In der komplizierten Analyse, einem Zweig der Mathematik, ist analytische Verlängerung eine Technik, um das Gebiet einer gegebenen analytischen Funktion zu erweitern. Analytische Verlängerung schafft häufig, weitere Werte einer Funktion zum Beispiel in einem neuen Gebiet zu definieren, wo eine unendliche Reihe-Darstellung, in Bezug auf die sie am Anfang definiert wird, auseinander gehend wird.

Die schrittweise Verlängerungstechnik kann jedoch gegen Schwierigkeiten heraufkommen. Diese können eine im Wesentlichen topologische Natur haben, zu Widersprüchlichkeiten führend (mehr als einen Wert definierend). Sie können mit der Anwesenheit mathematischer Eigenartigkeiten wechselweise verbunden sein. Der Fall von mehreren komplizierten Variablen ist ziemlich verschieden, da Eigenartigkeiten dann Punkte nicht isoliert werden können, und seine Untersuchung ein Hauptgrund für die Entwicklung des Bündels cohomology war.

Anfängliche Diskussion

Nehmen Sie an, dass f eine analytische Funktion ist, die auf einer offenen Teilmenge U vom komplizierten Flugzeug definiert ist. Wenn V eine größere offene Teilmenge ist, U enthaltend, und F eine analytische Funktion ist, die auf V definiert ist, solch dass

:

dann wird F eine analytische Verlängerung von f genannt. Mit anderen Worten ist die Beschränkung von F zu U die Funktion f wir haben damit angefangen.

Analytische Verlängerungen sind im folgenden Sinn einzigartig: Wenn V das verbundene Gebiet von zwei analytischen Funktionen F und solchem F ist, dass U in V und für den ganzen z in U enthalten wird

:F (z) = F (z) = f (z),

dann

:F = F

auf allen V. Das ist, weil F  F eine analytische Funktion ist, die auf dem öffnen, verbundenes Gebiet U f verschwindet und folglich auf seinem kompletten Gebiet verschwinden muss. Das folgt direkt vom Identitätslehrsatz für Holomorphic-Funktionen.

Anwendungen

Eine allgemeine Weise, Funktionen in der komplizierten Analyse zu definieren, geht durch das erste Spezifizieren der Funktion auf einem kleinen Gebiet nur und dann des Verlängerns davon durch die analytische Verlängerung weiter. In der Praxis wird diese Verlängerung häufig durch das erste Herstellen einer funktionellen Gleichung auf dem kleinen Gebiet und dann Verwenden dieser Gleichung getan, um das Gebiet zu erweitern. Beispiele sind der Riemann zeta Funktion und die Gammafunktion.

Das Konzept eines universalen Deckels wurde zuerst entwickelt, um ein natürliches Gebiet für die analytische Verlängerung einer analytischen Funktion zu definieren. Die Idee, die maximale analytische Verlängerung einer Funktion zu finden, hat der Reihe nach zur Entwicklung der Idee von Oberflächen von Riemann geführt.

Die Macht-Reihe, die oben definiert ist, wird durch die Idee von einem Keim verallgemeinert. Die allgemeine Theorie der analytischen Verlängerung und seiner Generalisationen ist als Bündel-Theorie bekannt.

Formelle Definition eines Keims

Lassen Sie

:

seien Sie eine Macht-Reihe, die in der Scheibe D (z) definiert durch zusammenläuft

:

Bemerken Sie, dass ohne Verlust der Allgemeinheit, hier und unten, wir immer annehmen werden, dass ein maximaler solcher r wurde gewählt, selbst wenn das r  ist. Bemerken Sie auch, dass es gleichwertig sein würde, um mit einer analytischen auf einem kleinen offenen Satz definierten Funktion zu beginnen. Wir sagen dass der Vektor

:g = (z, α, α, α...)

ist ein Keim von f. Die Basis g g ist z, der Stamm von g ist (α, α, α...), und die Spitze g g ist α. Die Spitze von g ist der Wert von f an z, dem Boden von g.

Jeder Vektor g = (z, α, α...) ist ein Keim, wenn er eine Macht-Reihe einer analytischen Funktion um z mit einem Radius der Konvergenz r> 0 vertritt. Deshalb können wir vom Satz von Keimen sicher sprechen.

Die Topologie des Satzes von Keimen

Lassen Sie g und h Keime sein. Wenn |h  g.

Wir können eine Topologie darauf definieren. Lassen Sie r> 0, und lassen Sie

:

Die Sätze U (g), für den ganzen r> 0 und g  definieren eine Basis von offenen Sätzen für die Topologie darauf.

Ein verbundener Bestandteil (d. h., eine Gleichwertigkeitsklasse) wird ein Bündel genannt. Wir bemerken auch, dass die Karte φ (h) = h von U (g) zu C, wo r der Radius der Konvergenz von g ist, eine Karte ist. Der Satz solcher Karten bildet einen Atlas dafür, folglich ist eine Oberfläche von Riemann. wird manchmal die universale analytische Funktion genannt.

Beispiele der analytischen Verlängerung

:

ist eine Macht-Reihe entsprechend dem natürlichen Logarithmus nahe z = 1. Diese Macht-Reihe kann in einen Keim verwandelt werden

:

Dieser Keim hat einen Radius der Konvergenz 1, und also gibt es ein Bündel S entsprechend ihm. Das ist das Bündel der Logarithmus-Funktion.

Der Einzigartigkeitslehrsatz für analytische Funktionen streckt sich auch bis zu Bündel von analytischen Funktionen aus: Wenn das Bündel einer analytischen Funktion den Nullkeim enthält (d. h. das Bündel ist in einer Nachbarschaft gleichförmig Null-) dann das komplette Bündel ist Null. Bewaffnet mit diesem Ergebnis können wir sehen, dass, wenn wir einen Keim g des Bündels S der Logarithmus-Funktion, wie beschrieben, oben nehmen, und es in eine Macht-Reihe f (z) dann verwandeln, wird diese Funktion das Eigentum dass exp (f (z)) =z haben. Wenn wir uns dafür entschieden hatten, eine Version des umgekehrten Funktionslehrsatzes für analytische Funktionen zu verwenden, konnten wir ein großes Angebot an Gegenteilen für die Exponentialkarte bauen, aber wir würden entdecken, dass sie alle von einem Keim in S vertreten werden. In diesem Sinn ist S "ein wahres Gegenteil" der Exponentialkarte.

In der älteren Literatur wurden Bündel von analytischen Funktionen mehrgeschätzte Funktionen genannt. Sieh Bündel für das Gesamtkonzept.

Lehrsatz von Monodromy

Der monodromy Lehrsatz gibt eine genügend Bedingung für die Existenz einer direkten analytischen Verlängerung (d. h., eine Erweiterung einer analytischen Funktion zu einer analytischen Funktion auf einem größeren Satz).

Nehmen Sie an, dass D ein offener ist, setzt und f eine analytische Funktion auf D ein. Wenn G ein einfach verbundenes Gebiet ist, das D, solch enthält, dass f eine analytische Verlängerung entlang jedem Pfad in G hat, von einem festen Punkt in D anfangend, dann hat f eine direkte analytische Verlängerung zu G.

Auf der obengenannten Sprache bedeutet das, dass, wenn G ein einfach verbundenes Gebiet ist, und S ein Bündel ist, dessen Satz von Grundpunkten G enthält, dann dort besteht eine analytische Funktion f auf G, dessen Keime S gehören.

Der Lücke-Lehrsatz von Hadamard

Für eine Macht-Reihe

:

mit Koeffizienten größtenteils die Null im genauen Sinn, dass sie außerhalb einer Folge von Hochzahlen k (i) mit verschwinden

:

\lim_ {i\to\infty} \frac {k (i+1)} {k (i)}> 1 + \delta \,

</Mathematik>

weil einige δ> 0, das Kreiszentrum z befestigt haben und mit dem Radius der Radius der Konvergenz eine natürliche Grenze ist. Solch eine Macht-Reihe definiert eine Lacunary-Funktion.

Der Lehrsatz von Polya

Lassen Sie, eine Macht-Reihe zu sein, dann dort bestehen Sie solch dass

:

hat die Konvergenz-Scheibe von f um z als eine natürliche Grenze.

Der Beweis dieses Lehrsatzes macht vom Lücke-Lehrsatz von Hadamard Gebrauch.

Siehe auch

• Mittag-Leffler Stern
• Gebiet von holomorphy

Links

• Analytische Verlängerung an MathPages