In der Mathematik ist die Flasche von Klein eine Non-Orientable-Oberfläche, informell, eine Oberfläche (eine zweidimensionale Sammelleitung), in dem Begriffe von linken und richtigen nicht durchweg definiert werden können. Andere zusammenhängende Non-Orientable-Gegenstände schließen den Streifen von Möbius und das echte projektive Flugzeug ein. Wohingegen ein Streifen von Möbius eine Oberfläche mit der Grenze ist, hat eine Flasche von Klein keine Grenze. (Zum Vergleich ist ein Bereich eine Orientable-Oberfläche ohne Grenze.)

Die Flasche von Klein wurde zuerst 1882 vom deutschen Mathematiker Felix Klein beschrieben. Es kann Kleinsche Fläche ("Oberfläche von Klein") ursprünglich genannt worden sein, und dass das als Kleinsche Flasche falsch interpretiert wurde ("Flasche von Klein"), der schließlich zur Adoption dieses Begriffes auf der Deutschen Sprache ebenso geführt hat.

Aufbau

Fangen Sie mit einem Quadrat an, und dann kleben Sie zusammen entsprechende farbige Ränder im folgenden Diagramm, so dass die Pfeile zusammenpassen. Mehr formell ist die Flasche von Klein der Quotient-Raum beschrieben als das Quadrat [0,1] × [0,1] mit Seiten, die durch die Beziehungen für identifiziert sind und für:

:

Dieses Quadrat ist ein grundsätzliches Vieleck der Flasche von Klein.

Bemerken Sie, dass das ein "abstraktes" Kleben im Sinn ist, dass versuchend zu begreifen das in drei Dimensionen auf eine sich selbstschneidende Flasche von Klein hinausläuft. Die Flasche von Klein, richtig, schneidet sich nicht selbst. Dennoch gibt es eine Weise, sich die Flasche von Klein zu vergegenwärtigen, die als in vier Dimensionen wird enthält.

Kleben Sie die roten Pfeile des Quadrats zusammen (verlassen und richtige Seiten), auf einen Zylinder hinauslaufend. Um die Enden zusammen so dass die Pfeile auf dem Kreismatch zu kleben, passieren Sie ein Ende durch die Seite des Zylinders. Bemerken Sie, dass das einen Kreis der Selbstkreuzung schafft. Das ist eine Immersion der Flasche von Klein in drei Dimensionen.

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Durch das Hinzufügen einer vierten Dimension zum dreidimensionalen Raum kann die Selbstkreuzung beseitigt werden. Stoßen Sie freundlich ein Stück der Tube, die die Kreuzung aus dem ursprünglichen dreidimensionalen Raum enthält. Eine nützliche Analogie soll eine sich selbstschneidende Kurve auf dem Flugzeug denken; Selbstkreuzungen können durch das Heben eines Ufers vom Flugzeug beseitigt werden.

Diese Immersion ist nützlich, um sich viele Eigenschaften der Flasche von Klein zu vergegenwärtigen. Zum Beispiel hat die Flasche von Klein keine Grenze, wo die Oberfläche plötzlich anhält, und es non-orientable, wie widerspiegelt, in der Parteilichkeit der Immersion ist.

Das allgemeine physische Modell einer Flasche von Klein ist ein ähnlicher Aufbau. Das Wissenschaftsmuseum in London hat auf der Anzeige eine Sammlung des handgeblasenen Glases Flaschen von Klein, viele Schwankungen auf diesem topologischen Thema ausstellend. Das Flasche-Datum von 1995 und wurde für das Museum von Alan Bennett gemacht.

Eigenschaften

Die Flasche von Klein kann als ein Faser-Bündel über S wie folgt gesehen werden: Man nimmt das Quadrat (modulo der Rand, der Gleichwertigkeitsbeziehung identifiziert) von oben, um E, der Gesamtraum zu sein, während der Grundraum B durch den Einheitszwischenraum in y, modulo 1~0 gegeben wird. Der Vorsprung π wird dann durch π ([x, y]) = [y] gegeben.

Wie der Streifen von Möbius ist die Flasche von Klein eine zweidimensionale Differentiable-Sammelleitung, die nicht orientable ist. Verschieden vom Streifen von Möbius ist die Flasche von Klein eine geschlossene Sammelleitung, bedeutend, dass es eine Kompaktsammelleitung ohne Grenze ist. Während der Streifen von Möbius im dreidimensionalen Euklidischen Raum R eingebettet werden kann, kann die Flasche von Klein nicht. Es kann in R jedoch eingebettet werden.

Die Flasche von Klein kann gebaut werden (in einem mathematischen Sinn, weil sie das Erlauben die Oberfläche nicht ausgekommen werden kann, sich durchzuschneiden), durch das Verbinden den Rändern von zwei Streifen von Möbius zusammen, wie beschrieben, im folgenden anonymen Limerick:

: Ein Mathematiker genannt Klein

: Gedanke das Band von Möbius war göttlich.

: Gesagt er: "Wenn Sie kleben

: Die Ränder zwei,

: Sie werden eine unheimliche Flasche wie meiniger bekommen."

Sechs Farben genügen, um jede Karte auf der Oberfläche einer Flasche von Klein zu färben; das ist die einzige Ausnahme zu

die Vermutung von Heawood, eine Generalisation des vier Farbenlehrsatzes, der sieben verlangen würde.

Eine Flasche von Klein ist zu einem Bereich plus zwei böse Kappen gleichwertig.

Wenn eingebettet, im Euklidischen Raum ist die Flasche von Klein einseitig. Jedoch gibt es andere topologische 3 Räume, und in einigen der non-orientable Beispiele kann eine Flasche von Klein solch eingebettet werden, dass es, obwohl erwartet, zur Natur des Raums zweiseitig ist, bleibt es non-orientable.

Sezieren

Das Zergliedern einer Flasche von Klein in Hälften entlang seinem Flugzeug der Symmetrie läuft auf zwei Spiegelimage Streifen von Möbius, d. h. ein mit einer linkshändigen Halbdrehung hinaus, und anderer mit einer rechtshändigen Halbdrehung (wird einer von diesen rechts geschildert). Erinnern Sie sich, dass die geschilderte Kreuzung nicht wirklich dort ist.

Einfach geschlossene Kurven

Eine Beschreibung der Typen von einfach geschlossenen Kurven, die auf der Oberfläche der Flasche von Klein erscheinen können, wird durch den Gebrauch der ersten Homologie-Gruppe der mit Koeffizienten der ganzen Zahl berechneten Flasche von Klein gegeben. Diese Gruppe ist zu Z×Z isomorph. Bis zur Umkehrung der Orientierung sind die einzigen Homologie-Klassen, die einfach geschlossene Kurven enthalten, wie folgt: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Bis zur Umkehrung der Orientierung einer einfachen geschlossenen Kurve, wenn es innerhalb von einem der zwei crosscaps liegt, die die Flasche von Klein dann zusammensetzen, ist es in der Homologie-Klasse (1,0) oder (1,1); wenn es die Flasche von Klein in zwei Bänder von Möbius schneidet, dann ist es in der Homologie-Klasse (2,0); wenn es die Flasche von Klein in ein Ringrohr schneidet, dann ist es in der Homologie-Klasse (0,1); und wenn begrenzen eine Platte, dann ist es in der Homologie-Klasse (0,0).

Parameterization

Die Immersion "der Abbildung 8" (ringförmiges Brötchen von Klein) der Flasche von Klein hat einen besonders einfachen parameterization. Es ist dieser eines Rings "der Abbildung 8" mit einem 180 Grad "Möbius" eingefügte Drehung:

:

x& = \left (r + \cos\frac {u} {sündigen 2 }\\v - \sin\frac {u} {2 }\\Sünde 2v\right), \cos u \\

y & = \left (r + \cos\frac {u} {sündigen 2 }\\v - \sin\frac {u} {2 }\\Sünde 2v\right), \sin u \\

z & = \sin\frac {u} {sündigen 2 }\\v + \cos\frac {u} {2 }\\Sünde 2v

\end {richten} </Mathematik> {aus}

In dieser Immersion ist der Selbstkreuzungskreis ein geometrischer Kreis im xy-plane. Der positive unveränderliche r ist der Radius dieses Kreises. Der Parameter u gibt den Winkel im xy-plane, und v gibt die Position um die böse 8-Formen-Abteilung an. Mit dem obengenannten parameterization die böse Abteilung ist 2:1 Kurve von Lissajous.

Der parameterization der 3-dimensionalen Immersion der Flasche selbst ist viel mehr kompliziert. Hier ist eine vereinfachte Version:

:

x& = \frac {\sqrt {2} f (u) \cos u \cos v (3\cos^ {2} u - 1) - 2\cos 2u} {80\pi^ {3} g (u)}-\frac {3\cos u-3} {4 }\\\

y & =-\frac {f (u) \sin v} {60\pi^ {3} }\\\

z & =-\frac {\\sqrt {2} f (u) \sin u \\cos v\{15\pi^ {3} sündigen g (u)} + \frac {\\u \cos^ {2} u + \sin u\{4}-\frac {\\Sünde u \,\cos u\{2 }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}wo::

für 0  u, die Band-Zeiten von Mobius ein Zwischenraum. Die feste Flasche von Klein ist die non-orientable Version des festen Rings, der dazu gleichwertig ist.

Oberfläche von Klein

Eine Oberfläche von Klein, ist bezüglich Oberflächen von Riemann, einer Oberfläche mit einem Atlas, der die Übergang-Funktionen erlaubt, mit der komplizierten Konjugation zusammengesetzt zu werden. Man kann die so genannte dianalytic Struktur des Raums erhalten.

Siehe auch

• Algebraische Topologie
• Weltall von Alice
• Die Flasche von Klein von Bavard systolic Ungleichheit
• Echtes projektives Flugzeug
• Die Oberfläche des Jungen
• Sphericon
• Topologie
• Ouroboros

Referenzen

• Ein klassischer auf der Theorie von Oberflächen von Klein ist http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/scans.html?volume_=225&count_=158 Alling-Greenleaf

Links

• Die Bildaufbereitung der Mathematik - die Flasche von Klein
• Die größte Flasche von Klein in der ganzen Welt
• Flasche-Zeichentrickfilm von Klein: erzeugt für ein Topologie-Seminar an der Universität von Leibniz Hannover.

http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~fugru/video/top/05_top_Kleins_Bottle.mov

• Flasche-Zeichentrickfilm von Klein von 2010 einschließlich eines Autos reitet durch die Flasche und die ursprüngliche Beschreibung von Felix Klein: erzeugt an der Freien Universität Berlin.
• Freie herunterladbare Spiele von Spielen des Rings für Windows und Mac OS X, die die Topologien der Flasche von Ring und Klein hervorheben.