Eine Korrelationsfunktion ist die Korrelation zwischen zufälligen Variablen an zwei verschiedenen Punkten im Raum oder Zeit gewöhnlich als eine Funktion der räumlichen oder zeitlichen Entfernung zwischen den Punkten. Wenn man die Korrelationsfunktion zwischen zufälligen Variablen denkt, die dieselbe Menge gemessen an zwei verschiedenen Punkten dann vertreten, wird das häufig eine Autokorrelationsfunktion genannt, die aus Autokorrelationen wird zusammensetzt. Korrelationsfunktionen von verschiedenen zufälligen Variablen werden manchmal böse Korrelationsfunktionen genannt zu betonen, dass verschiedene Variablen betrachtet werden, und weil sie aus bösen Korrelationen zusammengesetzt werden.

Korrelationsfunktionen sind ein nützlicher Hinweis von Abhängigkeiten als eine Funktion der Entfernung rechtzeitig oder des Raums, und sie können verwendet werden, um die Entfernung zu bewerten, die zwischen Beispielpunkten für die Werte erforderlich ist, effektiv unkorreliert zu sein. Außerdem können sie die Basis von Regeln bilden, um Werte an Punkten zu interpolieren, für die es Beobachtungen gibt.

Korrelationsfunktionen, die in der Astronomie, Finanzanalyse und statistischen Mechanik verwendet sind, unterscheiden sich nur in den besonderen stochastischen Prozessen, auf die sie angewandt werden. In der Quant-Feldtheorie gibt es Korrelationsfunktionen über den Quant-Vertrieb.

Definition

Für zufällige Variablen X (s) und X (t) an verschiedenen Punkten s und t von einem Raum ist die Korrelationsfunktion

wo im Artikel über die Korrelation beschrieben wird. In dieser Definition ist es angenommen worden, dass die stochastische Variable skalargeschätzt wird. Wenn es nicht ist, dann können mehr komplizierte Korrelationsfunktionen definiert werden. Zum Beispiel, wenn man einen Vektoren X (s) hat, dann kann man die Matrix von Korrelationsfunktionen definieren

oder ein Skalar, der die Spur dieser Matrix ist. Wenn der Wahrscheinlichkeitsvertrieb einen Zielraum symmetries hat, d. h. symmetries im Raum von der stochastischen Variable (auch inneren symmetries genannt hat), dann wird die Korrelationsmatrix symmetries veranlasst haben. Wenn es symmetries des Raums gibt (oder Zeit), in dem die zufälligen Variablen (auch genannt Raum-Zeit symmetries) dann bestehen, wird die Korrelationsmatrix spezielle Eigenschaften haben. Beispiele der wichtigen Raum-Zeit symmetries sind -

• Übersetzungssymmetrie gibt C (s, s) = C nach (s − s) wo s und s als Vektoren interpretiert werden sollen, die Koordinaten der Punkte geben
• die Rotationssymmetrie zusätzlich zum obengenannten gibt C (s, s) = C (s − s) wo x die Norm des Vektoren x anzeigt (für wirkliche Folgen, ist das das Euklidische oder der 2-Normen-).

n ist

Wenn die zufällige Variable nur einen Bestandteil hat, dann sind die Indizes überflüssig. Wenn es symmetries gibt, dann kann die Korrelationsfunktion in nicht zu vereinfachende Darstellungen des symmetries - sowohl inner als auch Raum-Zeit-zerbrochen werden.

Vom Fall von Korrelationen einer einzelnen zufälligen Variable kann als ein spezieller Fall der Autokorrelation eines stochastischen Prozesses auf einem Raum gedacht werden, der einen einzelnen Punkt enthält.

Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsvertriebs

Mit diesen Definitionen ist die Studie von Korrelationsfunktionen zur Studie des Wahrscheinlichkeitsvertriebs gleichwertig. Auf einer begrenzten Zahl von Punkten definierter Wahrscheinlichkeitsvertrieb kann immer normalisiert werden, aber wenn diese über dauernde Räume definiert werden, dann wird Extrasorge verlangt. Die Studie solchen Vertriebs hat mit der Studie von zufälligen Spaziergängen angefangen und hat zum Begriff der Rechnung von Ito geführt.

Der Feynman im Euklidischen Raum integrierte Pfad verallgemeinert das zu anderen Problemen von Interesse zur statistischen Mechanik. Jeder Wahrscheinlichkeitsvertrieb, der einer Bedingung auf Korrelationsfunktionen genannt Nachdenken positivity folgt, führt zu einer lokalen Quant-Feldtheorie nach der Docht-Folge zur Raum-Zeit von Minkowski. Die Operation der Wiedernormalisierung ist ein angegebener Satz von mappings vom Raum des Wahrscheinlichkeitsvertriebs zu sich. Eine Quant-Feldtheorie wird renormalizable genannt, wenn das kartografisch darzustellen, hat einen festen Punkt, der eine Quant-Feldtheorie gibt.

Siehe auch

• Autokorrelation
• Kovarianz-Funktion
• Produktmoment-Korrelationskoeffizient von Pearson
• Korrelationsfunktion (Astronomie)
• Korrelationsfunktion (statistische Mechanik)
• Korrelationsfunktion (Quant-Feldtheorie)
• Gegenseitige Information
• Radiale Vertriebsfunktion