In der Mathematik ist Klassenfeldtheorie ein Hauptzweig der Theorie der algebraischen Zahl, die abelian Erweiterungen von numerischen Feldern und Funktionsfeldern von Kurven über begrenzte Felder und arithmetische Eigenschaften solcher abelian Erweiterungen studiert. Ein allgemeiner Name für solche Felder ist globale Felder oder eindimensionale globale Felder.

Die Theorie nimmt seinen Namen von der Tatsache, dass sie eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen begrenzten abelian Erweiterungen eines festen globalen Feldes und passenden Klassen von Idealen des Feldes oder offenen Untergruppen der idele Klassengruppe des Feldes zur Verfügung stellt. Zum Beispiel entspricht das Klassenfeld von Hilbert, das die maximale unverzweigte abelian Erweiterung eines numerischen Feldes ist, einer ganz besonderen Klasse von Idealen. Klassenfeldtheorie schließt auch einen Reziprozitätshomomorphismus ein, der von der idele Klassengruppe eines globalen Feldes, d. h. dem Quotienten des ideles durch die multiplicative Gruppe des Feldes zur Gruppe von Galois der maximalen abelian Erweiterung des globalen Feldes handelt. Jede offene Untergruppe der idele Klassengruppe eines globalen Feldes ist das Image in Bezug auf die Norm-Karte von der entsprechenden Klassenfelderweiterung unten auf das globale Feld.

Eine Standardmethode seit den 1930er Jahren ist, lokale Klassenfeldtheorie zu entwickeln, die abelian Erweiterungen von Vollziehungen eines globalen Feldes beschreibt, und dann verwenden Sie es, um globale Klassenfeldtheorie zu bauen.

Formulierung auf der zeitgenössischen Sprache

Auf der modernen Sprache gibt es eine maximale abelian Erweiterung von K, der vom unendlichen Grad über K sein wird; und vereinigt zu eine Gruppe von Galois G, der eine pro-begrenzte Gruppe, so eine topologische Kompaktgruppe, und auch abelian sein wird. Das Hauptziel der Theorie ist, G in Bezug auf K zu beschreiben.

Das grundsätzliche Ergebnis der Klassenfeldtheorie stellt fest, dass die Gruppe G zur pro-begrenzten Vollziehung der idele Klassengruppe C von K in Bezug auf die natürliche Topologie auf mit der spezifischen Struktur Feldes K verbundenem C natürlich isomorph ist. Gleichwertig, für jede begrenzte Erweiterung von Galois L K, gibt es einen Isomorphismus

:Gal (L / K) → C / N C

des maximalen abelian Quotienten der Gruppe von Galois der Erweiterung mit dem Quotienten der idele Klassengruppe von K durch das Image der Norm der idele Klassengruppe von L.

Für einige kleine Felder, wie das Feld von rationalen Zahlen oder seinen quadratischen imaginären Erweiterungen dort ist eine ausführlichere Theorie, die mehr Auskunft gibt. Zum Beispiel ist die abelianized absolute Gruppe von Galois G dessen (natürlich isomorph zu) ein unendliches Produkt der Gruppe von Einheiten der p-adic ganzen Zahlen übernommen alle Primzahlen p, und die entsprechende maximale abelian Erweiterung des rationals ist das durch alle Wurzeln der Einheit erzeugte Feld. Das ist als der Lehrsatz von Kronecker-Weber bekannt, der ursprünglich von Leopold Kronecker vermutet ist. In diesem Fall lässt der Reziprozitätsisomorphismus der Klassenfeldtheorie (oder Reziprozitätskarte von Artin) auch eine ausführliche Beschreibung wegen des Lehrsatzes von Kronecker-Weber zu. Lassen Sie uns mit anzeigen

die Gruppe aller Wurzeln der Einheit, d. h. die Verdrehungsuntergruppe. Die Artin Reziprozitätskarte wird durch gegeben

\hat^\\Zeiten \to G_\Q^ {\\rm ab} = {\\rm Mädchen} (\Q (\mu_\infty)/\q), \quad x \mapsto (\zeta \mapsto \zeta^x),

</Mathematik>

wenn es arithmetisch normalisiert, oder durch gegeben wird

\hat^\\Zeiten \to G_\Q^ {\\rm ab} = {\\rm Mädchen} (\Q (\mu_\infty)/\q), \quad x \mapsto (\zeta \mapsto \zeta^ {-x}),

wenn es geometrisch normalisiert wird.

Die Standardmethode, den Reziprozitätshomomorphismus zu bauen, soll zuerst den lokalen Reziprozitätsisomorphismus von der multiplicative Gruppe der Vollziehung eines globalen Feldes zur Gruppe von Galois seiner maximalen abelian Erweiterung bauen (das wird innerhalb der lokalen Klassenfeldtheorie getan), und dann beweisen Sie, dass das Produkt aller dieser lokalen Reziprozitätskarten, wenn definiert, auf der idele Gruppe des globalen Feldes auf dem Image der multiplicative Gruppe des globalen Feldes trivial ist. Das letzte Eigentum wird das globale Reziprozitätsgesetz genannt und ist eine weite reichende Generalisation des Gauss quadratisches Reziprozitätsgesetz.

Eine von Methoden, den Reziprozitätshomomorphismus zu bauen, verwendet Klassenbildung.

Es gibt Methoden, die cohomology Gruppen, insbesondere die Gruppe von Brauer verwenden, und es Methoden gibt, die cohomology Gruppen nicht verwenden und sehr ausführlich und für Anwendungen gut sind.

Hauptideale

Mehr als gerade die abstrakte Beschreibung von G ist es zu den Zwecken der Zahlentheorie notwendig zu verstehen, wie sich Hauptideale in den abelian Erweiterungen zersetzen. Die Beschreibung ist in Bezug auf Elemente von Frobenius, und verallgemeinert auf eine weit reichende Weise das quadratische Reziprozitätsgesetz, das volle Information über die Zergliederung von Primzahlen in quadratischen Feldern gibt. Das Klassenfeldtheorie-Projekt hat die 'höheren Reziprozitätsgesetze' eingeschlossen (Kubikreziprozität und so weiter.

Die Rolle der Klassenfeldtheorie in der Theorie der algebraischen Zahl

Klassenfeldtheorie ist der Schlüsselteil und das Herz der Theorie der algebraischen Zahl. Es hat Tausende von Anwendungen in der Zahlentheorie. Über die Theorie von zeta Integralen, die von Kenkichi Iwasawa und John Tate begonnen sind, ist es mit der Studie der zeta Funktion von globalen Feldern verbunden.

Generalisationen der Klassenfeldtheorie

Eine natürliche Entwicklung in der Zahlentheorie soll verstehen und nonabelian Klassenfeldtheorien bauen, die Auskunft über Erweiterungen von General Galois von globalen Feldern geben. Häufig wird die Ähnlichkeit von Langlands als eine nonabelian Klassenfeldtheorie angesehen, und tatsächlich wenn völlig gegründet, wird sie eine sehr reiche Theorie von nonabelian Erweiterungen von Galois von globalen Feldern enthalten. Jedoch schließt die Ähnlichkeit von Langlands als viel arithmetische Information über begrenzte Erweiterungen von Galois nicht ein, wie Klassenfeldtheorie im abelian Fall tut. Keiner es schließt ein Analogon des Existenz-Lehrsatzes in der Klassenfeldtheorie, d. h. das Konzept von Klassenfeldern ein, fehlt in der Ähnlichkeit von Langlands. Es gibt mehrere andere nonabelian Theorien, lokal und global, die Alternative zum Ähnlichkeitsgesichtspunkt von Langlands zur Verfügung stellen.

Eine andere natürliche Entwicklung in der arithmetischen Geometrie soll verstehen und Klassenfeldtheorie bauen, die abelian Erweiterungen von höheren lokalen und globalen Feldern beschreibt. Die Letzteren kommen als Funktionsfelder von Schemas des begrenzten Typs über ganze Zahlen und ihre passende Lokalisierung und Vollziehungen. Höher verwendet lokale und globale Klassenfeldtheorie algebraische K-Theorie, und passende Milnor K-Groups ersetzen, der im Gebrauch in der eindimensionalen Klassenfeldtheorie ist. Höher wurde lokale und globale Klassenfeldtheorie von A. Parshin, Kazuya Kato, Ivan Fesenko, Spencer Bloch, Shiji Saito und vielen anderen Mathematikern entwickelt. Es gibt Versuche, höher globale Klassenfeldtheorie zu entwickeln, ohne algebraische K-Theorie (G. Wiesend) zu verwenden, aber seine Annäherung ist mit höherer lokaler Klassenfeldtheorie und einer Vereinbarkeit zwischen den lokalen und globalen Theorien nicht verbunden.

Geschichte

Die Ursprünge der Klassenfeldtheorie liegen im quadratischen von Gauss bewiesenen Reziprozitätsgesetz. Die Verallgemeinerung hat als ein langfristiges historisches Projekt stattgefunden, mit quadratischen Formen und ihrer 'Klasse-Theorie', Arbeit von Ernst Kummer und Leopold Kronecker/Kurt Hensel auf Idealen und Vollziehungen, der Theorie von cyclotomic und Erweiterungen von Kummer verbunden seiend.

Die ersten zwei Klassenfeldtheorien waren sehr ausführlicher cyclotomic und komplizierte Multiplikationsklassenfeldtheorien. Sie haben zusätzliche Strukturen verwendet: Im Fall vom Feld von rationalen Zahlen verwenden sie Wurzeln der Einheit im Fall von imaginären quadratischen Erweiterungen des Feldes von rationalen Zahlen sie verwenden elliptische Kurven mit der komplizierten Multiplikation und ihren Punkten der begrenzten Ordnung. Viel später hat die Theorie von Shimura eine andere sehr ausführliche Klassenfeldtheorie für eine Klasse von algberaic numerischen Feldern zur Verfügung gestellt. Alle diese sehr ausführlichen Theorien können nicht erweitert werden, um über das Feld der beliebigen Zahl zu arbeiten. In der positiven Eigenschaft haben Kawada und Satake Dualität von Witt verwendet, um eine sehr leichte Beschreibung des teiligen vom Reziprozitätshomomorphismus zu bekommen.

Jedoch hat allgemeine Klassenfeldtheorie verschiedene Konzepte und seine Bauarbeit über jedes globale Feld verwendet.

Die berühmten Probleme von David Hilbert haben weitere Entwicklung stimuliert, die zu den Reziprozitätsgesetzen und Beweisen durch Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse und viele andere führen. Der entscheidende Existenz-Lehrsatz von Takagi war vor 1920 und alle Hauptergebnisse ungefähr vor 1930 bekannt. Eine der letzten klassischen zu beweisenden Vermutungen war das principalisation Eigentum. Die ersten Beweise der Klassenfeldtheorie haben wesentliche analytische Methoden verwendet. In den 1930er Jahren und nachher wurden der Gebrauch von unendlichen Erweiterungen und die Theorie von Wolfgang Krull ihrer Gruppen von Galois immer nützlicher gefunden. Es verbindet sich mit der Dualität von Pontryagin, um einen klareren wenn abstraktere Formulierung des Hauptergebnisses, des Reziprozitätsgesetzes von Artin zu geben. Ein wichtiger Schritt war die Einführung von ideles durch Claude Chevalley in den 1930er Jahren. Ihr Gebrauch hat die Klassen von Idealen ersetzt und hat im Wesentlichen geklärt und hat Strukturen vereinfacht, die abelian Erweiterungen von globalen Feldern beschreiben. Die meisten Hauptergebnisse wurden vor 1940 bewiesen.

Nachdem die Ergebnisse in Bezug auf die Gruppe cohomology wiederformuliert wurden, der eine Standardweise geworden ist, Klassenfeldtheorie für mehrere Generationen von Zahl-Theoretikern zu erfahren. Ein Nachteil der cohomological Methode ist seine Verhältnisunklarkeit. Als das Ergebnis von lokalen Beiträgen durch Bernard Dwork sieht John Tate, Michiel Hazewinkel und eine lokale und globale Umdeutung durch Jurgen Neukirch und auch in Bezug auf die Arbeit an ausführlichen Reziprozitätsformeln durch viele Mathematiker, eine sehr ausführliche und cohomology freie Präsentation der Klassenfeldtheorie wurde in den neunziger Jahren gegründet, z.B das Buch von Neukirch.

Siehe auch

• Lokale Klassenfeldtheorie