In der geradlinigen Algebra ist eine Diagonalmatrix eine Matrix (gewöhnlich eine Quadratmatrix), in dem die Einträge außerhalb der Hauptdiagonale () die ganze Null sind. Die diagonalen Einträge selbst können oder können nicht Null sein. So, die Matrix D = (d) mit

n Säulen und n Reihen ist wenn diagonal:

:

\{1, 2, \ldots, n\}. </Mathematik>

Zum Beispiel ist die folgende Matrix diagonal:

:

1 & 0 & 0 \\

0 & 4 & 0 \\

0 & 0 &-3\end {bmatrix} </Mathematik>

Der Begriff Diagonalmatrix kann sich manchmal auf eine rechteckige Diagonalmatrix beziehen, die eine m-by-n Matrix mit nur den Einträgen der Form d vielleicht Nichtnull ist. Zum Beispiel:

:1 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\

0 & 0 &-3 \\

0 & 0 & 0 \\

\end {bmatrix} </Mathematik> oder

1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 4 & 0& 0 & 0 \\

0 & 0 & -3& 0 & 0\end {bmatrix} </Mathematik>

Jedoch im Rest dieses Artikels werden wir nur Quadrat matrices denken. Jede Quadratdiagonalmatrix ist auch eine symmetrische Matrix. Außerdem, wenn die Einträge aus Feld R oder C kommen, dann ist es eine normale Matrix ebenso. Gleichwertig können wir eine Diagonalmatrix als eine Matrix definieren, die sowohl ober - als auch niedrig-dreieckig ist. Die Identitätsmatrix I und jede Quadratnullmatrix sind diagonal. Eine eindimensionale Matrix ist immer diagonal.

Skalarmatrix

Eine Diagonalmatrix mit allen seinen diagonalen gleichen Haupteinträgen ist eine Skalarmatrix, d. h. ein Skalarvielfache &lambda;I von der Identitätsmatrix I. Seine Wirkung auf einen Vektoren ist Skalarmultiplikation durch &lambda;. zum Beispiel 3&times;3 hat Skalarmatrix die Form:

:

\lambda & 0 & 0 \\

0 & \lambda & 0 \\

0 & 0 & \lambda\end {bmatrix}. </Mathematik>

Der Skalar matrices ist das Zentrum der Algebra von matrices: D. h. sie sind genau die matrices, die mit ganzem anderem Quadrat matrices derselben Größe pendeln.

Für einen abstrakten Vektorraum V (aber nicht den konkreten Vektorraum), oder mehr allgemein ein Modul M über einen Ring R, mit dem Endomorphismus-Algebra-Ende (M) (Algebra von geradlinigen Maschinenbedienern auf M) das Ersetzen der Algebra von matrices, ist das Analogon des Skalars matrices Skalartransformationen. Formell ist Skalarmultiplikation eine geradlinige Karte, eine Karte veranlassend (senden Sie einen Skalar &lambda; zur entsprechenden Skalartransformation, Multiplikation durch &lambda), Ende (M) als eine R-Algebra ausstellend. Für Vektorräume oder mehr allgemein freie Module, für die die Endomorphismus-Algebra zu einer Matrixalgebra isomorph ist, verwandelt sich der Skalar sind genau das Zentrum der Endomorphismus-Algebra, und ähnlich verwandelt sich invertible sind das Zentrum der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (V), wo sie durch Z (V) angezeigt werden, der üblichen Notation für das Zentrum folgen.

Matrixoperationen

Die Operationen der Matrixhinzufügung und Matrixmultiplikation sind für Diagonalmatrizen besonders einfach. Schreiben Sie diag (a..., a) für eine Diagonalmatrix, deren diagonale Einträge, die an der oberen linken Ecke anfangen, a..., a sind. Dann, für die Hinzufügung, haben wir

:diag (a..., a) + diag (b..., b) = diag (a+b..., a+b)

und für die Matrixmultiplikation,

:diag (a..., a) &middot; diag (b..., b) = diag (ab..., ab).

Die Diagonalmatrix diag (a..., a) ist invertible wenn und nur wenn die Einträge a... der ganzen Nichtnull zu sein. In diesem Fall haben wir

:diag (a..., a) = diag (a..., a).

Insbesondere die Diagonalmatrizen bilden einen Subring des Rings des ganzen n-by-n matrices.

Das Multiplizieren einer n-by-n Matrix vom links mit diag (a..., a) beläuft sich auf das Multiplizieren der i-th Reihe durch für alles ich; das Multiplizieren der Matrix vom Recht mit diag (a..., a) beläuft sich auf das Multiplizieren der i-th Säule durch für alles ich.

Andere Eigenschaften

Die eigenvalues von diag (a..., a) sind a..., mit verbundenen Eigenvektoren von e..., e, wo der Vektor e alle Nullen außer derjenigen in der ith Reihe ist. Die Determinante von diag (a..., a) ist das Produkt... a.

Der adjugate einer Diagonalmatrix ist wieder diagonal.

Eine Quadratmatrix ist diagonal, wenn, und nur wenn es dreieckig und normal ist.

Gebrauch

Diagonalmatrizen kommen in vielen Gebieten der geradlinigen Algebra vor. Wegen der einfachen Beschreibung der Matrixoperation und eigenvalues/eigenvectors, der oben gegeben ist, ist es immer wünschenswert, eine gegebene geradlinige oder Matrixkarte durch eine Diagonalmatrix zu vertreten.

Tatsächlich ist eine gegebene n-by-n Matrix A einer Diagonalmatrix ähnlich (das Meinen, dass es eine Matrix X solch gibt, dass XAX diagonal ist), wenn, und nur wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren hat. Wie man sagt, sind solche matrices diagonalizable.

Über das Feld von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist mehr wahr. Der geisterhafte Lehrsatz sagt, dass jede normale Matrix ähnlich einer Diagonalmatrix unitarily ist (wenn AA = AA dann dort eine einheitliche Matrix U solch besteht, dass UAU diagonal ist). Außerdem deutet die einzigartige Wertzergliederung an, dass für jede Matrix A, dort einheitlicher matrices U und V solch bestehen Sie, dass UAV mit positiven Einträgen diagonal ist.

Maschinenbediener-Theorie

In der Maschinenbediener-Theorie, besonders die Studie von PDEs, sind Maschinenbediener besonders leicht zu verstehen und PDEs leicht zu lösen, wenn der Maschinenbediener in Bezug auf die Basis diagonal ist, mit der arbeitet; das entspricht einer trennbaren teilweisen Differenzialgleichung. Deshalb ist eine Schlüsseltechnik verstehenden Maschinenbedienern eine Änderung von Koordinaten - auf der Sprache von Maschinenbedienern, ein Integral verwandeln sich - der die Basis zu einem eigenbasis von eigenfunctions ändert: Der die Gleichung trennbar macht. Ein wichtiges Beispiel davon ist der Fourier verwandeln sich, der diagonalizes unveränderliche mitwirkende Unterscheidungsmaschinenbediener (oder mehr allgemein Übersetzung invariant Maschinenbediener) wie der Maschinenbediener von Laplacian, sagen wir, in der Hitzegleichung.

Besonders leicht sind Multiplikationsmaschinenbediener, die als Multiplikation durch (die Werte) eine feste Funktion definiert werden - entsprechen die Werte der Funktion an jedem Punkt den diagonalen Einträgen einer Matrix.

Siehe auch

• Antidiagonalmatrix
• Vereinigte Matrix
• Matrix von Bidiagonal
• Diagonal dominierende Matrix
• Matrix von Diagonalizable
• Multiplikationsmaschinenbediener
• Matrix von Tridiagonal
• Matrix von Toeplitz
• Algebra von Toral Lie
• Matrix von Circulant
• Roger A. Horn und Charles R. Johnson, Matrixanalyse, Universität von Cambridge Presse, 1985. Internationale Standardbuchnummer 0-521-30586-1 (eingebundenes Buch), internationale Standardbuchnummer 0-521-38632-2 (Paperback).