Der Lehrsatz von Cox, genannt nach dem Physiker Richard Threlkeld Cox, ist eine Abstammung der Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie von einem bestimmten Satz von Postulaten. Diese Abstammung rechtfertigt die so genannte "logische" Interpretation der Wahrscheinlichkeit. Da die Gesetze der durch den Lehrsatz von Cox abgeleiteten Wahrscheinlichkeit auf jeden Vorschlag anwendbar sind, ist logische Wahrscheinlichkeit ein Typ der Wahrscheinlichkeit von Bayesian. Andere Formen von Bayesianism, wie die subjektive Interpretation, werden andere Rechtfertigungen gegeben.

Die Annahmen des Steuermannes

Cox hat gewollt, dass sein System die folgenden Bedingungen befriedigt hat:

1. Teilbarkeit und Vergleichbarkeit - Die Glaubhaftigkeit einer Behauptung ist eine reelle Zahl und ist von der Information abhängig, die wir mit der Behauptung verbunden haben.
2. Gesunder Menschenverstand - Glaubhaftigkeit sollte sich vernünftig mit der Bewertung der Glaubhaftigkeit im Modell ändern.
3. Konsistenz - Wenn die Glaubhaftigkeit einer Behauptung auf viele Weisen, alle Ergebnisse abgeleitet werden kann, muss gleich sein.

Die Postulate, wie festgesetzt, hier werden von Arnborg und Sjödin genommen.

"Gesunder Menschenverstand" schließt Konsistenz mit der Aristotelischen Logik wenn ein

Behauptungen sind völlig plausibel oder unwahrscheinlich.

Die Postulate, wie ursprünglich festgesetzt, durch Cox waren nicht mathematisch

streng (obwohl besser als die informelle Beschreibung oben), z.B,

wie bemerkt, durch Halpern. Jedoch scheint es, möglicher zu sein

sie mit verschiedenen mathematischen Annahmen gemacht irgendein zu vermehren

implizit oder ausführlich durch Cox, um einen gültigen Beweis zu erzeugen.

Die Axiome des Steuermannes und funktionelle Gleichungen sind:

• Die Glaubhaftigkeit eines Vorschlags bestimmt die Glaubhaftigkeit der Ablehnung des Vorschlags; jeder Abnahmen als die anderen Zunahmen. Weil "eine doppelte Verneinung eine Bestätigung ist" wird das eine funktionelle Gleichung

:saying, dass die Funktion f, der die Wahrscheinlichkeit eines Vorschlags zur Wahrscheinlichkeit der Ablehnung des Vorschlags kartografisch darstellt, eine Involution ist, d. h., ist es sein eigenes Gegenteil.

• Die Glaubhaftigkeit der Verbindung [A & B] von zwei Vorschlägen A, B, hängt nur von der Glaubhaftigkeit von B und diesem ab vorausgesetzt, dass B wahr ist. (Von diesem Cox leitet schließlich diese Verbindung der Glaubhaftigkeit ab, ist und dann assoziativ, dass es ebenso gewöhnliche Multiplikation von reellen Zahlen sein kann.) Wegen der assoziativen Natur "und" Operation in der Satzlogik wird das eine funktionelle Gleichung, dass die Funktion g solch dass sagend

:is eine assoziative binäre Operation. Alle ausschließlich zunehmenden assoziativen binären Operationen auf den reellen Zahlen sind zur Multiplikation von Zahlen im Zwischenraum [0, 1] isomorph. Diese Funktion kann deshalb genommen werden, um Multiplikation zu sein.

• Denken Sie [A & B] ist zu [C & D] gleichwertig. Wenn wir neue Information A erwerben und dann weitere neue Information B erwerben, und alle Wahrscheinlichkeiten jedes Mal aktualisieren, werden die aktualisierten Wahrscheinlichkeiten dasselbe sein, als ob wir zuerst neue Information C erworben und dann weitere neue Information D erworben hatten. Im Hinblick auf die Tatsache, dass die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten genommen werden kann, um gewöhnliche Multiplikation von reellen Zahlen zu sein, wird das eine funktionelle Gleichung

:where f ist als oben.

Der Lehrsatz des Steuermannes deutet an, dass jedes Glaubhaftigkeitsmodell, das den entspricht

Postulate sind zum subjektiven Wahrscheinlichkeitsmodell, d. h., gleichwertig

kann zum Wahrscheinlichkeitsmodell durch das Wiederschuppen umgewandelt werden.

Implikationen der Postulate des Steuermannes

Die Gesetze der von diesen Postulaten ableitbaren Wahrscheinlichkeit sind das folgende. Hier w ist (AB) die "Glaubhaftigkeit" des Vorschlags Ein gegebener B, und M ist eine positive Zahl.

1. Gewissheit wird durch w (AB) = 1 vertreten.
2. w (AB) + w (AB) = 1
3. w (A, v. Chr.) = w (AC) w (BA, C) = w (v. Chr.) w (AB, C).

Es ist wichtig zu bemerken, dass die Postulate nur diese allgemeinen Eigenschaften einbeziehen. Diese sind zu den üblichen Gesetzen der Wahrscheinlichkeit gleichwertig, die eine Vereinbarung nämlich annimmt, dass die Skala des Maßes von der Null bis eine und der Glaubhaftigkeitsfunktion ist, herkömmlich hat P oder Pr angezeigt, ist w gleich. (Wir könnten gleichwertig beschlossen haben, Wahrscheinlichkeiten von einem bis Unendlichkeit mit der Unendlichkeit zu messen, die bestimmte Lüge vertritt.) Mit dieser Vereinbarung erhalten wir die Gesetze der Wahrscheinlichkeit in einer vertrauteren Form:

1. Bestimmte Wahrheit wird von Pr (AB) = 1, und bestimmte Lüge von Pr (AB) = 0 vertreten.
2. Pr (AB) + Pr (AB) = 1
3. Pr (A, v. Chr.) = Pr (AC) Pr (BA, C) = Pr (v. Chr.) Pr (AB, C).

Regel 2 ist eine Regel für die Ablehnung, und Regel 3 ist eine Regel für die Verbindung. In Anbetracht dessen, dass jeder Vorschlag, der Verbindung, Trennung und Ablehnung enthält, mit der Verbindung und Ablehnung allein gleichwertig umformuliert werden kann (die verbindende normale Form), können wir jetzt jeden zusammengesetzten Vorschlag behandeln.

Die Gesetze haben so Ertrag begrenzte Additivität der Wahrscheinlichkeit, aber nicht zählbare Additivität abgeleitet. Die mit dem Maß theoretische Formulierung von Kolmogorov nimmt an, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß zählbar zusätzlich ist. Diese ein bisschen stärkere Bedingung ist für den Beweis von bestimmten Lehrsätzen notwendig.

Interpretation und weitere Diskussion

Der Lehrsatz des Steuermannes ist gekommen, um als eine der Rechtfertigungen für den verwendet zu werden

Gebrauch der Wahrscheinlichkeitstheorie von Bayesian. Zum Beispiel, darin ist

besprochen im Detail in Kapiteln 1 und 2 und ist ein Eckstein für den

Rest des Buches. Wahrscheinlichkeit wird als ein formelles System von interpretiert

Logik, die natürliche Erweiterung der Aristotelischen Logik (in der jeder

Behauptung ist entweder wahr oder falsch) in den Bereich des Denkens im

Anwesenheit der Unklarheit.

Es ist diskutiert worden, in welchem Maße der Lehrsatz Alternative ausschließt

Modelle, um über die Unklarheit vernünftig zu urteilen. Zum Beispiel, wenn sicher

"unintuitive" mathematische Annahmen waren dann Alternativen fallen gelassen

konnte z.B, ein von Halpern zur Verfügung gestelltes Beispiel ausgedacht werden.

Jedoch schlagen Arnborg und Sjödin zusätzlichen vor

Postulate "des gesunden Menschenverstands", die den Annahmen erlauben würden, zu sein

entspannt in einigen Fällen während, noch das Beispiel von Halpern ausschließend. Andere Annäherungen wurden von Hardy oder Dupré und Tipler ausgedacht.

Die ursprüngliche Formulierung des Lehrsatzes von Cox ist darin, der mit zusätzlichen Ergebnissen und mehr Diskussion darin erweitert wird. Jaynes zitiert Abel für den ersten bekannten Gebrauch der associativity funktionellen Gleichung. Aczél stellt einen langen Beweis "associativity Gleichung" (Seiten 256-267) zur Verfügung. Jaynes (p27) bringt den kürzeren Beweis durch Cox wieder hervor, in dem differentiability angenommen wird.

Siehe auch

• Wahrscheinlichkeitsaxiome
• Wahrscheinlichkeitslogik

Verweisungen und Außenverbindungen

1. Terrence L. Fine, Wahrscheinlichkeitsrechnungen; eine Überprüfung von Fundamenten, Akademischer Presse, New York, (1973).
2. Kevin S. Van Horn, "Eine Logik der plausiblen Schlussfolgerung bauend: ein Handbuch zum Lehrsatz von Cox", Internationale Zeitschrift des Ungefähren Denkens, des Bands 34, der Ausgabe 1, September 2003, Seiten 3-24. (Oder durch die Seite von Citeseer.)