In der Mathematik, der Macht-Satz (oder powerset) jedes Satzes S, schriftlich, P (S), ℘ (S) oder 2, ist der Satz aller Teilmengen von S, einschließlich des leeren Satzes und S selbst. In der axiomatischen Mengenlehre (wie entwickelt, zum Beispiel, in den ZFC Axiomen), wird die Existenz des Macht-Satzes jedes Satzes durch das Axiom des Macht-Satzes verlangt.

Jede Teilmenge dessen wird eine Familie von Sätzen über S genannt.

Beispiel

Wenn S der Satz {x, y, z} ist, dann sind die Teilmengen von S:

• {} (auch angezeigt, der leere Satz)
• {x}
• {y }\
• {z }\
• {x, y }\
• {x, z }\
• {y, z }\
• {x, y, z }\

und folglich ist der Macht-Satz dessen

Eigenschaften

Wenn S ein begrenzter Satz mit |S = n Elemente ist, dann ist die Zahl von Teilmengen von S. Diese Tatsache, die die Motivation für die Notation 2 ist, kann durch ein einfaches induktives Argument demonstriert werden, das die kombinatorische Struktur des Satzes der Macht illuminiert:

:If n ist Null, dann ist S der leere Satz, der genau Teilmenge (nämlich selbst) hat. Sonst ist n eine positive Zahl, in welchem Fall man jedes Element x S auswählen und die Teilmengen von S selbst in Paare aufnehmen kann, die ausgenommen dessen identisch sind, schließt x nicht ein und tut. So würde das Entfernen x von S auf einen neuen Satz hinauslaufen, dessen eigenen powerset — jeder enthaltend, und nichts anderes — genau Hälfte der Größe ist. Man kann S ansehen, der als vom leeren Satz bis aufeinander folgende Wiederherstellung von jedem seiner n Elemente worden ist aufbaut, und während solch eines Aufbaus erlebt der Macht-Satz n doublings in der Größe. Folglich.

Das diagonale Argument des Kantoren zeigt, dass der Macht-Satz eines Satzes (entweder unendlich oder nicht) immer ausschließlich höher cardinality hat als der Satz selbst (informell, muss der Macht-Satz größer sein als der ursprüngliche Satz). Insbesondere der Lehrsatz des Kantoren zeigt, dass der Macht-Satz eines zählbar unendlichen Satzes unzählbar unendlich ist. Zum Beispiel kann der Macht-Satz des Satzes von natürlichen Zahlen in einer isomorphen Ähnlichkeit mit dem Satz von reellen Zahlen gestellt werden (sieh cardinality des Kontinuums).

Der Macht-Satz eines Satzes S, zusammen mit den Operationen der Vereinigung, Kreuzung und Ergänzung kann als das archetypische Beispiel einer Algebra von Boolean angesehen werden. Tatsächlich kann man zeigen, dass jede begrenzte Algebra von Boolean zur Algebra von Boolean des Macht-Satzes eines begrenzten Satzes isomorph ist. Für unendliche Algebra von Boolean ist das nicht mehr wahr, aber jede unendliche Algebra von Boolean kann vertreten werden, weil eine Subalgebra einer Macht Algebra von Boolean gesetzt hat (sieh den Darstellungslehrsatz des Steins).

Der Macht-Satz eines Satzes S bildet eine Gruppe von Abelian, wenn betrachtet, mit der Operation des symmetrischen Unterschieds (mit dem leeren Satz als das Identitätselement und jeder Satz, der sein eigenes Gegenteil ist) und ein auswechselbarer monoid, wenn betrachtet, mit der Operation der Kreuzung. Es kann folglich gezeigt werden (durch den Beweis der verteilenden Gesetze), dass die Macht gesetzt überlegt zusammen mit beiden dieser Operationen einen Ring von Boolean bildet.

Das Darstellen von Teilmengen als Funktionen

In der Mengenlehre, X ist der Satz aller Funktionen von Y bis X. Als "2" kann als {0,1} definiert werden (sieh natürliche Zahl), 2 (d. h., {0,1}) ist der Satz aller Funktionen von S bis {0,1}. Indem wir eine Funktion in 2 mit dem entsprechenden Vorimage 1 identifizieren, sehen wir, dass es eine Bijektion zwischen 2 gibt und, wo jede Funktion die charakteristische Funktion der Teilmenge darin ist, mit dem es identifiziert wird. Folglich 2 und konnte identisch gesetzt theoretisch betrachtet werden. (So gibt es zwei verschiedene notational Motivationen, für die Macht anzuzeigen, die durch 2 gesetzt ist: Die Tatsache, dass diese Funktionsdarstellung von Teilmengen es einen speziellen Fall der X Notation und des Eigentums macht, das oben, das |2 = 2 erwähnt ist.)

Dieser Begriff kann auf das Beispiel oben angewandt werden, in dem man den Isomorphismus mit den Binärzahlen sieht

von 0 bis 21 mit n die Zahl der Elemente im Satz zu sein.

In S zeigt 1 in der Position entsprechend der Position im Satz die Anwesenheit des an

Element. So {x, y} = 110.

Für den ganzen Macht-Satz von S kommen wir:

• {} = 000 (Dualzahl) = 0 (Dezimalzahl)
• {x} = 100 = 4
• {y} = 010 = 2
• {z} = 001 = 1
• {x, y} = 110 = 6
• {x, z} = 101 = 5
• {y, z} = 011 = 3
• {x, y, z} = 111 = 7

Beziehung zum binomischen Lehrsatz

Der Macht-Satz ist nah mit dem binomischen Lehrsatz verbunden. Die Zahl von Sätzen mit Elementen im Macht-Satz eines Satzes mit Elementen wird eine Kombination sein auch hat einen binomischen Koeffizienten genannt.

Zum Beispiel der Macht-Satz eines Satzes mit drei Elementen, hat:

• Satz mit 0 Elementen
• Sätze mit 1 Element
• Sätze mit 2 Elementen
• Satz mit 3 Elementen.

Algorithmen

Wenn ein begrenzter Satz ist, gibt es einen rekursiven Algorithmus, um zu rechnen.

Definieren Sie die Operation

In Englisch, kehren Sie zurück der Satz mit dem zu jedem hinzugefügten Element hat eingesetzt.

• Wenn, dann zurückgegeben wird.
• Sonst:

:*Let, jedes einzelne Element dessen sein.

:*Let, wo '' die Verhältnisergänzung darin anzeigt.

:*And das Ergebnis: Wird zurückgegeben.

Mit anderen Worten ist der Macht-Satz des leeren Satzes der Satz, der den leeren Satz enthält, und der Macht-Satz jedes anderen Satzes ist alle Teilmengen des Satzes, der ein spezifisches Element und alle Teilmengen des Satzes nicht enthält, der dass spezifisches Element enthält.

Es gibt andere effizientere Weisen, den Macht-Satz zu berechnen. Verwenden Sie zum Beispiel eine Liste der n Elemente von S, um zu befestigen, von den Bit-Positionen von N-Bit-Zahlen zu jenen Elementen kartografisch darzustellen; dann mit einer einfachen Schleife bohrt alle 2 Zahlen durch, die mit n Bit wiederpräsentabel sind, und für jeden tragen die Teilmenge von S entsprechend den Bit bei, die (auf 1) in der Zahl gesetzt werden. Wenn n die Wortlänge des Computers, normalerweise 64 in modernen Zentraleinheiten überschreitet, aber größer in modernem GPUs wird die Darstellung durch das Verwenden einer Reihe von Wörtern statt eines einzelnen Wortes natürlich erweitert.

Teilmengen von beschränktem cardinality

Der Satz von Teilmengen von S von cardinality weniger als κ wird durch angezeigt oder

Topologization der Macht gehen unter

Seitdem jede Familie von Funktionen X von Y bis X topologized das Herstellen des so genannten Funktionsraums sein könnte, kann dasselbe mit dem Macht-Satz 2 identifizierte als {0,1} getan werden. Dieser besondere Typ des Funktionsraums wird häufig einen Hyperraum genannt, und die Topologie auf dem Macht-Satz wird Hypertopologie genannt.

Macht-Gegenstand

Ein Satz kann als eine Algebra betrachtet werden, die keine nichttrivialen Operationen hat oder Gleichungen definiert. Von dieser Perspektive die Idee vom Macht-Satz X weil verallgemeinert der Satz von Teilmengen X natürlich zu den Subalgebra einer algebraischen Struktur oder der Algebra.

Jetzt ist der Macht-Satz eines Satzes, wenn bestellt, durch die Einschließung, immer eine ganze Atomalgebra von Boolean, und jede ganze Atomalgebra von Boolean entsteht als das Gitter aller Teilmengen von einem Satz. Die Generalisation zu willkürlichen Algebra besteht darin, dass der Satz von Subalgebra einer Algebra, die wieder durch die Einschließung bestellt ist, immer ein algebraisches Gitter ist, und jedes algebraische Gitter als das Gitter von Subalgebra von einer Algebra entsteht. So in dieser Rücksicht benehmen sich Subalgebra analog zu Teilmengen.

Jedoch gibt es zwei wichtige Eigenschaften von Teilmengen, die zu Subalgebra im Allgemeinen nicht vortragen. Erstens, obwohl die Teilmengen eines Satzes einen Satz (sowie ein Gitter) in einigen Klassen bilden, kann es nicht möglich sein, die Subalgebra einer Algebra als selbst eine Algebra in dieser Klasse zu organisieren, obwohl sie immer als ein Gitter organisiert werden können. Zweitens, wohingegen die Teilmengen eines Satzes in der Bijektion mit den Funktionen von diesem Satz bis den Satz {0,1} = 2 sind, gibt es keine Garantie, dass eine Klasse von Algebra eine Algebra enthält, die die Rolle 2 auf diese Weise spielen kann.

Bestimmte Klassen von Algebra genießen beide dieser Eigenschaften. Das erste Eigentum, ist der Fall davon üblicher, zu haben, beide sind relativ selten. Eine Klasse, die wirklich beide hat, ist die von Mehrgraphen. In Anbetracht zwei Mehrgraphen G und H, ein Homomorphismus h: G  besteht H aus zwei Funktionen, kartografisch darstellenden Scheitelpunkten zu Scheitelpunkten und den anderen kartografisch darstellenden Rändern zu Rändern. Der Satz H des Homomorphismus von G bis H kann dann als der Graph organisiert werden, dessen Scheitelpunkte und Ränder beziehungsweise der Scheitelpunkt und die Rand-Funktionen sind, die in diesem Satz erscheinen. Außerdem sind die Subgraphen eines Mehrgraphen G in der Bijektion mit dem Graph-Homomorphismus von G bis den Mehrgraphen Ω definierbar als der ganze geleitete Graph auf zwei Scheitelpunkten (folglich vier Ränder, nämlich zwei Selbstschleifen und noch zwei Ränder, die einen Zyklus bilden) vermehrt mit einem fünften Rand, nämlich eine zweite Selbstschleife an einem der Scheitelpunkte. Wir können deshalb die Subgraphen von G als der Mehrgraph Ω, genannt den Macht-Gegenstand von G. organisieren

Was über einen Mehrgraphen speziell ist, wie eine Algebra ist, dass seine Operationen unär sind. Ein Mehrgraph hat zwei Sorten von Elementen, die einen Satz V von Scheitelpunkten und E von Rändern bilden, und hat zwei unäre Operationen s, t: E  das V Geben der Quelle (Anfang) und Ziel (Ende) Scheitelpunkte jedes Randes. Eine Algebra alle sind dessen Operationen unär, wird ein Vorbündel genannt. Jede Klasse von Vorbündeln enthält ein Vorbündel Ω, der die Rolle für Subalgebra dass 2 Spiele für Teilmengen spielt. Solch eine Klasse ist ein spezieller Fall des allgemeineren Begriffs von elementarem topos als eine Kategorie, die (und außerdem kartesianisch geschlossen) geschlossen wird und einen Gegenstand Ω, genannt einen Subgegenstand classifier hat. Obwohl der Begriff "Macht--Gegenstand" manchmal synonymisch mit dem Exponentialgegenstand Y gebraucht wird, in der topos Theorie Y ist erforderlich, Ω zu sein.

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