In der Mathematik ist G der Name von drei einfachen Lüge-Gruppen (eine komplizierte Form, eine echte Kompaktform und ein Spalt echte Form), ihre Lüge-Algebra, sowie einige algebraische Gruppen. Sie sind von den fünf außergewöhnlichen einfachen Lüge-Gruppen am kleinsten. G hat Reihe 2 und Dimension 14. Seine grundsätzliche Darstellung ist 7-dimensional.

Die Kompaktform von G kann als die automorphism Gruppe der octonion Algebra oder, gleichwertig, als die Untergruppe SO (7) beschrieben werden, der jeden gewählten besonderen Vektoren in seiner 8-dimensionalen echten spinor Darstellung bewahrt.

In älteren Büchern und Zeitungen wird G manchmal durch E angezeigt.

Echte Formen

Es gibt 3 einfache echte mit diesem Wurzelsystem vereinigte Lüge-Algebra:

• Die zu Grunde liegende echte Lüge-Algebra der komplizierten Lüge-Algebra G hat Dimension 28. Es hat komplizierte Konjugation als ein Außenautomorphism und wird einfach verbunden. Die maximale Kompaktuntergruppe seiner verbundenen Gruppe ist die Kompaktform von G.
• Die Lüge-Algebra der Kompaktform ist 14 dimensional. Die verbundene Lüge-Gruppe hat keinen Außenautomorphisms, kein Zentrum, und wird einfach verbunden und kompakt.
• Die Lüge-Algebra des nichtkompakten (Spalt) Form hat Dimension 14. Die verbundene einfache Lüge-Gruppe hat grundsätzliche Gruppe des Auftrags 2, und seine automorphism Außengruppe ist die triviale Gruppe. Seine maximale Kompaktuntergruppe ist SU (2) × SU (2) / (1, 1). Es hat einen nichtalgebraischen doppelten Deckel, der einfach verbunden wird.

Algebra

Diagramm von Dynkin und Matrix von Cartan

Durch das Dynkin Diagramm für G wird gegeben.

Seine Cartan Matrix ist:

:

\; \, \, 2&-3 \\

-1& \; \, \, 2

\end {smallmatrix }\\Recht] </Mathematik>

Wurzeln von G

Obwohl sie einen 2-dimensionalen Raum, so gezogen abmessen, ist es viel mehr symmetrisch, um sie zu betrachten, wie Vektoren in einem 2-dimensionalen Subraum eines dreidimensionalen Raums.

Ein Satz von einfachen Wurzeln, dafür ist:

: (0,1,&minus;1), (1,&minus;2,1)

Weyl/Coxeter Gruppe

Seine Weyl/Coxeter Gruppe ist die zweiflächige Gruppe, D vom Auftrag 12.

Spezieller holonomy

G ist eine der möglichen speziellen Gruppen, die als die holonomy Gruppe von metrischem Riemannian erscheinen können. Die Sammelleitungen von G holonomy werden auch G-Sammelleitungen genannt.

Polynomischer Invariant

G ist die automorphism Gruppe der folgenden zwei Polynome in 7 Nichtersatzvariablen.

:

: (± Versetzungen)

der aus der octionion Algebra kommt. Die Variablen müssen sonst nichtauswechselbar sein das zweite Polynom würde identisch Null-sein.

Generatoren

Das Hinzufügen einer Darstellung der 14 Generatoren mit Koeffizienten A. N gibt die Matrix:

:

\begin {bmatrix }\

0 & C &-B & E &-D &-G &-F+M \\

- C & 0 & A & F &-G+N&D-K&E+L \\

B &-A & 0 &-N & M & L & K \\

- E &-F & N & 0 &-A+H&-B+I&-C+J \\

D &G-N &-M &A-H& 0 & J &-I \\

G &K-D& -L&B-I&-J & 0 & H \\

F-M&-E-L&-K &C-J& ICH &-H & 0 \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

Darstellungen

Die Charaktere von begrenzten dimensionalen Darstellungen der echten und komplizierten Lüge-Algebra und Liegen Gruppen wird alles durch die Charakter-Formel von Weyl gegeben. Die Dimensionen der kleinsten nicht zu vereinfachenden Darstellungen sind:

:1, 7, 14, 27, 64, 77 (zweimal), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (zweimal), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (zweimal), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096,

13090&hellip;.

Die 14-dimensionale Darstellung ist die adjoint Darstellung, und der 7-dimensionale ist Handlung von G auf dem imaginären octonions.

Es gibt zwei nichtisomorphe nicht zu vereinfachende Darstellungen von Dimensionen 77, 2079, 4928, 28652, usw. Die grundsätzlichen Darstellungen sind diejenigen mit Dimensionen 14 und 7 (entsprechend den zwei Knoten im Diagramm von Dynkin in der solcher Ordnung, dass der dreifache Pfeil von Anfang an zum zweiten hinweist).

beschrieben (unendlich dimensional) einheitliche nicht zu vereinfachende Darstellungen der the.split echten Form von G.

Begrenzte Gruppen

Die Gruppe G (q) ist die Punkte der algebraischen Gruppe G über das begrenzte Feld F. Diese begrenzten Gruppen wurden zuerst von Leonard Eugene Dickson in für sonderbaren q und für sogar q vorgestellt. Die Ordnung von G (q) ist. Wenn q2, die Gruppe einfach ist, und wenn q = 2, es eine einfache Untergruppe des Index 2 hat, der zu (3) isomorph ist. Der J wurde zuerst als eine Untergruppe von G (11) gebaut. eingeführt hat Gruppen von Ree G (q) des Auftrags q (q+1) (q1) für q=3 eine sonderbare Macht 3 gedreht.

Siehe auch

• Siebendimensionales Kreuzprodukt
• .

:: Sieh Abschnitt 4.1: G; dessen Online-HTML-Version an http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html. verfügbar

ist

• Leonard E. Dickson hat Gruppen des Typs G in Feldern der sonderbaren Eigenschaft angezeigt.
• Leonard E. Dickson hat Gruppen des Typs G in Feldern sogar der Eigenschaft angezeigt.