In der Mathematik gibt es mehrere Weisen, das System der reellen Zahl als ein bestelltes Feld zu definieren. Die synthetische Annäherung gibt eine Liste von Axiomen für die reellen Zahlen als ein ganzes bestelltes Feld. Unter den üblichen Axiomen der Mengenlehre kann man zeigen, dass diese Axiome im Sinn kategorisch sind, dass es ein Modell für die Axiome gibt, und irgendwelche zwei solche Modelle isomorph sind. Irgendwelche dieser Modelle müssen ausführlich gebaut werden, und die meisten dieser Modelle werden mit den grundlegenden Eigenschaften des Systems der rationalen Zahl als ein bestelltes Feld gebaut.

Synthetische Annäherung

Die synthetische Annäherung definiert axiomatisch das System der reellen Zahl als ein ganzes bestelltes Feld. Genau bedeutet das das folgende. Ein Modell für das System der reellen Zahl besteht aus einem Satz R, zwei verschiedene Elemente 0 und 1 von R, zwei binäre Operationen + und * auf R (genannt Hinzufügung und Multiplikation, resp.), eine binäre Beziehung  auf R, die folgenden Eigenschaften befriedigend.

1. (R, +, *) bildet ein Feld. Mit anderen Worten,

:*For der ganze x, y, und z in R, x + (y + z) = (x + y) + z und x * (y * z) = (x * y) * z. (associativity der Hinzufügung und Multiplikation)

:*For der ganze x und y in R, x + y = y + x und x * y = y * x. (commutativity der Hinzufügung und Multiplikation)

:*For der ganze x, y, und z in R, x * (y + z) = (x * y) + (x * z). (distributivity der Multiplikation über die Hinzufügung)

:*For der ganze x in R, x + 0 = x. (Existenz der zusätzlichen Identität)

:*0 ist 1, und für den ganzen x in R, x * 1 = x. (Existenz der multiplicative Identität) nicht gleich

:*For jeder x in R, dort besteht ein Element −x in R, solch dass x + (−x) = 0. (Existenz von zusätzlichen Gegenteilen)

:*For jeder x  0 in R, dort besteht ein Element x in R, solch dass x * x = 1. (Existenz von multiplicative Gegenteilen)

2. (R, ) bildet einen völlig bestellten Satz. Mit anderen Worten,

:*For der ganze x in R, x  x. (reflexivity)

:*For der ganze x und y in R, wenn x  y und y  x, dann x = y. (Antisymmetrie)

:*For der ganze x, y und z in R, wenn x  y und y  z, dann x  z. (transitivity)

:*For der ganze x und y in R, x  y oder y  x. (Ganzkeit)

3. Die Feldoperationen + und * auf R sind mit der Ordnung  vereinbar. Mit anderen Worten,

:*For der ganze x, y und z in R, wenn x  y, dann x + z  y + z. (Bewahrung der Ordnung unter der Hinzufügung)

:*For der ganze x und y in R, wenn 0  x und 0  y, dann 0  x * y (Bewahrung der Ordnung unter der Multiplikation)

4. Die Ordnung  ist im folgenden Sinn abgeschlossen: Jede nichtleere Teilmenge von R, der oben begrenzt ist, hat einen gebundenen am wenigsten oberen. Mit anderen Worten,

:*If A ist eine nichtleere Teilmenge von R, und wenn A einen gebundenen oberen hat, dann hat A einen am wenigsten oberen gebundenen u, solch, der für jeden oberen v von A, u  v gebunden hat.

Das Endaxiom, die Ordnung als Dedekind-abgeschlossen definierend, ist am entscheidendsten. Ohne dieses Axiom haben wir einfach die Axiome, die ein völlig bestelltes Feld definieren, und es viele nichtisomorphe Modelle gibt, die diese Axiome befriedigen. Dieses Axiom deutet an, dass sich das Eigentum von Archimedean um dieses Feld bewirbt. Deshalb, wenn das Vollständigkeitsaxiom hinzugefügt wird, kann es bewiesen werden, dass irgendwelche zwei Modelle, und so in diesem Sinn isomorph sein müssen, gibt es nur ein ganzes bestelltes Feld von Archimedean.

Wenn wir sagen, dass irgendwelche zwei Modelle der obengenannten Axiome isomorph sind, meinen wir, dass für irgendwelche zwei Modelle (R, 0, 1, +, *, ) und (S, 0, 1, +, *, ), es eine Bijektion f gibt: R  S, sowohl die Feldoperationen als auch die Ordnung bewahrend. Ausführlich,

• f ist sowohl injective als auch surjective.
• f (0) = 0 und f (1) = 1.
• Für den ganzen x und y in R, f (x + y) = f (x) + f (y) und f (x * y) = f (x) * f (y).
• Für den ganzen x und y in R, x  y wenn und nur wenn f (x)  f (y).

Ausführliche Aufbauten von Modellen

Wir werden nicht beweisen, dass irgendwelche Modelle der Axiome isomorph sind. Solch ein Beweis kann in jeder Zahl der modernen Analyse oder Mengenlehre-Lehrbücher gefunden werden. Wir werden die grundlegenden Definitionen und Eigenschaften mehrerer Aufbauten jedoch skizzieren, weil jeder von diesen sowohl aus mathematischen als auch aus historischen Gründen wichtig ist. Die ersten drei, wegen Georgs Cantor/Charles Méray, Richard Dedekind und Karl Weierstrass/Otto Stolz sind alle innerhalb von ein paar Jahren einander vorgekommen. Jeder ist im Vorteil und Nachteile. Eine Hauptmotivation in allen drei Fällen war die Instruktion von Mathematik-Studenten.

Aufbau von Cauchyfolgen

Wenn wir einen Raum haben, wo Cauchyfolgen bedeutungsvoll sind (wie ein `vernünftiger' metrischer Raum, d. h., ein Raum, in dem Entfernung definiert wird und vernünftige Werte, oder mehr allgemein einen gleichförmigen Raum nimmt), fügt ein Standardverfahren, um alle Cauchyfolgen zu zwingen, zusammenzulaufen neue Punkte zum Raum (ein Prozess genannt Vollziehung) hinzu. Indem wir mit rationalen Zahlen und dem metrischen d (x, y) = |x  y anfangen, können wir die reellen Zahlen bauen, wie unten ausführlich berichtet wird. (Ein verschiedener metrischer auf dem rationals konnte auf die p-adic Zahlen stattdessen hinauslaufen.)

Lassen Sie R der Satz von Cauchyfolgen von rationalen Zahlen sein. D. h. Folgen

x, x, x... solcher rationaler Zahlen, dass für jeden vernünftigen ε> 0, dort eine ganze Zahl N solch das für alle natürlichen Zahlen M, n> N, |x-x besteht), + (y) = (x + y)

: (x) × (y) = (x × y)

Zwei Cauchyfolgen werden gleichwertig genannt, wenn, und nur wenn der Unterschied zwischen ihnen zur Null neigt.

Der Vergleich zwischen zwei Cauchyfolgen ist als solcher möglich: (X)  (y), wenn, und nur wenn x zu y gleichwertig ist oder dort eine ganze Zahl N solch dass x  y für den ganzen n> N besteht.

Das definiert wirklich tatsächlich eine Gleichwertigkeitsbeziehung, es ist mit den Operationen vereinbar, die oben definiert sind, und, wie man zeigen kann, befriedigt der Satz R aller Gleichwertigkeitsklassen alle üblichen Axiome der reellen Zahlen. Das ist bemerkenswert, weil nicht alle diese Axiome notwendigerweise für die rationalen Zahlen gelten, die verwendet werden, um die Folgen selbst zu bauen. Wir können die rationalen Zahlen in den reals einbetten, indem wir die rationale Zahl r mit der Gleichwertigkeitsklasse der Folge (r, r, r, …) identifizieren.

Das einzige Axiom der reellen Zahl, das leicht aus den Definitionen nicht folgt, ist die Vollständigkeit von , d. h. das am wenigsten obere bestimmte Eigentum. Es kann wie folgt bewiesen werden: Lassen Sie S eine nichtleere Teilmenge von R und U sein, ein für S gebundener oberer sein. Einen größeren Wert nötigenfalls einsetzend, können wir annehmen, dass U vernünftig ist. Da S nichtleer ist, gibt es eine rationale Zahl L solch dass L) und (l) wie folgt:

:Set u = U und l = L.

Weil jeder n die Zahl denkt:

:m = (u + l)/2

Wenn M ein für den S-Satz gebundener oberer ist:

: u = M und l = l

Sonst Satz:

: l = M und u = u

Das definiert offensichtlich zwei Cauchyfolgen von rationals, und so haben wir reelle Zahlen l = (l) und u = (u). Es ist leicht, sich, durch die Induktion auf n dass zu erweisen:

: u ist ein oberer, der für S für den ganzen n gebunden ist

und:

: l ist nie ein oberer, der für S für jeden n gebunden ist

So ist u ein für S gebundener oberer. Um zu sehen, dass es ein gebundener am wenigsten oberer ist, bemerken Sie dass die Grenze dessen (u − l) ist 0, und so l = u. Nehmen Sie jetzt an, dass b) monotonische Erhöhung ist, ist davon leicht, dass b für einen n zu sehen. Aber l ist nicht ein oberer, der für S gebunden ist, und so ist keiner b. Folglich ist u ein für S gebundener am wenigsten oberer, und  ist abgeschlossen.

Ein praktischer und konkreter Vertreter für eine Gleichwertigkeitsklasse, die eine reelle Zahl vertritt, wird durch die Darstellung zur Verfügung gestellt, um b - in der Praxis zu stützen, b ist gewöhnlich 2 (Dualzahl), 8 (Oktal-), 10 (Dezimalzahl) oder 16 (hexadecimal).

Zum Beispiel entspricht die Zahl π = 3.14159... der Cauchyfolge (3,3.1,3.14,3.141,3.1415...). Bemerken Sie, dass die Folge (0,0.9,0.99,0.999,0.9999...) zur Folge (1,1.0,1.00,1.000,1.0000...) gleichwertig ist; das zeigt dass 0.999... = 1.

Ein Vorteil dieser Annäherung besteht darin, dass sie die geradlinige Ordnung des rationals, nur das metrische nicht verwendet. Folglich verallgemeinert es zu anderen metrischen Räumen.

Aufbau durch Kürzungen von Dedekind

Eine Kürzung von Dedekind in einem bestellten Feld ist eine Teilung davon, (A, B), solch, dass A nichtleer und abwärts geschlossen ist, ist B nichtleer und aufwärts geschlossen, und A enthält kein größtes Element. Reelle Zahlen können als Kürzungen von Dedekind von rationalen Zahlen gebaut werden.

Für die Bequemlichkeit können wir tiefer Satz als der Vertreter jeder gegebenen Kürzung von Dedekind nehmen, da völlig bestimmt. Auf diese Weise können wir intuitiv an eine reelle Zahl denken, die als durch den Satz aller kleineren rationalen Zahlen wird vertritt. Ausführlicher ist eine reelle Zahl jede Teilmenge des Satzes von rationalen Zahlen, der die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. ist nicht leerer
2. r wird abwärts geschlossen. Mit anderen Worten, für ganzes das

1. r enthält kein größtes Element. Mit anderen Worten, dort ist nicht das für alle, solch

• Wir bilden den Satz von reellen Zahlen als der Satz aller Kürzungen von Dedekind dessen, und definieren eine Gesamteinrichtung auf den reellen Zahlen wie folgt:
• Wir betten die rationalen Zahlen in den reals ein, indem wir die rationale Zahl mit dem Satz aller kleineren rationalen Zahlen identifizieren

• Hinzufügung.
• Subtraktion. wo die Verhältnisergänzung in, anzeigt
• Ablehnung ist ein spezieller Fall der Subtraktion:

• Das Definieren der Multiplikation ist weniger aufrichtig.
• wenn dann

• wenn entweder oder negativ ist, verwenden wir die Identität, um uns umzuwandeln und/oder zu positiven Zahlen und dann die Definition oben anzuwenden.
• Wir definieren Abteilung auf eine ähnliche Weise:
• wenn dann
• wenn entweder oder negativ ist, verwenden wir die Identität, um uns zu einer nichtnegativen Zahl und/oder zu einer positiven Zahl umzuwandeln und dann die Definition oben anzuwenden.
• Supremum. Wenn ein nichtleerer Satz von reellen Zahlen irgendwelchen ober gebunden darin hat, dann hat er einen darin gebundenen am wenigsten oberen ist dem gleich.

Da ein Beispiel von Dedekind das Darstellen einer irrationalen Zahl geschnitten hat, können wir die positive Quadratwurzel 2 nehmen. Das kann durch den Satz definiert werden

Ein Vorteil dieses Aufbaus besteht darin, dass jede reelle Zahl einer einzigartigen Kürzung entspricht.

Der Aufbau von Stevin

Es ist seit Simon Stevin bekannt gewesen, dass reelle Zahlen durch Dezimalzahlen vertreten werden können. Wir können die unendliche dezimale Vergrößerung nehmen, um die Definition einer reellen Zahl zu sein, Vergrößerungen wie 0.9999... und 1.0000 definierend..., um gleichwertig zu sein, und die arithmetischen Operationen formell zu definieren. Das ist zu den Aufbauten durch Cauchyfolgen gleichwertig, oder Dedekind schneidet und vereinigt ein ausführliches Modul der Konvergenz. Ähnlich kann eine andere Basis verwendet werden. Weierstrass hat versucht, den reals zu bauen, aber ist nicht völlig erfolgreich gewesen. Er hat darauf hingewiesen, dass sie nur als ganze Anhäufungen (Sätze) von Einheiten und Einheitsbruchteilen gedacht werden müssen.

Dieser Aufbau hat den Vorteil, dass es der Weise nah ist, wie wir gewohnt sind, an reelle Zahlen zu denken, und Reihenentwicklungen für Funktionen andeutet. Eine Standardannäherung, um zu zeigen, dass alle Modelle eines ganzen bestellten Feldes isomorph sind, soll zeigen, dass jedes Modell zu diesem isomorph ist, weil wir eine dezimale Vergrößerung für jedes Element systematisch bauen können.

Aufbau mit hyperreellen Zahlen

Als in den hyperreellen Zahlen baut man den hyperrationals Q von den rationalen Zahlen mittels eines Ultrafilters. Hier ist ein hypervernünftiger definitionsgemäß ein Verhältnis von zwei hyperganzen Zahlen. Betrachten Sie den Ring B aller als beschränkt (d. h. begrenzt) Elemente in Q. Dann hat B ein einzigartiges maximales Ideal I, die unendlich kleinen Zahlen. Der Quotient-Ring B/I gibt Feld R von reellen Zahlen. Bemerken Sie, dass B nicht ein innerer Satz in Q ist.

Bemerken Sie, dass dieser Aufbau einen Nichthauptultrafilter über den Satz von natürlichen Zahlen verwendet, von denen die Existenz durch das Axiom der Wahl versichert wird.

Es stellt sich heraus, dass das maximale Ideal die Ordnung auf Q respektiert. Folglich ist das resultierende Feld ein bestelltes Feld. Vollständigkeit kann auf eine ähnliche Weise zum Aufbau von den Cauchyfolgen bewiesen werden.

Aufbau von surrealen Zahlen

Jedes bestellte Feld kann in den surrealen Zahlen eingebettet werden. Die reellen Zahlen bilden ein maximales Teilfeld, das Archimedean ist (das Meinen, dass keine reelle Zahl ungeheuer groß ist). Dieses Einbetten ist nicht einzigartig, obwohl es auf eine kanonische Weise gewählt werden kann.

Aufbau von der Gruppe von ganzen Zahlen

Ein relativ weniger bekannter Aufbau erlaubt, reelle Zahlen mit nur die zusätzliche Gruppe von ganzen Zahlen mit verschiedenen Versionen zu definieren. Der Aufbau ist durch das Projekt von IsarMathLib formell nachgeprüft worden.

Lassen Sie fast Homomorphismus eine solche Karte sein, dass der Satz begrenzt ist. Wir sagen, dass zwei fast Homomorphismus fast gleich ist, wenn der Satz begrenzt ist. Das definiert eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Satz fast des Homomorphismus. Reelle Zahlen werden als die Gleichwertigkeitsklassen dieser Beziehung definiert. Reelle Zahlen hinzuzufügen, hat diese Weise definiert, wie wir fast Homomorphismus beitragen, der sie vertritt. Die Multiplikation von reellen Zahlen entspricht Zusammensetzung fast des Homomorphismus. Wenn die reelle Zahl anzeigt, die durch fast Homomorphismus vertreten ist, sagen wir dass, wenn begrenzt wird oder eine unendliche Zahl von positiven Werten annimmt. Das definiert die geradlinige Ordnungsbeziehung auf dem Satz von reellen Zahlen hat diesen Weg gebaut.

Andere Aufbauten

Mehrere Aufbauten sind gegeben worden.

Als ein Rezensent eines bekannten: "Die Details werden alle eingeschlossen, aber wie gewöhnlich sind sie langweilig und nicht zu aufschlussreich."

Siehe auch

• Constructivism (Mathematik) #Example von der echten Analyse