In der Mathematik, (Deutsch für das 'Entscheidungsproblem') ist eine Herausforderung, die von David Hilbert 1928 aufgestellt ist. Das Fragen nach einem Algorithmus, der als Eingang eine Behauptung einer Logik der ersten Ordnung (vielleicht mit einer begrenzten Zahl von Axiomen außer den üblichen Axiomen der Logik der ersten Ordnung) nimmt und auf "Ja" oder "Nein" gemäß antwortet, ob die Behauptung allgemein gültig, d. h., in jeder Struktur gültig ist, die die Axiome befriedigt. Durch den Vollständigkeitslehrsatz der Logik der ersten Ordnung ist eine Behauptung allgemein gültig, wenn, und nur wenn es aus den Axiomen, so die Dose abgeleitet werden kann, auch als das Bitten um einen Algorithmus angesehen werden, um zu entscheiden, ob eine gegebene Behauptung von den Axiomen mit den Regeln der Logik nachweisbar ist.

1936 und hat 1937, Kirche von Alonzo und Alan Turing beziehungsweise unabhängige Papiere veröffentlicht zeigend, dass eine allgemeine Lösung von Entscheidungsproblem unmöglich ist. Wie man jetzt bekannt, ist dieses Ergebnis als der Lehrsatz der Kirche oder der Kirch-Turing-Lehrsatz (mit der Kirch-Turing-These nicht verwirrt).

Geschichte des Problems

Der Ursprung geht zurück Gottfried Leibniz, der im siebzehnten Jahrhundert, eine erfolgreiche mechanische Rechenmaschine gebaut, davon geträumt hat, eine Maschine zu bauen, die Symbole manipulieren konnte, um die Wahrheitswerte mathematischer Behauptungen zu bestimmen (Davis 2000: Seiten 3-20). Er hat begriffen, dass der erste Schritt eine saubere formelle Sprache würde sein müssen, und viel von seiner nachfolgenden Arbeit zu dieser Absicht geleitet wurde. 1928 haben David Hilbert und Wilhelm Ackermann die Frage in der Form gestellt, die oben entworfen ist.

In der Verlängerung seines "Programms", mit dem er die Mathematik-Gemeinschaft 1900, in 1928 internationale Konferenz herausgefordert hat, die David Hilbert drei Fragen gestellt hat, von denen die dritte bekannt als "Hilbert's" geworden ist (Hodges p. 91). Erst 1930 er hat geglaubt, dass es kein solches Ding wie ein unlösbares Problem geben würde (Hodges p. 92, aus Hilbert zitierend).

Negative Antwort

Bevor auf die Frage geantwortet werden konnte, musste der Begriff "des Algorithmus" formell definiert werden. Das wurde von Alonzo Church 1936 mit dem Konzept der "wirksamen Berechenbarkeit getan, die" auf seiner λ Rechnung und von Alan Turing in demselben Jahr mit seinem Konzept von Maschinen von Turing gestützt ist. Es wurde sofort von Turing anerkannt, dass das gleichwertige Modelle der Berechnung sind.

Die negative Antwort darauf, dann gegeben von Alonzo Church in 1935-36 und unabhängig kurz danach durch Alan Turing in 1936-37 zu sein. Church hat bewiesen, dass es keine berechenbare Funktion gibt, die für zwei gegebene λ Rechnungsausdrücke entscheidet, ob sie gleichwertig sind oder nicht. Er hat sich schwer auf die frühere Arbeit von Stephen Kleene verlassen. Turing hat das stockende Problem für Maschinen von Turing zu reduziert. Die Arbeit von beiden Autoren war schwer unter Einfluss der früheren Arbeit von Kurt Gödel an seinem Unvollständigkeitslehrsatz besonders durch die Methode, Zahlen (ein Gödel zuzuteilen, der numeriert) zu logischen Formeln, um Logik auf die Arithmetik zu reduzieren.

Das Argument von Turing ist wie folgt. Nehmen Sie an, dass wir einen allgemeinen Entscheidungsalgorithmus für Behauptungen auf einer Sprache der ersten Ordnung hatten. Die Frage, ob eine gegebene Maschine von Turing hinkt oder nicht als eine Behauptung der ersten Ordnung formuliert werden kann, die dann gegen den Entscheidungsalgorithmus empfindlich sein würde. Aber Turing hatte früher bewiesen, dass kein allgemeiner Algorithmus entscheiden kann, ob eine gegebene Maschine von Turing hinkt.

Mit dem zehnten Problem von Hilbert verbunden zu sein, das um einen Algorithmus bittet, um zu entscheiden, ob Gleichungen von Diophantine eine Lösung haben. Das Nichtsein solch eines Algorithmus, der von Yuri Matiyasevich 1970 gegründet ist, bezieht auch eine negative Antwort auf Entscheidungsproblem ein.

Einige Theorien der ersten Ordnung sind algorithmisch entscheidbar; Beispiele davon schließen Arithmetik von Presburger, echte geschlossene Felder und statische Typ-Systeme von (meisten) Programmiersprachen ein. Die allgemeine Theorie der ersten Ordnung der in den Axiomen von Peano ausgedrückten natürlichen Zahlen kann mit solch einem Algorithmus jedoch nicht entschieden werden.

Siehe auch

• Das zweite Problem von Hilbert
• Orakel-Maschine

Referenzen

• Kirche von Alonzo, "Ein unlösbares Problem der elementaren Zahlentheorie", amerikanische Zeitschrift der Mathematik, 58 (1936), Seiten 345-363
• Kirche von Alonzo, "Ein Zeichen auf Entscheidungsproblem", Zeitschrift der Symbolischen Logik, 1 (1936), Seiten 40-41.
• Martin Davis, 2000, Motoren der Logik, W.W. Norton & Company, London, internationale Standardbuchnummer 0-393-32229-7 pbk.
• Alan Turing, "Auf berechenbaren Zahlen, mit einer Anwendung auf Entscheidungsproblem", Verhandlungen Londons Mathematische Gesellschaft, Reihe 2, 42 (1937), Seiten 230-265. Online-Versionen: von der Zeitschriftenwebsite, von Turing Digitalarchiv, von abelard.org. Errata sind der Reihe nach 2, 43 (1937), Seiten 544-546 erschienen.
• Martin Davis, "Die Unentscheidbaren, Grundlegenden Papiere auf Unentscheidbaren Vorschlägen, Unlösbaren Problemen Und Berechenbaren Funktionen", Rabe-Presse, New York, 1965. Das Papier von Turing ist #3 in diesem Volumen. Papiere schließen diejenigen durch Godel, Kirche, Rosser, Kleene und Posten ein.
• Andrew Hodges, Alan Turing: Das Mysterium, Simon und Schuster, New York, 1983. Die Lebensbeschreibung von Alan M. Turing. Vgl Kapitel "Der Geist der Wahrheit" für eine Geschichte führend, und eine Diskussion, sein Beweis.
• Toulmin, Stephen, "Fall eines Genies", eine Buchbesprechung von "Alan Turing: Das Mysterium durch Andrew Hodges", in Der New Yorker Rezension von Büchern, am 19. Januar 1984, p. 3ff.
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell, Principia Mathematica zu *56, Cambridge an der Universitätspresse, 1962. Re: Das Problem von Paradoxen, die Autoren besprechen das Problem eines Satzes nicht, ein Gegenstand in einigen seiner "bestimmenden Funktionen", in der besonderen "Einführung, Jungen zu sein. 1 p. 24 "... Schwierigkeiten, die in der formalen Logik" und dem Jungen entstehen. 2. I. "Der Teufelskreis-Grundsatz" p. 37ff, und Junge. 2. VIII. "Die Widersprüche" p. 60 ff.