In der Theorie der algebraischen Zahl und topologischen Algebra ist der Adele-Ring (sind andere Namen der Adelic-Ring, der Ring von adeles), selbst topologischer Doppelring, auf den auf dem Feld von rationalen Zahlen (oder, mehr allgemein, jedem Feld der algebraischen Zahl) gebaut werden. Es schließt auf eine symmetrische Weise alle Vollziehungen des Feldes ein.

Der Adele-Ring wurde von Claude Chevalley zu den Zwecken erfunden, Klassenfeldtheorie zu vereinfachen und zu klären. Es hat auch Hunderte von Anwendungen außerhalb der Klassenfeldtheorie gefunden.

Der Adele-Ring und seine Beziehung zum numerischen Feld sind unter den grundsätzlichsten Gegenständen in der Zahlentheorie. Der Quotient seiner multiplicative Gruppe durch die multiplicative Gruppe des Feldes der algebraischen Zahl ist der Hauptgegenstand in der Klassenfeldtheorie. Es ist ein Hauptgrundsatz der Geometrie von Diophantine, um Lösungen von Polynom-Gleichungen in numerischen Feldern durch das Schauen auf ihre Lösungen im größeren ganzen Adele-Ring zu studieren, wo es allgemein leichter ist, Lösungen zu entdecken, und dann entscheidend, welcher von ihnen aus dem numerischen Feld kommt.

Das Wort "adele" ist für den "Zusatz idele" kurz, und es wurde von André Weil erfunden. Der vorherige Name war die Schätzungsvektoren. Dem Ring von adeles wurde durch den Ring von Aufteilungen, einem Aufbau historisch vorangegangen, der Vollziehungen vermeidet, und wird heute manchmal pre-adele genannt.

Definitionen

Die pro-begrenzte Vollziehung der ganzen Zahlen, Ẑ ist die umgekehrte Grenze der Ringe Z/nZ:

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Durch den chinesischen Rest-Lehrsatz ist es zum Produkt aller Ringe von p-adic ganzen Zahlen isomorph:

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Der Ring von integriertem adeles A ist das Produkt

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Der Ring von (vernünftigem) adeles A ist das Tensor-Produkt

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(topologized, so dass A ein offener Subring ist).

Mehr allgemein ist der Ring von adeles jeder algebraischen Zahl Feld F das Tensor-Produkt

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(topologized als das Produkt von Kopien von A).

Der Ring von (vernünftigem) adeles kann auch als das eingeschränkte Produkt definiert werden

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aller p-adic Vollziehungen Q und der reellen Zahlen (oder mit anderen Worten als das eingeschränkte Produkt aller Vollziehungen des rationals). In diesem Fall bedeutet das eingeschränkte Produkt das für einen adele (a, a, a, a, …) alle außer einer begrenzten Zahl p-adic ganze Zahlen zu sein.

Der adeles eines Funktionsfeldes über ein begrenztes Feld kann auf eine ähnliche Weise als das eingeschränkte Produkt aller Vollziehungen definiert werden.

Eigenschaften

Der Adele-Ring ist eine lokal kompakte ganze Gruppe in Bezug auf seine natürlichste Topologie. Diese Gruppe ist selbst Doppel-im Sinn, dass es zu seiner Gruppe von Charakteren topologisch isomorph ist. Der Adelic-Ring enthält die Zahl oder das Funktionsfeld als eine getrennte co-compact Untergruppe.

Ähnlich ist die multiplicative Gruppe von adeles, genannt die Gruppe von ideles, eine lokal kompakte Gruppe in Bezug auf seine Topologie, die unten definiert ist.

Anwendungen

Die Selbstdualität des adeles des Funktionsfeldes einer Kurve über ein begrenztes Feld bezieht leicht den Lehrsatz von Riemann-Roch für die Kurve und die Dualitätstheorie für die Kurve ein.

Die Gruppe von invertible Elementen des Adele-Rings ist die idele Gruppe. Es wird die Teilmenge-Topologie nicht gegeben, weil das Gegenteil in dieser Topologie nicht dauernd ist. Stattdessen werden die ideles mit der geschlossenen Teilmenge aller Paare (x, y) A×A identifiziert

mit xy=1, mit der Teilmenge-Topologie. Der Quotient der idele Gruppe durch das diagonale Einbetten der invertible Elemente des numerischen Feldes oder Aufgabenbereichs wird die idele Klassengruppe genannt. Es ist der Schlüsselgegenstand der Klassenfeldtheorie, die abelian Erweiterungen des Feldes beschreibt. Das Produkt der lokalen Reziprozitätskarten in der lokalen Klassenfeldtheorie gibt einen Homomorphismus von der idele Gruppe zur Gruppe von Galois der maximalen abelian Erweiterung der Zahl oder des Funktionsfeldes. Das Reziprozitätsgesetz, das eine hohe Generalisation des Gauss quadratisches Reziprozitätsgesetz ist, stellt fest, dass das Produkt auf der multiplicative Gruppe des numerischen Feldes verschwindet. So erhalten wir die globale Reziprozitätskarte von der idele Klassengruppe zum abelian Teil der absoluten Gruppe von Galois des Feldes.

Als eine lokal kompakte abelian Gruppe haben die adeles eine nichttriviale Übersetzung invariant Maß. Ähnlich hat die Gruppe von ideles eine nichttriviale Übersetzung invariant das Maß-Verwenden, welcher ein zeta Integral definiert. Der Letztere wurde in Zeitungen von Kenkichi Iwasawa und John Tate ausführlich vorgestellt. Das zeta Integral erlaubt, mehrere Schlüsseleigenschaften der zeta Funktion des numerischen Feldes oder Funktionsfeldes auf eine schöne kurze Weise zu studieren, seine funktionelle Gleichung der meromorphic Verlängerung zu einer einfachen Anwendung der harmonischen Analyse und Selbstdualität des adeles reduzierend, die These von Tate zu sehen.

Der Ring Ein vereinigter mit der Theorie von algebraischen Gruppen führt zu adelic algebraischen Gruppen.

Für das Funktionsfeld einer glatten Kurve über ein begrenztes Feld der Quotient der multiplicative Gruppe (d. h. GL (1)) seines Adele-Rings durch die multiplicative Gruppe des Funktionsfeldes der Kurve und der Einheiten von integriertem adeles, d. h. denjenigen mit integrierten lokalen Bestandteilen, ist zur Gruppe des Isomorphismus von geradlinigen Bündeln auf der Kurve isomorph, und trägt so eine geometrische Information. GL (1) durch GL (n) ersetzend, ist der entsprechende Quotient zum Satz von Isomorphismus-Klassen von n Vektor-Bündeln auf der Kurve isomorph, wie bereits von André Weil beobachtet wurde.

Ein anderer Schlüsselgegenstand der Zahlentheorie ist automorphic Darstellungen von adelic GL (n), die Bestandteile des Raums des Quadrats integrable sind, hat Komplex Funktionen auf dem Quotienten durch GL (n) vom Feld geschätzt. Sie spielen die Hauptrolle in der Ähnlichkeit von Langlands, die begrenzte dimensionale Darstellungen der Gruppe von Galois des Feldes studiert, und die eine von Nichtersatzerweiterungen der Klassenfeldtheorie ist.

Eine andere Entwicklung der Theorie ist mit der Zahl von Tamagawa für eine adelic geradlinige algebraische Gruppe verbunden. Das ist ein Volumen-Maß, das sich G (Q) mit G (A) bezieht, sagend, wie G (Q), der eine getrennte Gruppe in G (A) ist, in den Letzteren liegt. Eine Vermutung von André Weil war, dass die Zahl von Tamagawa immer 1 für einen einfach verbundenen G war. Das ist aus der modernen Behandlung von Weil dessen entstanden läuft auf die Theorie von quadratischen Formen hinaus; der Beweis war Fall-für-Fall- und hat Jahrzehnte genommen, die Endschritte wurden von Robert Kottwitz 1988 und V.I. Chernousov 1989 gemacht. Der Einfluss der Zahl-Idee von Tamagawa wurde in der Theorie der Arithmetik von abelian Varianten durch seinen Gebrauch in der Behauptung der Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung, und durch die Zahl-Vermutung von Tamagawa gefühlt, die von Spencer Bloch, Kazuya Kato und vielen anderen Mathematikern entwickelt ist.

Siehe auch

Adelic algebraische Gruppe

• Funktion von Schwartz-Bruhat

Fast jedes Buch auf der modernen Theorie der algebraischen Zahl, wie:

• Milne, J. Theorie der algebraischen Zahl

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf