In der abstrakten Algebra, einem begrenzten Feld oder dem Feld von Galois (so genannt zu Ehren von Évariste Galois) ist ein Feld, das eine begrenzte Zahl der Elemente enthält. Begrenzte Felder sind in Zahlentheorie, algebraischer Geometrie, Theorie von Galois, Geheimschrift wichtig, Theorie und Quant-Fehlerkorrektur codierend. Die begrenzten Felder werden durch die Größe klassifiziert; es gibt genau ein begrenztes Feld bis zum Isomorphismus der Größe p für jeden ersten p und positive ganze Zahl k. Jedes begrenzte Feld der Größe q ist das zerreißende Feld des Polynoms x - x, und so das feste Feld des Endomorphismus von Frobenius, der x zu x nimmt. Ähnlich ist die multiplicative Gruppe des Feldes eine zyklische Gruppe. Der kleine Lehrsatz von Wedderburn stellt fest, dass die Gruppe von Brauer eines begrenzten Feldes trivial ist, so dass jeder begrenzte Abteilungsring ein begrenztes Feld ist. Begrenzte Felder haben Anwendungen in vielen Gebieten der Mathematik und Informatik, einschließlich des Codierens der Theorie, LFSRs, Moduldarstellungstheorie und der Gruppen des Typs Lie. Begrenzte Felder sind ein aktives Gebiet der Forschung, einschließlich neuer Ergebnisse auf der Vermutung von Kakeya und offener Probleme auf der Größe der kleinsten primitiven Wurzel.

Begrenzte Felder erscheinen in der folgenden Kette von Klasseneinschließungen:

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder  begrenzte Felder.

Klassifikation

Die begrenzten Felder werden wie folgt klassifiziert:

• Die Ordnung oder Zahl der Elemente, eines begrenzten Feldes ist von der Form p, wo p eine Primzahl ist, hat die Eigenschaft des Feldes genannt, und n ist eine positive ganze Zahl.
• Für jede Primzahl p und positive ganze Zahl n, dort besteht ein begrenztes Feld mit p Elementen.
• Irgendwelche zwei begrenzten Felder mit derselben Zahl der Elemente sind isomorph. D. h. unter etwas Umbenennung der Elemente von einem von diesen werden sowohl seine Hinzufügung als auch Multiplikationstabellen identisch zu den entsprechenden Tischen des anderen.

Diese Klassifikation rechtfertigt das Verwenden eines Namengeben-Schemas für begrenzte Felder, das nur die Ordnung des Feldes angibt. Eine Notation für ein begrenztes Feld ist F. Eine andere Notation ist GF (p), wo die Briefe "GF" "für Feld von Galois" eintreten.

Beispiele

Zuerst denken wir Felder, wo die Größe, d. h., n = 1 erst ist. Solch ein Feld wird auch ein Hauptfeld genannt. Ein Beispiel solch eines begrenzten Feldes ist der Ring Z/pZ. Es ist ein begrenztes Feld mit p Elementen, gewöhnlich etikettiert 0, 1, 2..., p1, wo Arithmetik modulo p durchgeführt wird. Es wird auch manchmal Z angezeigt, aber innerhalb von einigen Gebieten der Mathematik, besonders Zahlentheorie, kann das Verwirrung verursachen, weil dieselbe Notation Z für den Ring von p-adic ganzen Zahlen verwendet wird.

Als nächstes denken wir Felder, wo die Größe nicht erst ist, aber eine Hauptmacht, d. h., n> 1 ist.

Zwei isomorphe Aufbauten des Feldes mit 4 Elementen sind (Z/2Z) [T] / (T+T+1) und Z [φ] / (2Z [φ]), wo φ =. Hier ist (Z/2Z) [T] der polynomische Ring von Z/2Z, und (Z/2Z) [T] / (T+T+1) sind die Gleichwertigkeitsklassen dieser Polynome modulo T+T+1.

Grob T+T+1=0, so dass T=T+1 (seit-1=1 in Z/2Z) und folglich die Elemente von (Z/2Z) [T] / (T+T+1) die Polynome des Grads bis zu 1 mit Koeffizienten in Z/2Z, d. h. der Satz {0, 1, T, 1+T} sind (sieh unten für mehr Details).

Bemerken Sie, dass (Z/2Z) [T] / (T+1) nicht ein Feld ist, da es einen Nullteiler (T+1) =T+1=0 zulässt (da wir arbeiten

in Z/2Z wo 2=0).

Ein Feld mit 8 Elementen ist (Z/2Z) [T] / (T+T+1).

Zwei isomorphe Aufbauten des Feldes mit 9 Elementen sind (Z/3Z) [T] / (T+1) und Z [ich] / (3Z [ich]).

Wenn auch alle Felder der Größe p zu Z/pZ, isomorph

sind

für n  2 der Ring ist Z/pZ (der Ring von ganzen Zahlen modulo p) nicht ein Feld. Das Element p (mod p) ist Nichtnull und hat kein multiplicative Gegenteil. Vergleichsweise mit dem Ring Z/4Z der Größe 4 ist die zu Grunde liegende zusätzliche Gruppe des Feldes (Z/2Z) [T] / (T+T+1) der Größe 4 nicht zyklisch, aber ist eher dem Klein vier-Gruppen-, (Z/2Z) isomorph.

Ein Hauptmacht-Feld mit p=2 wird auch ein binäres Feld genannt.

Schließlich denken wir Felder, wo die Größe nicht eine Hauptmacht ist. Da es sich erweist, besteht niemand. Zum Beispiel gibt es kein Feld mit 6 Elementen, weil 6 nicht eine Hauptmacht ist. All und jedes Paar von Operationen auf eine Reihe 6 Elemente scheitert, die mathematische Definition eines Feldes zu befriedigen.

Probeumriss

Die Eigenschaft eines begrenzten Feldes ist ein erster p (da ein Feld keine Nullteiler hat), und das Feld ein Vektorraum von einer begrenzten Dimension sagen wir n über Z/pZ ist, folglich hat das Feld p Elemente. Ein Feld des Auftrags p besteht, weil F = Z/pZ ein Feld ist, wo primality für die Nichtnullelemente erforderlich ist, multiplicative Gegenteile zu haben.

Für jede Hauptmacht q = p ist F das zerreißende Feld des Polynoms f (T) = T  T über F. Dieses Feld besteht und ist bis zum Isomorphismus durch den Aufbau von zerreißenden Feldern einzigartig. Der Satz von Wurzeln ist ein Feld, das feste Feld des n-ten wiederholen des Endomorphismus von Frobenius, so ist das zerreißende Feld genau die q Wurzeln dieses Polynoms, die verschieden sind, weil das Polynom T  T über F trennbar ist: Seine Ableitung ist 1, der keine Wurzeln hat.

Ausführlicher Beweis der Klassifikation

Ordnung

Wir geben zwei Beweise, dass ein begrenztes Feld Hauptmacht-Ordnung hat.

Für den ersten Beweis, lassen Sie F ein begrenztes Feld sein. Schreiben Sie seine zusätzliche Identität als 0 und seine multiplicative Identität als 1. Die Eigenschaft von F ist eine Primzahl p, weil die Eigenschaft eines begrenzten Rings positiv ist und erst sein muss, oder der Ring Nullteiler haben würde. Die p verschiedenen Elemente 0, 1, 2..., p1 (wo 2 Mittel 1+1, usw.) bilden ein Teilfeld von F, der zu Z/pZ isomorph ist. F ist ein Vektorraum über Z/pZ, und es muss begrenzte Dimension über Z/pZ haben. Nennen Sie die Dimension n, so wird jedes Element von F einzigartig durch N-Koordinaten in Z/pZ angegeben. Es gibt p Möglichkeiten für jede Koordinate ohne Abhängigkeiten unter verschiedenen Koordinaten, so ist die Zahl der Elemente in F p. Das beweist die erste Behauptung, und tut etwas mehr: Es zeigt, dass, zusätzlich, F eine direkte Summe von Kopien von Z/pZ ist.

Für den zweiten Beweis, der länger ist als derjenige oben, schauen wir näher auf die zusätzliche Struktur eines begrenzten Feldes. Wenn F ein begrenztes Feld und a ist und b irgendwelche zwei Nichtnullelemente von F sind, ist die Funktion f (x) = (b/a) x auf F ein Zusatz automorphism, der an b sendet. (Es ist sicher nicht multiplicative auch im Allgemeinen!), So ist F, unter der Hinzufügung, einer begrenzten abelian Gruppe, in der irgendwelche zwei Nichtidentitätselemente durch einen automorphism verbunden werden.

Wollen wir zeigen, dass für jede nichttriviale begrenzte abelian Gruppe, wo irgendwelche zwei Nichtnullelemente durch einen automorphism von A verbunden werden, die Größe von A eine Hauptmacht sein muss. Lassen Sie p ein Hauptfaktor der Größe von A sein. Durch den Lehrsatz von Cauchy gibt es ein Element des Auftrags p. Da wir für jede Nichtnull b in annehmen, gibt es einen automorphism f Eines solchen, dass f (a) = b, b Auftrag p ebenso haben muss. Folglich haben alle Nichtnullelemente in A Auftrag p. Wenn q ein Hauptteilen der Größe von A waren, durch den Lehrsatz von Cauchy gibt es ein Element in des Auftrags q, und seitdem wir gezeigt haben, dass alle Nichtnullelemente Auftrag p hieraus folgt dass q = p haben. So ist p der einzige Hauptfaktor der Größe von A, so hat A einer Macht von p gleiche Ordnung.

Bemerkung: In diesem gruppentheoretischen Argument konnte man die Annahme entfernen, dass A abelian ist und zeigen Sie direkt, dass A abelian sein muss. D. h. wenn G eine nichttriviale begrenzte Gruppe ist, in der alle Nichtidentitätselemente durch einen automorphism verbunden werden, muss G eine abelian Gruppe der P-Macht-Ordnung für einen ersten p sein. Das Hauptmacht-Ordnungsargument geht als oben, und sobald wir wissen, dass G eine P-Gruppe ist, appellieren wir wieder an die sich automorphism-verbindende Bedingung wie folgt. Da G eine nichttriviale begrenzte P-Gruppe ist, hat er ein nichttriviales Zentrum. Picken Sie ein Nichtidentitätselement g im Zentrum auf. Für jeden h in G gibt es einen automorphism von G das Senden g zu h, so muss h im Zentrum auch sein, da jeder automorphism einer Gruppe das Zentrum bewahrt. Deshalb sind alle Elemente von G in seinem Zentrum, so ist G abelian.

Wir können weiter damit gehen und zeigen, dass A eine direkte Summe von zyklischen Gruppen des Auftrags p sein muss. Von der Klassifikation von begrenzten abelian P-Gruppen ist A eine direkte Summe von zyklischen Gruppen der P-Macht-Ordnung. Da alle Nichtnullelemente von A Auftrag p haben, können die zyklischen Gruppen in solch einer Zergliederung der direkten Summe nicht Ordnung haben, die größer ist als p, so haben sie alle Auftrag p. Zur Motivieren-Anwendung zurückkehrend, wo A F als eine zusätzliche Gruppe ist, haben wir die Tatsache wieder erlangt, dass F eine direkte Summe von Kopien von Z/pZ (zyklische Gruppe des Auftrags p) ist.

Jetzt ist der erste Beweis, mit der geradlinigen Algebra, viel kürzer und ist das Standardargument, das in (fast) allen Lehrbüchern gefunden ist, die begrenzte Felder behandeln. Der zweite Beweis ist interessant, weil es dasselbe Ergebnis durch das Arbeiten viel schwerer mit der zusätzlichen Struktur eines begrenzten Feldes bekommt. Natürlich mussten wir die multiplicative Struktur irgendwo verwenden (schließlich, nicht alle begrenzten Ringe haben Hauptmacht-Ordnung), und es wurde direkt am Anfang verwendet: Die Multiplikation durch b/a auf F sendet an b. Der zweite Beweis ist wirklich derjenige, der in der 1903-Zeitung von E. H. Moore verwendet wurde, die (zum ersten Mal) alle begrenzten Felder klassifiziert hat.

Existenz

Der Beweis der zweiten Behauptung, bezüglich der Existenz eines begrenzten Feldes der Größe q = p für jeden ersten p und positive ganze Zahl n, wird mehr beteiligt. Wir geben wieder zwei Argumente.

Der Fall n = 1 ist leicht: Nehmen Sie F = Z/pZ.

Für allgemeinen n innerhalb von F denken [T] das Polynom f (T) = T  T. Es ist möglich, Feld F zu bauen (hat das zerreißende Feld von f (T) über F) genannt, der F enthält, und der für f (T) groß genug ist, um sich völlig in geradlinige Faktoren aufzuspalten:

:f (T) = (Tr) (Tr)  (Tr)

in F [T]. Die Existenz von zerreißenden Feldern wird im Allgemeinen im Aufbau von zerreißenden Feldern besprochen. Diese Q-Wurzeln sind verschieden, weil T  T ein Polynom des Grads q ist, der keine wiederholten Wurzeln in F hat: Seine Ableitung ist qT  1, der 1 ist (weil q = 0 in F) und deshalb die Ableitung keine Wurzeln genau wie f (T) hat. Außerdem, R veranlassend, der Satz dieser Wurzeln, zu sein

: R = {r..., r} = {Wurzeln der Gleichung T = T }\

man sieht, dass R selbst ein Feld wie folgt bildet. Sowohl 0 als auch 1 sind in R, weil 0 = 0 und 1 = 1. Wenn r und s in R, dann sind

: (r+s) = r + s = r + s

so dass r+s in R ist. Die erste Gleichheit folgt oben aus dem binomischen Lehrsatz und der Tatsache, dass F Eigenschaft p hat. Deshalb wird R unter der Hinzufügung geschlossen. Ähnlich wird R unter Multiplikations- und Einnahme-Gegenteilen, weil geschlossen

: (rs) = r s = rs

und

: (r) = (r) = r.

Deshalb ist R ein Feld mit q Elementen, die zweite Behauptung beweisend.

Für den zweiten Beweis, dass ein Feld der Größe q = p besteht, skizzieren wir gerade die Ideen. Wir werden ein kombinatorisches Argument geben, dass ein monic nicht zu vereinfachender f (T) des Grads n in F [T] besteht. Dann ist der Quotient-Ring F [T] / (f (T)) ein Feld der Größe q. Weil T  T keine wiederholten nicht zu vereinfachenden Faktoren hat (es ist ein trennbares Polynom in F [T]), es ist ein Produkt von verschiedenem monic irreducibles. Wir fragen: Welche monic irreducibles kommen im factorization vor? Mit einer Gruppentheorie kann man zeigen, dass ein monic nicht zu vereinfachender in F [T] ein Faktor genau ist, wenn sein Grad n teilt. Wenn er N (d) für die Zahl von monic irreducibles des Grads d in F [T] schreibt, den Grad des nicht zu vereinfachenden factorization von T  schätzend, zeigt T, dass q = p die Summe von dN (d) über den ganzen d ist, der sich n teilt. Das hält für den ganzen n, so durch die Inversion von Moebius kann man eine Formel für N (n) für den ganzen n bekommen, und ein einfacher tiefer gebunden hat, zeigt die Schätzung mit dieser Formel, dass N (n) positiv ist. So besteht ein (monic) nicht zu vereinfachende vom Grad n in F [T] für jeden n.

Einzigartigkeit

Schließlich die Einzigartigkeitsbehauptung: Ein Feld der Größe q = p ist das zerreißende Feld von T - T über sein Teilfeld der Größe p, und für jedes Feld K, zwei zerreißende Felder eines Polynoms in K [T] sind bis zum Isomorphismus über K einzigartig. D. h. die zwei zerreißenden Felder sind durch einen Isomorphismus isomorph, der die Identifizierung der Kopien von K innerhalb der zwei zerreißenden Felder erweitert.

Da ein Feld der Größe p in einem Feld der Eigenschaft p auf nur eine Weise eingebettet werden kann (die multiplicative Identität 1 im Feld, ist dann 2 = 1 + 1, und so weiter bis zu p - 1 einzigartig), die Bedingung von zwei Feldern der Größe q isomorph über ihre Teilfelder der Größe p zu sein, ist dasselbe, als gerade isomorphe Felder seiend.

Warnung: Es ist nicht der Fall, dass zwei begrenzte Felder derselben Größe auf eine einzigartige Weise isomorph sind, wenn die Felder Größe p nicht haben. Zwei Felder der Größe p sind zu einander auf n Weisen isomorph (weil ein Feld der Größe p zu sich auf n Weisen, aus der Theorie von Galois für begrenzte Felder isomorph ist).

Ausführlich bauende begrenzte Felder

In Anbetracht einer Hauptmacht q = p können wir ein begrenztes Feld mit q Elementen wie folgt ausführlich bauen. Wählen Sie ein monic nicht zu vereinfachendes Polynom f (T) des Grads n in F [T] aus. (Wie man versichert, besteht solch ein Polynom, sobald wir wissen, dass ein begrenztes Feld der Größe q besteht: Nehmen Sie gerade das minimale Polynom jedes primitiven Elements für dieses Feld über das Teilfeld F.) Dann F [T] / (f (T)) ist ein Feld der Größe q. Hier,

F zeigt [T] an, dass der Ring aller Polynome in T mit Koeffizienten in F, (f (T)) das Ideal anzeigt, das durch f (T) erzeugt ist, und der Quotient im Sinne Quotient-Ringe — der Satz von Polynomen in T mit Koeffizienten in F modulo (f (T)) gemeint wird.

Beispiele

Das Polynom f (T) = T + T + 1 ist über Z/2Z nicht zu vereinfachend, und (Z/2Z) [T] / (T+T+1) hat Größe 4. Seine Elemente können als der Satz {0, 1, t, t+1} geschrieben werden, wo die Multiplikation durch das Verwenden der Beziehung t + t + 1 = 0 ausgeführt wird. Tatsächlich, da wir über Z/2Z arbeiten (d. h. in der Eigenschaft 2), können wir das als t = t + 1 schreiben. (Das folgt, weil 1 = 1 in Z/2Z) Dann, zum Beispiel, um t zu bestimmen, wir rechnen: t = t (t) = t (t+1) = t+t = t+1+t = 2t + 1 = 1, so t = 1.

Um das multiplicative Gegenteil von t in diesem Feld zu finden, müssen wir ein Polynom p (T) solch dass T * p (T) = 1 modulo T + T + 1 finden. Das Polynom p (T) = T + 1 Arbeiten, und folglich 1/t = t + 1.

Um ein Feld der Größe 27 zu bauen, konnten wir zum Beispiel mit dem nicht zu vereinfachenden Polynom T + T + T + 2 über Z/3Z anfangen. Das Feld (Z/3Z) [T] / (T + T + T + 2) hat Größe 27. Seine Elemente haben die Form an + bt + c, wo a, b, und c in Z/3Z liegen und die Multiplikation durch t + t + t + 2 = 0, oder durch das Umordnen dieser Gleichung, t = 2t + 2t + 1 definiert wird.

Eigenschaften und Tatsachen

Begrenzte Felder können nicht bestellt werden: in einem bestellten Feld die Elemente 0 Elemente, dann

:x = x

für den ganzen x in F (sieh Analogon des kleinen Lehrsatzes von Fermat unten). Außerdem, die Karte

:f: F  F

definiert durch

:f (x) = x

ist

bijektiv und ein Homomorphismus, und ist deshalb ein automorphism auf Feld F, das das Teilfeld mit p Elementen befestigt. Es wird den Frobenius automorphism nach Ferdinand Georg Frobenius genannt.

Frobenius automorphism eines Feldes der Größe p hat Auftrag n, und die zyklische Gruppe, die es erzeugt, ist die volle Gruppe von automorphisms des Feldes.

Algebraischer Verschluss

Begrenzte Felder werden nicht algebraisch geschlossen: das Polynom

:

hat keine Wurzeln über F, als f (α) = 1 für den ganzen α in F. Jedoch für jeden ersten p gibt es einen algebraischen Verschluss jedes begrenzten Feldes der Eigenschaft p als unten.

Eindämmung

Feld F enthält eine Kopie von F, wenn, und nur wenn M n teilt. "Nur wenn" ist, weil das größere Feld ein Vektorraum über das kleinere Feld einer begrenzten Dimension sagen wir d ist, so muss es Größe haben, so teilt M n. "Wenn" ist, weil dort nicht zu vereinfachende Polynome jedes Grads über F bestehen.

Die direkte Grenze dieses Systems ist ein Feld, und ist ein algebraischer Verschluss von F (oder tatsächlich F für jeden n), angezeigt. Dieses Feld ist unendlich, weil es, oder einfacher algebraisch geschlossen wird, weil es ein Teilfeld der Größe p für den ganzen n enthält.

Die Einschließungen pendeln mit der Karte von Frobenius, weil sie derselbe Weg auf jedem Feld definiert wird (es ist noch gerade die Funktionsaufhebung zur pth Macht), so definiert die Karte von Frobenius einen automorphism dessen, der alle Teilfelder zu sich zurückbringt. Unterschiedlich im Fall von begrenzten Feldern hat Frobenius automorphism auf dem algebraischen Verschluss von F unendliche Ordnung (nicht wiederholen seiner ist die Identitätsfunktion auf dem ganzen Feld), und es erzeugt die volle Gruppe von automorphisms dieses Feldes nicht. D. h. es gibt automorphisms des algebraischen Verschlusses, die nicht sind, wiederholt der pth Macht-Karte. Jedoch, das Wiederholen der pth Macht-Karte bilden wirklich eine dichte Untergruppe der automorphism Gruppe in der Topologie von Krull. Algebraisch entspricht das der zusätzlichen Gruppe Z dicht in den pro-begrenzten ganzen Zahlen (direktes Produkt der p-adic ganzen Zahlen über die ganze Blüte p, mit der Produkttopologie) zu sein.

Feld F kann wieder erlangt werden, weil die festen Punkte des n-ten von der Karte von Frobenius wiederholen.

Wenn wir wirklich unsere begrenzten Felder auf solch eine Mode bauen, wie F in F enthalten wird, wann auch immer n M teilt, dann kann diese direkte Grenze als die Vereinigung aller dieser Felder gebaut werden. Selbst wenn wir unsere Felder dieser Weg nicht bauen, können wir noch vom algebraischen Verschluss sprechen, aber noch eine Feinheit ist in seinem Aufbau erforderlich.

Irreducibility von Polynomen

Wenn F ein begrenztes Feld ist, wie man sagt, ist ein Polynom f (X) mit Koeffizienten in F über F nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn f (X) als ein Element des polynomischen Rings über F (d. h. in F [X]) nicht zu vereinfachend ist. Bemerken Sie, dass, da der polynomische Ring F [X] ein einzigartiges factorization Gebiet ist, ein Polynom f (X) nicht zu vereinfachend ist, wenn, und nur wenn es als ein Element von F [X] erst ist.

Es gibt mehrere grundsätzliche Fragen, die man nach nicht zu vereinfachenden Polynomen über ein gegebenes begrenztes Feld fragen kann. Erstens ist es möglich, eine ausführliche Formel, in den Variablen q und n zu geben, der gibt die Zahl von nicht zu vereinfachenden Polynomen über F des Grads n nach? Bemerken Sie, dass, da es nur begrenzt viele Polynome eines gegebenen Grads n über das begrenzte Feld F gibt, es nur begrenzt viele solche nicht zu vereinfachende Polynome geben kann. Jedoch, während wenig Theorie erforderlich ist, die Zahl von Polynomen des Grads n über F zu schätzen (es gibt genau q (q−1) solche Polynome), es ist nicht sofort offensichtlich, wie man die Zahl von nicht zu vereinfachenden Polynomen des Grads n über q schätzt.

Zweitens ist es möglich, einen Algorithmus zu beschreiben, der kann verwendet werden, um zu entscheiden, ob ein gegebenes Polynom über F nicht zu vereinfachend ist? Tatsächlich, dort besteht zwei solche (bekannten) Algorithmen: der Algorithmus von Berlekamp und der Algorithmus des Kantoren-Zassenhaus. Außerdem entscheiden diese Algorithmen wirklich viel mehr als bloß, ob ein gegebenes Polynom nicht zu vereinfachend ist; sie können auch durchgeführt werden, um die nicht zu vereinfachenden Faktoren von f ausführlich zu schätzen.

Zahl von monic nicht zu vereinfachenden Polynomen eines gegebenen Grads über ein begrenztes Feld

Wenn F das begrenzte Feld des Auftrags q anzeigt, dann wird durch die Nummer N von monic nicht zu vereinfachenden Polynomen des Grads n über F gegeben:

:

wo μ die Funktion von Möbius ist. Durch die obengenannte Formel wird durch die Zahl von nicht zu vereinfachenden Polynomen des Grads n über F gegeben. (Ein bisschen einfacher) hat tiefer zu N gebunden auch besteht und wird gegeben durch:

:

Algorithmus, für die nicht zu vereinfachenden Faktoren eines gegebenen Polynoms über ein begrenztes Feld zu schätzen

Der kleine Lehrsatz von Wedderburn

Ein Abteilungsring ist eine Generalisation des Feldes, die auswechselbar nicht angenommen werden. Es gibt keine begrenzten Nichtersatzabteilungsringe: Der kleine Lehrsatz von Wedderburn stellt fest, dass alle begrenzten Abteilungsringe, folglich begrenzte Felder auswechselbar sind. Das Ergebnis hält, ob wir associativity entspannen und alternative Ringe durch den Artin-Zorn Lehrsatz denken.

Struktur von Multiplicative

Zyklisch

Die multiplicative Gruppe jedes begrenzten Feldes, ist ein spezieller Fall eines in Feldern erwähnten Lehrsatzes zyklisch.

Ein Generator für die multiplicative Gruppe ist ein primitives Element.

Das bedeutet dass, wenn F ein begrenztes Feld mit q Elementen ist, dann dort besteht ein Element x in solchem F dass

:F = {0, 1, x, x..., x}.

Das primitive Element x ist (wenn q = 2 oder 3) nicht einzigartig: Der Satz von Generatoren hat Größe, wo die Totient-Funktion von Euler ist. Wenn wir einen Generator, dann für ein Nichtnullelement in F befestigen, gibt es eine einzigartige ganze Zahl n mit

:0  n  q  2

solch dass

:a = x.

Der Wert von n für einen gegebenen zu sein, hat den getrennten Klotz (im gegebenen Feld genannt, um x zu stützen).

Analogon des kleinen Lehrsatzes von Fermat

Jedes Element eines Feldes der Größe q befriedigt = a. Wenn q erst ist, ist das gerade der kleine Lehrsatz von Fermat, der dass ein  (mod p) für jede ganze Zahl a und erster p feststellt.

Die allgemeine Behauptung für jedes begrenzte Feld folgt, weil die Nichtnullelemente in einem Feld der Größe q eine Gruppe unter der Multiplikation des Auftrags q1, so durch den Lehrsatz von Lagrange = 1 für jede Nichtnull a im Feld bilden. Dann = a und hält das für 0 ebenso.

Anwendungen

Getrennter exponentiation, auch bekannt als das Rechnen = x von x und n, können schnell mit Techniken von schnellem exponentiation wie geschätzt werden

binärer exponentiation, der nur O nimmt (loggen n), Feldoperationen. Keine schnelle Weise, den getrennten Logarithmus n gegeben a und x zu schätzen, ist bekannt, und das hat viele Anwendungen in der Geheimschrift wie das Diffie-Hellman Protokoll.

Begrenzte Felder finden auch Anwendungen im Codieren der Theorie: Viele Codes werden als Subräume von Vektorräumen über begrenzte Felder gebaut.

Innerhalb der Zahlentheorie ist die Bedeutung von begrenzten Feldern ihre Rolle in der Definition des Elements von Frobenius (oder, genauer, Klasse von Frobenius conjugacy) beigefügt einem Hauptideal in einer Erweiterung von Galois von numerischen Feldern, die der Reihe nach erforderlich ist, um Artin L-Funktionen von Darstellungen der Gruppe von Galois, der non-abelian Generalisation von Dirichlet L-Funktionen zu verstehen.

Zählende Lösungen von Gleichungen über begrenzte Felder führen in tiefe Fragen in der algebraischen Geometrie, den Vermutungen von Weil, und waren tatsächlich die Motivation für die Entwicklung von Grothendieck der modernen algebraischen Geometrie.

Einige kleine begrenzte Felder

F:

|

| }\F:|| }\

F:

|| }\

Siehe auch

• Begrenzte Feldarithmetik
• Quasibegrenztes Feld
• Trigonometrie in Feldern von Galois
• Feld mit einem Element

Referenzen

Außenverbindungen

• Begrenzte Felder bei der Wolfram-Forschung.