In der Mathematik ist schwache Topologie ein alternativer Begriff für die anfängliche Topologie. Der Begriff wird meistens für die anfängliche Topologie eines topologischen Vektorraums (wie ein normed Vektorraum) in Bezug auf seinen dauernden Doppel-gebraucht. Der Rest dieses Artikels wird sich mit diesem Fall befassen, der eines der Konzepte der Funktionsanalyse ist.

Man kann Teilmengen eines topologischen Vektorraums schwach geschlossen nennen (beziehungsweise, kompakt, usw.), wenn sie (beziehungsweise, kompakt, usw.) in Bezug auf die schwache Topologie geschlossen werden. Ebenfalls werden Funktionen manchmal schwach dauernd genannt (beziehungsweise, differentiable, analytisch, usw.), wenn sie (beziehungsweise, differentiable dauernd, usw. analytisch sind) in Bezug auf die schwache Topologie.

Die schwachen und starken Topologien

Lassen Sie K ein topologisches Feld, nämlich ein Feld mit einer solcher Topologie sein, dass Hinzufügung, Multiplikation und Abteilung dauernd sind. In den meisten Anwendungen wird K entweder das Feld von komplexen Zahlen oder das Feld von reellen Zahlen mit den vertrauten Topologien sein. Lassen Sie X ein topologischer Vektorraum über K sein. Nämlich, X ist ein K mit einer Topologie ausgestatteter Vektorraum, so dass Vektor-Hinzufügung und Skalarmultiplikation dauernd sind.

Wir können eine vielleicht verschiedene Topologie auf dem X Verwenden des dauernden (oder topologisch) Doppelraum X definieren. Der topologische Doppelraum besteht aus allen geradlinigen Funktionen von X ins Grundfeld K, die in Bezug auf die gegebene Topologie dauernd sind. Die schwache Topologie auf X ist die anfängliche Topologie

in Bezug auf X. Mit anderen Worten ist es die rauste Topologie (die Topologie mit wenigsten offenen Sätzen) solch, dass jedes Element X eine dauernde Funktion ist. Um die schwache Topologie von der ursprünglichen Topologie auf X zu unterscheiden, wird die ursprüngliche Topologie häufig die starke Topologie genannt.

Eine Subbasis für die schwache Topologie ist die Sammlung von Sätzen der Form φ (U) wo φ ∈ X und U ist eine offene Teilmenge des Grundfeldes K. Mit anderen Worten ist eine Teilmenge X in der schwachen Topologie offen, wenn, und nur wenn es als eine Vereinigung (vielleicht ungeheuer viele) Sätze geschrieben werden kann, von denen jeder eine Kreuzung von begrenzt vielen Sätzen der Form &phi ist; (U).

Mehr allgemein, wenn F eine Teilmenge des algebraischen Doppelraums, dann die anfängliche Topologie X in Bezug auf F ist, der durch &sigma angezeigt ist; (X, F), ist die schwache Topologie in Bezug auf F. Wenn man F nimmt, um der ganze dauernde Doppelraum X zu sein, dann fällt die schwache Topologie in Bezug auf F mit der schwachen Topologie zusammen, die oben definiert ist.

Wenn Feld K einen absoluten Wert, dann die schwache Topologie &sigma hat; (X, F) wird von der Familie von veranlasst

Halbnormen,

:

für alle f∈F und x∈X. Insbesondere schwache Topologien sind lokal konvex.

Aus diesem Gesichtspunkt ist die schwache Topologie die rauste polare Topologie; sieh schwache Topologie (polare Topologie) für Details. Spezifisch, wenn F ein Vektorraum von geradlinigem functionals auf X ist, der Punkte X, dann die dauernden Doppel-von X in Bezug auf die Topologie &sigma trennt; (X, F) ist F genau gleich.

Schwache Konvergenz

Die schwache Topologie wird durch die folgende Bedingung charakterisiert: Ein Netz (x) in X läuft in der schwachen Topologie zum Element x X wenn und nur wenn &phi zusammen; (x) läuft zu &phi zusammen; (x) in R oder C für alle φ in X*.

Insbesondere wenn x eine Folge in X ist, dann läuft x schwach zu x wenn zusammen

:

als n →  für alle φ ∈ X. In diesem Fall ist es üblich, um zu schreiben

:

oder, manchmal,

:

Andere Eigenschaften

Wenn X mit der schwachen Topologie ausgestattet wird, dann bleiben Hinzufügung und Skalarmultiplikation dauernde Operationen, und X sind ein lokal konvexer topologischer Vektorraum.

Wenn X ein normed Raum ist, dann ist DoppelraumX* selbst ein normed Vektorraum durch das Verwenden der Norm φ = supφ (x) |. Diese Norm verursacht eine Topologie, genannt die starke Topologie auf X*. Das ist die Topologie der gleichförmigen Konvergenz. Die gleichförmigen und starken Topologien sind für andere Räume von geradlinigen Karten allgemein verschieden; sieh unten.

Weak-* Topologie

Ein Raum X kann in den doppelten Doppel-X ** durch eingebettet werden

:wo:

So T: X → X ** ist injective geradlinig kartografisch darzustellen, obwohl es nicht surjective ist, wenn X nicht reflexiv ist. Weak-* ist die Topologie auf X* die schwache durch das Image von T veranlasste Topologie: T (X) ⊂ X **. Mit anderen Worten ist es die rauste solche Topologie, dass die Karten T von X* bis das Grundfeld R oder C dauernd bleiben.

Weak-* Konvergenz

Ein Netz φ in X* ist zu &phi konvergent; in weak-* Topologie, wenn es pointwise zusammenläuft:

:

für den ganzen x in X. Insbesondere eine Folge φ ∈ X läuft zu &phi zusammen; vorausgesetzt, dass

:

für den ganzen x in X. In diesem Fall schreibt man

:

als n → .

Weak-* Konvergenz wird manchmal die Topologie der einfachen Konvergenz oder die Topologie der pointwise Konvergenz genannt. Tatsächlich fällt es mit der Topologie der pointwise Konvergenz von geradlinigem functionals zusammen.

Andere Eigenschaften

Definitionsgemäß ist die weak* Topologie schwächer als die schwache Topologie auf X*. Eine wichtige Tatsache über die weak* Topologie ist der Banach-Alaoglu Lehrsatz: Wenn X normed ist, dann ist der geschlossene Einheitsball in X* weak*-compact (mehr allgemein, das polare in X* einer Nachbarschaft 0 in X ist weak*-compact). Außerdem ist der geschlossene Einheitsball in einem normed Raum X in der schwachen Topologie kompakt, wenn, und nur wenn X reflexiv ist.

In mehr Allgemeinheit, lassen Sie F lokal kompaktes geschätztes Feld (z.B, der reals, die komplexen Zahlen oder einige der p-adic Zahl-Systeme) sein. Lassen Sie X ein normed topologischer Vektorraum über F sein, der mit dem absoluten Wert in F vereinbar ist. Dann in X *, der topologische Doppelraum X von dauernden F-valued geradlinigen functionals auf X, sind alle Norm-geschlossenen Bälle in weak-* Topologie kompakt.

Wenn ein normed Raum X trennbar ist, dann weak-* ist Topologie metrizable. Es ist metrizable auf den Norm-begrenzten Teilmengen X *, obwohl nicht metrizable auf dem ganzen X*, wenn X nicht endlich-dimensional ist.

Beispiele

Räume von Hilbert

Betrachten Sie zum Beispiel, den Unterschied zwischen der starken und schwachen Konvergenz von Funktionen im Raum von Hilbert als L(R). Starke Konvergenz einer Folge ψ∈L(R) zu einem Element ψ Mittel das

:

als k→. Hier entspricht der Begriff der Konvergenz der Norm auf L.

In der schwachen Kontrastkonvergenz fordert nur das

:

für alle Funktionen f∈L (oder, mehr normalerweise, der ganze f in einer dichten Teilmenge von L wie ein Raum von Testfunktionen). Für gegebene Testfunktionen entspricht der relevante Begriff der Konvergenz nur der in C verwendeten Topologie.

Zum Beispiel, im Raum von Hilbert L (0,&pi), die Folge von Funktionen

:

bilden Sie eine orthonormale Basis. Insbesondere die (starke) Grenze ψ als k→ besteht nicht. Andererseits, durch das Lemma von Riemann-Lebesgue, besteht die schwache Grenze und ist Null.

Vertrieb

Man erhält normalerweise Räume des Vertriebs, indem man den starken Doppel-von einem Raum von Testfunktionen (wie die kompakt unterstützten glatten Funktionen auf R) bildet. In einem alternativen Aufbau solcher Räume kann man den schwachen Doppel-von einem Raum von Testfunktionen innerhalb eines Raums von Hilbert wie L nehmen. So wird einer dazu gebracht, die Idee von einem aufgetakelten Raum von Hilbert zu denken.

Maschinenbediener-Topologien

Wenn X und Y topologische Vektorräume, der Raum L (X, Y) von dauernden geradlinigen Maschinenbedienern f:X &rarr sind; Y kann eine Vielfalt von verschiedenen möglichen Topologien tragen. Das Namengeben solcher Topologien hängt von der Art der Topologie ab, die man auf dem Zielraum Y verwendet, um Maschinenbediener-Konvergenz zu definieren. Es, gibt im Allgemeinen, eine riesengroße Reihe von möglichen Maschinenbediener-Topologien auf L (X, Y), wessen Namengeben nicht völlig intuitiv ist.

Zum Beispiel ist die starke Maschinenbediener-Topologie auf L (X, Y) die Topologie der pointwise Konvergenz. Zum Beispiel, wenn Y ein normed Raum ist, dann wird diese Topologie durch die Halbnormen definiert, die durch x∈X: mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind

:

Mehr allgemein, wenn eine Familie von Halbnormen Q die Topologie auf Y definiert, dann die Halbnormen p auf L (X, Y) das Definieren der starken Topologie werden durch gegeben

:

mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch q∈Q und

x∈X.

Insbesondere sieh die schwache Maschinenbediener-Topologie und weak* Maschinenbediener-Topologie.

Siehe auch

• Schwache Konvergenz (Raum von Hilbert)
• Maschinenbediener-Topologie des schwachen Sterns
• Schwache Konvergenz von Maßnahmen
• Topologien auf dem Satz von Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert
• Vage Topologie