In der Mathematik ist ein Graph eine abstrakte Darstellung von einer Reihe von Gegenständen, wo einige Paare der Gegenstände durch Verbindungen verbunden werden. Die miteinander verbundenen Gegenstände werden durch mathematische Abstraktionen genannt Scheitelpunkte vertreten, und die Verbindungen, die einige Paare von Scheitelpunkten verbinden, werden Ränder genannt. Gewöhnlich wird ein Graph in der diagrammatischen Form als eine Reihe von Punkten für die Scheitelpunkte gezeichnet, die durch Linien oder Kurven für die Ränder angeschlossen sind. Graphen sind einer der Gegenstände der Studie in der getrennten Mathematik.

Die Ränder können (asymmetrisch) oder ungeleitet (symmetrisch) geleitet werden. Zum Beispiel, wenn die Scheitelpunkte Leute bei einer Partei vertreten, und es einen Rand zwischen zwei Menschen gibt, wenn sie sich die Hände schütteln, dann ist das ein ungeleiteter Graph, weil, wenn Person A Hände mit der Person B geschüttelt hat, dann hat sich Person B auch mit der Person A. die Hände geschüttelt. Andererseits, wenn die Scheitelpunkte Leute bei einer Partei vertreten, und es einen Rand von der Person der Person B gibt, wenn Person A von der Person B weiß, dann wird dieser Graph geleitet, weil Kenntnisse von jemandem nicht notwendigerweise eine symmetrische Beziehung sind (d. h. eine Person, die weiß, dass eine andere Person die Rückseite nicht notwendigerweise einbezieht; zum Beispiel können viele Anhänger von einer Berühmtheit wissen, aber die Berühmtheit wird kaum von allen ihren Anhängern wissen). Dieser letzte Typ des Graphen wird einen geleiteten Graphen genannt, und die Ränder werden geleitete Ränder oder Kreisbogen genannt.

Scheitelpunkte werden auch Knoten oder Punkte genannt, und Ränder werden auch Linien genannt. Graphen sind das grundlegende durch die Graph-Theorie studierte Thema. Das Wort "Graph" wurde zuerst in diesem Sinn von J.J. Sylvester 1878 verwendet.

Definitionen

Definitionen in der Graph-Theorie ändern sich. Der folgende ist einige der grundlegenderen Weisen, Graphen zu definieren, und hat mathematische Strukturen verbunden.

Graph

Im grössten Teil des gesunden Menschenverstands des Begriffes ist ein Graph ein befohlenes Paar G = (V, E) das Enthalten eines Satzes V von Scheitelpunkten oder Knoten zusammen mit einem Satz E von Rändern oder Linien, die 2-Elemente-Teilmengen V sind (d. h. ein Rand ist mit zwei Scheitelpunkten verbunden, und die Beziehung wird als nicht eingeordnetes Paar der Scheitelpunkte in Bezug auf den besonderen Rand vertreten). Um Zweideutigkeit zu vermeiden, kann dieser Typ des Graphen genau als ungeleitet und einfach beschrieben werden.

Andere Sinne des Graph-Stamms von verschiedenen Vorstellungen des Randes gehen unter. In einem mehr verallgemeinertem Begriff ist E ein Satz zusammen mit einer Beziehung des Vorkommens, das mit jedem Rand zwei Scheitelpunkte vereinigt. In einem anderen verallgemeinerten Begriff ist E ein Mehrsatz von nicht eingeordneten Paaren (nicht notwendigerweise verschieden) Scheitelpunkte. Viele Autoren nennen diesen Typ des Gegenstands einen Mehrgraphen oder Pseudographen.

Alle diese Varianten und werden andere mehr völlig unten beschrieben.

Die Scheitelpunkte, die einem Rand gehören, werden die Enden, Endpunkte oder Endscheitelpunkte des Randes genannt. Ein Scheitelpunkt kann in einem Graphen bestehen und einem Rand nicht gehören.

V und E werden gewöhnlich genommen, um begrenzt zu sein, und viele der wohl bekannten Ergebnisse sind nicht wahr (oder sind ziemlich verschieden) für unendliche Graphen, weil viele der Argumente im unendlichen Fall scheitern. Die Ordnung eines Graphen ist (die Zahl von Scheitelpunkten). Eine Größe eines Graphen, ist die Zahl von Rändern. Der Grad eines Scheitelpunkts ist die Zahl von Rändern, die dazu in Verbindung stehen, wo ein Rand, der zum Scheitelpunkt an beiden Enden in Verbindung steht (eine Schleife) zweimal aufgezählt wird.

Für einen Rand {u, v}, verwenden Graph-Theoretiker gewöhnlich die etwas kürzere Notation uv.

Angrenzen-Beziehung

Die Ränder E eines ungeleiteten Graphen G veranlassen eine symmetrische binäre Beziehung ~ auf V, der die Angrenzen-Beziehung von G genannt wird. Spezifisch, für jeden Rand {u, v}, wie man sagt, sind die Scheitelpunkte u und v neben einander, der u ~ v angezeigt wird.

Typen von Graphen

Unterscheidung in Bezug auf die Hauptdefinition

Wie oben angegeben in verschiedenen Zusammenhängen kann es nützlich sein, den Begriff Graph mit verschiedenen Graden der Allgemeinheit zu definieren. Wann auch immer es notwendig ist, einen strengen Unterschied zu machen, werden die folgenden Begriffe gebraucht. Meistens, in modernen Texten in der Graph-Theorie, wenn nicht festgesetzt, sonst, Graph-Mittel "ungeleiteter einfacher begrenzter Graph" (sieh die Definitionen unten).

Ungeleiteter Graph

Ein ungeleiteter Graph ist derjenige, in dem Ränder keine Orientierung haben. Der Rand (a, b) ist zum Rand (b, a) identisch, d. h. sie sind nicht befohlene Paare, aber Sätze {u, v} (oder 2 Mehrsätze) Scheitelpunkte.

Geleiteter Graph

Ein geleiteter Graph oder Digraph sind ein befohlenes Paar D = (V, A) mit

• V ein Satz, dessen Elemente Scheitelpunkte oder Knoten und genannt werden
• Eine eine Reihe befohlene Paare von Scheitelpunkten, genannt Kreisbogen, hat Ränder oder Pfeile geleitet.

Wie man

betrachtet, wird ein Kreisbogen = (x, y) von x bis y geleitet; y wird den Leiter genannt, und x wird den Schwanz des Kreisbogens genannt; wie man sagt, ist y ein direkter Nachfolger von x, und, wie man sagt, ist x ein direkter Vorgänger von y. Wenn ein Pfad von x bis y führt, dann, wie man sagt, ist y ein Nachfolger von x und erreichbar von x, und, wie man sagt, ist x ein Vorgänger von y. Der Kreisbogen (y, x) wird den Kreisbogen (x, y) umgekehrt genannt.

Ein geleiteter Graph D wird symmetrisch genannt, wenn, für jeden Kreisbogen in D, der entsprechende umgekehrte Kreisbogen auch D gehört. Ein symmetrischer loopless hat angeordnet, dass Graph D = (V, A) zu einem einfachen ungeleiteten Graphen G = gleichwertig ist (V, E), wo die Paare von umgekehrten Kreisbogen in A 1 zu 1 den Rändern in E entsprechen; so die Ränder in der G Zahl |E = |A/2, oder Hälfte der Zahl von Kreisbogen in D.

Eine Schwankung auf dieser Definition ist der orientierte Graph, in dem nicht mehr als ein (x, y) und (y, x) Kreisbogen sein kann.

Mischgraph

Ein Mischgraph G ist ein Graph, in dem einige Ränder geleitet werden können und einige ungeleitet sein können.

Es wird als ein bestellter dreifacher G = (V, E, A) mit V, E, und Ein definierter als oben geschrieben.

Geleitete und ungeleitete Graphen sind spezielle Fälle.

Mehrgraph

Eine Schleife ist ein Rand (geleitet oder ungeleitet), der anfängt und auf demselben Scheitelpunkt endet; diese können erlaubt oder gemäß der Anwendung nicht erlaubt werden. In diesem Zusammenhang wird ein Rand mit zwei verschiedenen Enden eine Verbindung genannt.

Wie man

allgemein versteht, bedeutet der Begriff "Mehrgraph", dass vielfachen Rändern (und manchmal Schleifen) erlaubt wird. Wo Graphen definiert werden, um Schleifen und vielfache Ränder zu erlauben, wird ein Mehrgraph häufig definiert, um einen Graphen ohne Schleifen jedoch zu bedeuten, wo Graphen definiert werden, um Schleifen und vielfache Ränder zurückzuweisen, wird der Begriff häufig definiert, um einen "Graphen" zu bedeuten, der sowohl vielfache Ränder als auch Schleifen haben kann, obwohl viele den Begriff "Pseudograph" für diese Bedeutung gebrauchen.

Einfacher Graph

Im Vergleich mit einem Mehrgraphen ist ein einfacher Graph ein ungeleiteter Graph, der keine Schleifen und nicht mehr als einen Rand zwischen irgendwelchen zwei verschiedenen Scheitelpunkten hat. In einem einfachen Graphen bilden die Ränder des Graphen einen Satz (aber nicht ein Mehrsatz), und jeder Rand ist ein verschiedenes Paar von Scheitelpunkten. In einem einfachen Graphen mit n Scheitelpunkten hat jeder Scheitelpunkt einen Grad, der weniger ist als n (das gegenteilige, jedoch, ist nicht wahr — dort bestehen nichteinfache Graphen mit n Scheitelpunkten, in denen jeder Scheitelpunkt einen Grad hat, der kleiner ist als n).

Belasteter Graph

Ein Graph ist ein belasteter Graph, wenn eine Zahl (Gewicht) jedem Rand zugeteilt wird. Solche Gewichte, könnten zum Beispiel, Kosten, Längen oder Kapazitäten usw. abhängig vom Problem in der Nähe vertreten. Einige Autoren nennen solch einen Graphen ein Netz.

Halbränder, lose Ränder

In außergewöhnlichen Situationen ist es sogar notwendig, Ränder mit nur einem Ende, genannt Halbränder, oder keine Enden (lose Ränder) zu haben; sieh zum Beispiel unterzeichnete Graphen und beeinflusste Graphen.

Wichtige Graph-Klassen

Regelmäßiger Graph

Ein regelmäßiger Graph ist ein Graph, wo jeder Scheitelpunkt dieselbe Zahl von Nachbarn hat, d. h. jeder Scheitelpunkt hat denselben Grad oder Valenz. Ein regelmäßiger Graph mit Scheitelpunkten des Grads k wird einen kregular Graphen oder regelmäßigen Graphen des Grads k genannt.

Ganzer Graph

Ganze Graphen haben die Eigenschaft, dass jedes Paar von Scheitelpunkten einen Rand hat, der sie verbindet.

Begrenzte und unendliche Graphen

Ein begrenzter Graph ist ein Graph G = (V, E) solch, dass V und E begrenzte Sätze sind. Ein unendlicher Graph ist ein mit einem unendlichen Satz von Scheitelpunkten oder Rändern oder beiden.

Meistens in der Graph-Theorie wird es angedeutet, dass die besprochenen Graphen begrenzt sind. Wenn die Graphen unendlich sind, der gewöhnlich spezifisch festgesetzt wird.

Graph-Klassen in Bezug auf die Konnektivität

In einem ungeleiteten Graphen werden G, zwei Scheitelpunkte u und v verbunden genannt, wenn G einen Pfad von u bis v enthält. Sonst werden sie getrennt genannt. Ein Graph wird verbunden genannt, wenn jedes Paar von verschiedenen Scheitelpunkten im Graphen verbunden wird; sonst wird es getrennt genannt.

Ein Graph wird k-vertex-connected']] oder k-edge-connected']] genannt, wenn kein Satz von k-1 Scheitelpunkten (beziehungsweise, Ränder) besteht, der, wenn entfernt, den Graphen trennt. Ein k-vertex-connected Graph wird häufig einfach k-connected genannt'.

Ein geleiteter Graph wird schwach verbunden genannt, wenn das Ersetzen von allen seinen geleiteten Rändern mit ungeleiteten Rändern einen verbundenen (ungeleiteten) Graphen erzeugt. Es wird stark verbunden oder stark, wenn es einen geleiteten Pfad von u bis v und einen geleiteten Pfad von v bis u für jedes Paar von Scheitelpunkten u, v enthält.

Eigenschaften von Graphen

Zwei Ränder eines Graphen werden angrenzend genannt (manchmal zusammenfallend), wenn sie einen allgemeinen Scheitelpunkt teilen. Zwei Pfeile eines geleiteten Graphen werden aufeinander folgend genannt, wenn der Kopf des ersten an der Kerbe (Kerbe-Ende) des zweiten ist. Ähnlich werden zwei Scheitelpunkte angrenzend genannt, wenn sie einen allgemeinen Rand teilen (aufeinander folgend, wenn sie an der Kerbe und an der Spitze eines Pfeils sind), in welchem Fall, wie man sagt, sich der allgemeine Rand den zwei Scheitelpunkten anschließt. Ein Rand und ein Scheitelpunkt an diesem Rand werden Ereignis genannt.

Der Graph mit nur einem Scheitelpunkt und keinen Rändern wird den trivialen Graphen genannt. Ein Graph mit nur Scheitelpunkten und keinen Rändern ist als ein edgeless Graph bekannt. Der Graph ohne Scheitelpunkte und keine Ränder wird manchmal den ungültigen Graphen oder leeren Graphen genannt, aber die Fachsprache entspricht nicht, und nicht alle Mathematiker erlauben diesen Gegenstand.

In einem belasteten Graphen oder Digraph wird jeder Rand mit einem Wert, verschiedenartig genannt seine Kosten, Gewicht, Länge oder anderen Begriff abhängig von der Anwendung vereinigt; solche Graphen entstehen in vielen Zusammenhängen zum Beispiel in optimalen Routenplanungsproblemen wie das Handelsreisender-Problem.

Normalerweise sind die Scheitelpunkte eines Graphen, durch ihre Natur als Elemente eines Satzes, unterscheidbar. Diese Art des Graphen kann Scheitelpunkt-etikettiert genannt werden. Jedoch für viele Fragen ist es besser, Scheitelpunkte als nicht zu unterscheidend zu behandeln; dann kann der Graph unetikettiert genannt werden. (Natürlich können die Scheitelpunkte noch durch die Eigenschaften des Graphen selbst, z.B, durch die Zahlen von Ereignis-Rändern unterscheidbar sein). Dieselben Bemerkungen gelten für Ränder, so werden Graphen mit etikettierten Rändern Rand-etikettierte Graphen genannt. Graphen mit Etiketten, die Rändern oder Scheitelpunkten beigefügt sind, werden mehr allgemein, wie etikettiert, benannt. Folglich sind Graphen, in denen Scheitelpunkte nicht zu unterscheidend sind und Ränder, nicht zu unterscheidend werden unetikettiert genannt. (Bemerken Sie, dass in der Literatur der etikettierte Begriff auf andere Arten des Beschriftens, außer dem anwenden kann, was nur dient, um verschiedene Scheitelpunkte oder Ränder zu unterscheiden.)

Beispiele

• Das Diagramm am Recht ist eine grafische Darstellung des folgenden Graphen:

: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }\

: E =.

• In der Kategorie-Theorie kann eine kleine Kategorie durch einen geleiteten Mehrgraphen in der die Gegenstände der Kategorie vertreten als Scheitelpunkte und der morphisms als geleitete Ränder vertreten werden. Dann veranlassen die functors zwischen Kategorien einige, aber nicht notwendigerweise alle, des Digraphs morphisms des Graphen.
• In der Informatik werden geleitete Graphen verwendet, um Kenntnisse (z.B, Begriffsgraph), Zustandsmaschinen und viele andere getrennte Strukturen zu vertreten.
• Eine binäre Beziehung R auf einem Satz X definiert einen geleiteten Graphen. Ein Element x X ist ein direkter Vorgänger eines Elements y X iff xRy.

Wichtige Graphen

Grundlegende Beispiele sind:

• In einem ganzen Graphen wird jedes Paar von Scheitelpunkten durch einen Rand angeschlossen; d. h. der Graph enthält alle möglichen Ränder.
• In einem zweiteiligen Graphen kann der Scheitelpunkt-Satz in zwei Sätze, W und X verteilt werden, so dass keine zwei Scheitelpunkte in W angrenzend sind und keine zwei Scheitelpunkte in X angrenzend sind. Wechselweise ist es ein Graph mit einer chromatischen Zahl 2.
• In einem ganzen zweiteiligen Graphen ist der Scheitelpunkt-Satz die Vereinigung von zwei zusammenhanglosen Sätzen, W und X, so dass jeder Scheitelpunkt in W neben jedem Scheitelpunkt in X ist, aber es gibt keine Ränder innerhalb von W oder X.
• In einem geradlinigen Graphen oder Pfad-Graphen der Länge n können die Scheitelpunkte in der Ordnung, v, v..., v verzeichnet werden, so dass die Ränder vv für jeden ich = 1, 2..., n sind. Wenn ein geradliniger Graph als ein Subgraph eines anderen Graphen vorkommt, ist es ein Pfad in diesem Graphen.
• In einem Zyklus-Graphen der Länge n  3 können Scheitelpunkte v..., v genannt werden, so dass die Ränder vv für jeden ich = 2..., n zusätzlich zu vv sind. Zyklus-Graphen können als verbundene 2-regelmäßige Graphen charakterisiert werden. Wenn ein Zyklus-Graph als ein Subgraph eines anderen Graphen vorkommt, ist es ein Zyklus oder Stromkreis in diesem Graphen.
• Ein planarer Graph ist ein Graph, dessen Scheitelpunkte und Ränder in einem solchem Flugzeug gezogen werden können, dass sich keine zwei der Ränder (d. h., eingebettet in einem Flugzeug) schneiden.
• Ein Baum ist ein verbundener Graph ohne Zyklen.
• Ein Wald ist ein Graph ohne Zyklen (d. h. die zusammenhanglose Vereinigung von einem oder mehr Bäumen).

Fortgeschrittenere Arten von Graphen sind:

• Der Graph von Petersen und seine Generalisationen
• Vollkommene Graphen
• Cographs
• Graphen von Chordal
• Andere Graphen mit großen automorphism Gruppen: mit dem Scheitelpunkt transitive, mit dem Kreisbogen transitive und mit der Entfernung transitive Graphen.
• Stark regelmäßige Graphen und ihre Generalisation mit der Entfernung regelmäßige Graphen.

Operationen auf Graphen

Es gibt mehrere Operationen, die neue Graphen von alten erzeugen, die in die folgenden Kategorien eingeteilt werden könnten:

• Elementare Operationen, manchmal genannt "das Redigieren von Operationen" auf Graphen, die einen neuen Graphen vom ursprünglichen durch eine einfache, lokale Änderung, wie Hinzufügung oder Auswischen eines Scheitelpunkts oder eines Randes schaffen, sich verschmelzend und sich von Scheitelpunkten usw. aufspaltend.
• Graph schreibt Operationen um, die das Ereignis von einem Muster-Graphen innerhalb des Gastgeber-Graphen durch ein Beispiel des entsprechenden Ersatzgraphen ersetzen.
• Unäre Operationen, die einen bedeutsam neuen Graphen vom alten schaffen. Beispiele:
• Liniengraph
• Doppelgraph
• Ergänzungsgraph
• Binäre Operationen, die neuen Graphen von zwei anfänglichen Graphen schaffen. Beispiele:
• Zusammenhanglose Vereinigung von Graphen
• Kartesianisches Produkt von Graphen
• Tensor-Produkt von Graphen
• Starkes Produkt von Graphen
• Lexikografisches Produkt von Graphen

Generalisationen

In einem Hypergraphen kann sich ein Rand mehr als zwei Scheitelpunkten anschließen.

Ein ungeleiteter Graph kann als ein simplicial Komplex gesehen werden, der aus 1-simplices (die Ränder) und 0-simplices (die Scheitelpunkte) besteht. Als solcher sind Komplexe Generalisationen von Graphen, da sie hoch-dimensionalen simplices berücksichtigen.

Jeder Graph verursacht einen matroid.

In der Mustertheorie ist ein Graph gerade eine Struktur. Aber in diesem Fall gibt es keine Beschränkung auf die Zahl von Rändern: Es kann jede Grundzahl sein, dauernden Graphen zu sehen.

In der rechenbetonten Biologie führt Macht-Graph-Analyse Macht-Graphen als eine alternative Darstellung von ungeleiteten Graphen ein.

In geografischen Informationssystemen werden geometrische Netze nach Graphen nah modelliert, und leihen viele Konzepte von der Graph-Theorie, Raumanalyse auf Straßennetze oder Dienstprogramm-Bratrost durchzuführen.

Siehe auch

• Doppelgraph
• Wörterverzeichnis der Graph-Theorie
• Hypergraph
• Graph (Datenstruktur)
• Graph-Datenbank
• Graph, der zieht
• Graph-Theorie-Veröffentlichungen

Liste von Graph-Theorie-Themen

• Netztheorie
• Webgraph
• Begriffsgraph
• Horizontaler Einschränkungsgraph
• Kausale dynamische Triangulation
• Weiser-Mathematik (Software)
• NetworkX (Software)
• Mathematica (Software)

Referenzen

• Übersetzung:

.

Links

• Eine auffindbare Datenbank von kleinen verbundenen Graphen
• VisualComplexity.com — Eine Seherforschung dabei, komplizierte Netze kartografisch darzustellen
• Intelligenter Graph Visualizer — IGV schaffen und editieren Graphen, automatisch Platz-Graph, suchen Sie kürzesten Pfad (+coloring Scheitelpunkte), Zentrum, Grad, Seltsamkeit usw.
• Der Sehgraph-Redakteur 2 — für die schnelle und leichte Entwicklung entworfener VGE2, editierend und von Graphen und Analyse von Problemen sparend, hat mit Graphen in Verbindung gestanden.
• GraphsJ 2 — GraphsJ ist eine didaktische javanische Software, die einen gebrauchsfreundlichen GUI zeigt und interaktiv schrittweise viele Graph-Probleme löst, die ihre verbundenen Algorithmen durchführen.