In der Mathematik sind die Hochzahl von Lyapunov oder Eigenschaft-Hochzahl von Lyapunov eines dynamischen Systems eine Menge, die die Rate der Trennung unendlich klein naher Schussbahnen charakterisiert. Quantitativ weichen zwei Schussbahnen im Phase-Raum mit der anfänglichen Trennung ab (vorausgesetzt, dass die Abschweifung innerhalb der linearized Annäherung behandelt werden kann) an einer durch gegebenen Rate

wo die Hochzahl von Lyapunov ist.

Die Rate der Trennung kann für verschiedene Orientierungen des anfänglichen Trennungsvektoren verschieden sein. So gibt es ein Spektrum von Hochzahlen von Lyapunov - gleich in der Zahl zum dimensionality des Phase-Raums. Es ist üblich, das größte als die Maximale Hochzahl von Lyapunov (MLE) zu kennzeichnen, weil es einen Begriff der Voraussagbarkeit für ein dynamisches System bestimmt. Ein positiver MLE wird gewöhnlich als eine Anzeige genommen, dass das System chaotisch ist (vorausgesetzt dass einige andere Bedingungen, z.B, Phase-Raumkompaktheit entsprochen werden). Bemerken Sie, dass ein willkürlicher anfänglicher Trennungsvektor normalerweise einen Bestandteil in der Richtung enthalten wird, die mit dem MLE, und wegen der Exponentialwachstumsrate vereinigt ist, wird die Wirkung der anderen Hochzahlen mit der Zeit ausgelöscht.

Die Hochzahl wird nach Aleksandr Lyapunov genannt.

Definition der maximalen Hochzahl von Lyapunov

Die maximale Hochzahl von Lyapunov kann wie folgt definiert werden:

\frac {1} {t} \ln\frac. </math>

Die Grenze sichert die Gültigkeit der geradlinigen Annäherung

jederzeit

Definition des Spektrums von Lyapunov

Für ein dynamisches System mit der Evolutionsgleichung in einem n-dimensional Phase-Raum, dem Spektrum von Hochzahlen von Lyapunov

im Allgemeinen, hängt vom Startpunkt ab. (Jedoch werden wir uns gewöhnlich für den attractor (oder attractors) eines dynamischen Systems interessieren, und es wird normalerweise einen Satz von mit jedem attractor vereinigten Hochzahlen geben. Die Wahl des Startpunkts kann bestimmen, auf welchem attractor das System endet, wenn es mehr als einen gibt. Bemerken Sie: Systeme von Hamiltonian haben attractors nicht, so gilt diese besondere Diskussion für sie nicht.) Beschreiben die Hochzahlen von Lyapunov das Verhalten von Vektoren im Tangente-Raum des Phase-Raums und werden von der Matrix von Jacobian definiert

Die Matrix beschreibt, wie sich ein Kleingeld am Punkt zum Endpunkt fortpflanzt. Die Grenze

definiert eine Matrix (die Bedingungen für die Existenz der Grenze werden durch den Lehrsatz von Oseledec gegeben). Wenn der eigenvalues dessen sind, dann werden die Hochzahlen von Lyapunov durch definiert

Der Satz von Hochzahlen von Lyapunov wird dasselbe für fast alle Startpunkte eines ergodic Bestandteils des dynamischen Systems sein.

Hochzahl von Lyapunov für das Zeitverändern linearization

Um Hochzahl von Lyapunov einzuführen, lassen uns eine grundsätzliche Matrix denken

(z.B für linearization entlang der stationären Lösung im dauernden System ist die grundsätzliche Matrix

)

aus den geradlinig-unabhängigen Lösungen des ersten Annäherungssystems bestehend.

Die einzigartigen Werte

der Matrix sind die Quadratwurzeln des eigenvalues der Matrix.

Die größte Hochzahl von Lyapunov ist wie folgt

:

\lambda_ {max} = \max\limits_ {j }\\limsup _ {t \rightarrow \infty }\\frac {1} {t }\\ln\alpha_j\big (X (t) \big).

</Mathematik>

Vormittags hat Lyapunov bewiesen, dass, wenn das System der ersten Annäherung regelmäßig ist (z.B sind alle Systeme mit unveränderlichen und periodischen Koeffizienten regelmäßig), und seine größte Hochzahl von Lyapunov negativ ist, dann ist die Lösung des ursprünglichen Systems asymptotisch stabiler Lyapunov.

Später wurde es von O. Perron festgestellt, dass die Voraussetzung der Regelmäßigkeit der ersten Annäherung wesentlich ist.

Effekten von Perron der größten Hochzahl von Lyapunov unterzeichnen Inversion

1930 hat O. Perron ein Beispiel des Systems der zweiten Ordnung gebaut, dessen erste Annäherung negative Hochzahlen von Lyapunov entlang einer Nulllösung des ursprünglichen Systems hat, aber dabei ist diese Nulllösung des ursprünglichen nichtlinearen Systems nicht stabiler Lyapunov. Außerdem in einer bestimmten Nachbarschaft dieser Nulllösung haben fast alle Lösungen des ursprünglichen Systems positive Hochzahlen von Lyapunov. Auch es ist möglich, Rückbeispiel zu bauen, wenn die erste Annäherung positive Hochzahlen von Lyapunov entlang einer Nulllösung des ursprünglichen Systems, aber dabei dieser Nulllösung des ursprünglichen nichtlinearen Systems hat

ist stabiler Lyapunov.

Die Wirkung der Zeichen-Inversion von Hochzahlen von Lyapunov von Lösungen des ursprünglichen Systems und des Systems der ersten Annäherung mit denselben anfänglichen Daten war nachher

genannt die Wirkung von Perron.

Das Gegenbeispiel von Perron zeigt, dass größte positive Hochzahl von Lyapunov im Allgemeinen Verwirrung nicht anzeigt; ähnlich zeigt die größte negative Hochzahl von Lyapunov im Allgemeinen Stabilität nicht an.

Deshalb verlangt Zeitverändern linearization zusätzliche Rechtfertigung.

Grundlegende Eigenschaften

Wenn das System konservativ ist (d. h. es keine Verschwendung gibt), wird ein Volumen-Element des Phase-Raums dasselbe entlang einer Schussbahn bleiben. So muss die Summe aller Hochzahlen von Lyapunov Null sein. Wenn das System dissipative ist, ist die Summe von Hochzahlen von Lyapunov negativ.

Wenn das System ein Fluss ist und die Schussbahn zu einem einzelnen Punkt nicht zusammenläuft, ist eine Hochzahl immer Null - die Hochzahl von Lyapunov entsprechend dem eigenvalue mit einem Eigenvektoren in der Richtung auf den Fluss.

Bedeutung des Spektrums von Lyapunov

Das Spektrum von Lyapunov kann verwendet werden, um eine Schätzung der Rate der Wärmegewicht-Produktion zu geben

und der fractal Dimension des überlegten dynamischen Systems. Insbesondere von den Kenntnissen

des Spektrums von Lyapunov ist es möglich, die so genannte Dimension von Kaplan-Yorke zu erhalten, die wie folgt definiert wird:

wo die maximale solche ganze Zahl ist, dass die Summe der größten Hochzahlen noch nichtnegativ ist. vertritt einen für die Informationsdimension des Systems gebundenen oberen. Außerdem gibt die Summe aller positiven Hochzahlen von Lyapunov eine Schätzung des Kolmogorov-Sinai Wärmegewichtes entsprechend zum Lehrsatz von Pesin.

Das multiplicative Gegenteil der größten Hochzahl von Lyapunov wird manchmal in der Literatur als Zeit von Lyapunov verwiesen, und definiert die charakteristische E-Falte-Zeit. Für chaotische Bahnen wird die Zeit von Lyapunov begrenzt sein, wohingegen für regelmäßige Bahnen es unendlich sein wird.

Numerische Berechnung

Allgemein kann die Berechnung von Hochzahlen von Lyapunov, wie definiert, oben, nicht analytisch ausgeführt werden, und in den meisten Fällen muss man numerische Techniken aufsuchen. Ein frühes Beispiel, das auch die erste Demonstration der Exponentialabschweifung von chaotischen Schussbahnen eingesetzt hat, wurde von R. H. Miller 1964 ausgeführt. Zurzeit schätzt das meistens verwendete numerische Verfahren die Matrix, die auf der Mittelwertbildung mehrerer Annäherungen der endlichen Zeit des Grenze-Definierens gestützt ist.

Eine der am meisten verwendeten und wirksamen numerischen Techniken, um das Spektrum von Lyapunov für ein glattes dynamisches System zu berechnen, verlässt sich auf periodischen

Gramm-Schmidt orthonormalization der Vektoren von Lyapunov, um einen Fluchtungsfehler aller Vektoren entlang der Richtung der maximalen Vergrößerung zu vermeiden.

Für die Berechnung von Hochzahlen von Lyapunov von beschränkten experimentellen Angaben sind verschiedene Methoden vorgeschlagen worden. Jedoch gibt es viele Schwierigkeiten mit der Verwendung dieser Methoden, und solchen Problemen sollte mit der Sorge genähert werden.

Lokale Hochzahl von Lyapunov

Wohingegen die (globale) Hochzahl von Lyapunov ein Maß für die Gesamtvoraussagbarkeit eines Systems gibt, ist es manchmal interessant, die lokale Voraussagbarkeit um einen Punkt x im Phase-Raum zu schätzen. Das kann durch den eigenvalues der Matrix von Jacobian J (x) getan werden. Diese eigenvalues werden auch lokale Hochzahlen von Lyapunov genannt. (Ein Wort der Verwarnung: Verschieden von den globalen Hochzahlen sind diese lokalen Hochzahlen nicht invariant unter einer nichtlinearen Änderung von Koordinaten.)

Bedingte Hochzahl von Lyapunov

Dieser Begriff wird normalerweise in Rücksichten auf die Synchronisation der Verwirrung gebraucht, in der es zwei Systeme gibt, die gewöhnlich auf eine Einrichtungsweise verbunden werden, so dass es einen Laufwerk (oder Master) System und eine Antwort (oder Sklave) System gibt. Die bedingten Hochzahlen sind diejenigen des Ansprechsystems mit dem Laufwerk-System haben als einfach die Quelle eines (chaotischen) Laufwerk-Signals behandelt. Synchronisation kommt vor, wenn alle bedingten Hochzahlen negativ sind.

Siehe auch

• Aleksandr Lyapunov
• Lehrsatz von Oseledec
• Der Lehrsatz von Liouville (Hamiltonian)
• Theorie von Floquet
• Wiederauftreten-Quantifizierungsanalyse
• Chaotisch mixing#Lyapunov Hochzahlen für eine alternative Abstammung.

Weiterführende Literatur

• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Gerber G. und Vattay G.Chaos: Klassisch und Institut von Quantum Niels Bohr, Kopenhagen 2005 - Lehrbuch über die Verwirrung, die laut der Freien Dokumentationslizenz verfügbar

Software

• http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~tisean/Tisean_3.0.1/index.html R. Hegger, H. Kantz, und T. Schreiber, Nichtlineare Zeitreihe-Analyse, TISEAN 3.0.1 (März 2007).
• http://www.Scientio.com/Products/ChaosKit berechnet das Produkt von ChaosKit von Scientio Hochzahlen von Lyapunov unter anderen Chaotischen Maßnahmen. Zugang wird online über einen Webdienst und Demo von Silverlight zur Verfügung gestellt.
• [ftp://ftp2.sco.com/pub/skunkware/src/x11/misc/mathrec-1.1c.tar.gz] schließt das mathematische Unterhaltungssoftwarelaboratorium von Dr Ronald Joe Record einen X11 grafischen Kunden, lyap ein, für die Hochzahlen von Lyapunov einer erzwungenen logistischen Karte und anderer Karten des Einheitszwischenraums grafisch zu erforschen. [ftp://ftp2.sco.com/pub/skunkware/src/x11/misc/mathrec-1.1c/ReadMe.html sind Inhalt und manuelle Seiten] des mathrec Softwarelaboratoriums auch verfügbar.
• http://inls.ucsd.edu/~pbryant/ Auf dieser Webseite ist Software genannt LyapOde, der Quellcode einschließt, der in "C" für die Berechnung von Hochzahlen von Lyapunov geschrieben ist, wenn die Differenzialgleichungen bekannt sind. Es kann auch die bedingten Hochzahlen von Lyapunov für verbundene identische Systeme berechnen. Die Software kann kompiliert werden, um auf Windows, Mac oder Linux/Unix Systemen zu laufen. Es schließt die Gleichungen für mehrere Systeme (Lorenz, Rossler, usw.) und Dokumentation darauf ein, wie man schafft und Software für zusätzliche Systeme der Wahl des Benutzers kompiliert. Die Software läuft in einem Textfenster und hat keine Grafikfähigkeiten, aber es ist effizient und hat keine innewohnenden Beschränkungen auf die Zahl von Variablen usw. Es verwendet das QR Zerlegungserfahren von Eckmann und Ruelle (Rezensionen der Modernen Physik, Vol. 57, Nr. 3, Part1, (1985), 617).

Links

• Effekten von Perron der Hochzahl von Lyapunov unterzeichnen Inversionen