiert. Die sieben Punkte entsprechen den sieben Standardbasiselementen von Im (O) (sieh Definition unten). Jedes Paar von verschiedenen Punkten lügt auf einer einzigartigen Linie, und jede Linie bohrt genau drei Punkte durch.

Lassen Sie (a, b, c), ein bestellter dreifache von Punkten zu sein, die auf einer gegebenen Linie mit der durch die Richtung des Pfeils angegebenen Ordnung liegen. Dann wird Multiplikation durch gegeben

:ab = c und ba = c

zusammen mit zyklischen Versetzungen. Diese Regeln zusammen mit

• 1 ist die multiplicative Identität,
• e = 1 für jeden Punkt im Diagramm

völlig definiert die multiplicative Struktur des octonions. Jede der sieben Linien erzeugt eine Subalgebra von O, der zum quaternions H isomorph ist.

Verbunden, Norm und Gegenteil

Der verbundene von einem octonion

:

wird durch gegeben

:

Konjugation ist eine Involution von O und befriedigt (xy) * =y* x* (bemerken Sie die Änderung in der Ordnung).

Der echte Teil von x wird durch gegeben

:

und der imaginäre Teil durch

:

Der Satz des ganzen rein imaginären octonions misst einen 7 Dimensionssubraum von O ab, hat Im (O) angezeigt.

Die Konjugation von octonions befriedigt die Gleichung

:

Das Produkt eines octonion mit seinem verbundenen, x* x = x x *, ist immer eine nichtnegative reelle Zahl:

:

Damit kann die Norm eines octonion, als definiert werden

:

Diese Norm stimmt mit der Euklidischen Standardnorm auf R überein.

Die Existenz einer Norm auf O bezieht die Existenz von Gegenteilen für jedes Nichtnullelement von O ein. Das Gegenteil von x  0 wird durch gegeben

:

Es befriedigt x x = x x = 1.

Eigenschaften

Multiplikation von Octonionic ist kein auswechselbar:

:

noch assoziativ:

:

Die octonions befriedigen wirklich eine schwächere Form von associativity: Sie sind alternativ. Das bedeutet, dass die durch irgendwelche zwei Elemente erzeugte Subalgebra assoziativ ist. Wirklich kann man zeigen, dass die durch irgendwelche zwei Elemente von O erzeugte Subalgebra zu R, C, oder H isomorph ist, von denen alle assoziativ sind. Wegen ihres non-associativity haben octonions Matrixdarstellungen verschieden von quaternions nicht.

Die octonions behalten wirklich ein wichtiges Eigentum, das durch R, C, und H geteilt ist: Die Norm auf O befriedigt

:

Das deutet an, dass die octonions eine nichtassoziative normed Abteilungsalgebra bilden. Die hoch-dimensionalen Algebra, die durch den Aufbau von Cayley-Dickson (z.B der sedenions) definiert sind, scheitern alle, dieses Eigentum zu befriedigen. Sie alle haben Nullteiler.

Breitere Zahl-Systeme bestehen, die ein multiplicative Modul (z.B 16 dimensionale konische sedenions) haben. Ihr Modul wird verschieden von ihrer Norm definiert, und sie enthalten auch Nullteiler.

Es stellt sich heraus, dass die einzigen normed Abteilungsalgebra über den reals R, C, H, und O sind. Diese vier Algebra bilden auch die einzigen alternativen, endlich-dimensionalen Abteilungsalgebra über den reals (bis zum Isomorphismus).

Nicht assoziativ seiend, bilden die Nichtnullelemente von O keine Gruppe. Sie bilden wirklich jedoch eine Schleife, tatsächlich eine Schleife von Moufang.

Umschalter und Kreuzprodukt

Der Umschalter von zwei octonions x und y wird durch gegeben

:

Das ist antisymmetrisch und imaginär. Wenn es nur als ein Produkt auf imaginärem Subraumim (O) betrachtet wird, definiert es ein Produkt auf diesem Raum, dem siebendimensionalen Kreuzprodukt, das durch gegeben ist

:

Wie das Kreuzprodukt in drei Dimensionen ist das ein Vektor, der zu x und y mit dem Umfang orthogonal

ist:

Aber wie das octonion Produkt wird es nicht einzigartig definiert. Stattdessen gibt es viele verschiedene Kreuzprodukte, jeden Abhängigen auf der Wahl des octonion Produktes.

Automorphisms

Ein automorphism, A, des octonions ist eine invertible geradlinige Transformation von O, der befriedigt

:

Der Satz des ganzen automorphisms von O bildet eine Gruppe genannt G. Die Gruppe G ist eine einfach verbundene, kompakte, echte Lüge-Gruppe der Dimension 14. Diese Gruppe ist von den außergewöhnlichen Lüge-Gruppen am kleinsten und ist zur Untergruppe SO (7) isomorph, der jeden gewählten besonderen Vektoren in seiner 8-dimensionalen echten spinor Darstellung bewahrt.

Siehe auch: PSL (2,7) - die automorphism Gruppe des Flugzeugs von Fano.

Reihenquellen und Zeichen

Siehe auch

• Spalt-octonions
• Algebra von Octonion
• Hyperkomplizierte Zahlen
• Triality
• Drehung (8)
• Zusammensetzungsalgebra
• . Online-HTML-Versionen an der Seite von Baez oder sehen lanl.arXiv.org Kopie
• . Anhang, der in Den Gesammelten Mathematischen Zeitungen, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p nachgedruckt ist. 127.
• . (Rezension).

Links

• Octonions und das Flugzeug von Fano Mnemonisch (Videodemonstration)