In der Mathematik ist sinnlose Topologie (hat auch pointfree Topologie ohne Punkte genannt), eine Annäherung an die Topologie, die vermeidet, Punkte zu erwähnen. Der Name 'sinnlose Topologie' ist wegen John von Neumanns. Die Ideen von der sinnlosen Topologie sind nah mit mereotopologies verbunden, in dem Gebiete (Sätze) als foundational ohne ausführliche Verweisung auf zu Grunde liegende Punkt-Sätze behandelt werden.

Gesamtkonzepte

Traditionell besteht ein topologischer Raum aus einer Reihe von Punkten zusammen mit einem System von offenen Sätzen. Diese offenen Sätze mit den Operationen der Kreuzung und Vereinigung bilden ein Gitter mit bestimmten Eigenschaften. Sinnlose Topologie studiert dann Gitter wie diese abstrakt ohne Berücksichtigung jedes zu Grunde liegenden Satzes von Punkten. Seit etwas so - definierte Gitter entstehen aus topologischen Räumen nicht, man kann die Kategorie von sinnlosen topologischen Räumen, auch genannt Schauplätze als eine Erweiterung der Kategorie von gewöhnlichen topologischen Räumen sehen.

Kategorien von Rahmen und Schauplätzen

Formell wird ein Rahmen definiert, um ein Gitter L zu sein, in dem sich begrenzt trifft, verteilen über willkürliche Verbindungslinien, d. h. jeden (sogar unendlich) Teilmenge L hat ein Supremum a solch dass

für den ganzen b in L. Diese Rahmen, zusammen mit dem Gitter-Homomorphismus, der willkürlichen suprema respektiert, bilden eine Kategorie. Die Doppel-von der Kategorie von Rahmen wird die Kategorie von Schauplätzen genannt und verallgemeinert die Kategorie-Spitze aller topologischen Räume mit dauernden Funktionen. Die Rücksicht der Doppelkategorie wird durch die Tatsache motiviert, dass jede dauernde Karte zwischen topologischen Räumen X und Y eine Karte zwischen den Gittern von offenen Sätzen in der entgegengesetzten Richtung bezüglich jeder dauernden Funktion f veranlasst: X → Y und jeder offene Satz O in Y ist das umgekehrte Image f (O) ein offener Satz in X.

Beziehung, um Topologie Punkt zu-setzen

Es ist möglich, die meisten Konzepte der Topologie der Punkt-gesetzten in den Zusammenhang von Schauplätzen zu übersetzen, und analoge Lehrsätze zu beweisen. Während viele wichtige Lehrsätze in der Topologie der Punkt-gesetzten das Axiom der Wahl verlangen, ist das für einige ihrer Entsprechungen in der Schauplatz-Theorie nicht wahr. Das kann nützlich sein, wenn man in einem topos arbeitet, der das Axiom der Wahl nicht hat.

Das Konzept des "Produktes von Schauplätzen" weicht ein bisschen vom Konzept des "Produktes von topologischen Räumen" ab, und diese Abschweifung ist einen Nachteil der Schauplatz-Annäherung genannt worden.

Andere behaupten, dass das Schauplatz-Produkt, und Punkt zu mehreren "wünschenswerten" durch Produkte von topologischen Räumen nicht geteilten Eigenschaften natürlicher ist.

Für fast alle Räume (genauer für nüchterne Räume) haben das topologische Produkt und das localic Produkt denselben Satz von Punkten. Die Produkte unterscheiden sich darin, wie die Gleichheit zwischen Sätzen von offenen Rechtecken, der kanonischen Basis für die Produkttopologie, definiert wird: Die Gleichheit für das topologische Produkt bedeutet, dass derselbe Satz von Punkten bedeckt wird;

die Gleichheit für das localic Produkt bedeutet nachweisbare Gleichheit mit den Rahmenaxiomen. Infolgedessen können zwei offene Subschauplätze eines localic Produktes genau dieselben Punkte enthalten, ohne gleich zu sein.

Ein Punkt, wo Schauplatz-Theorie und Topologie viel stärker abweichen, ist das Konzept von Subräumen gegen Subschauplätze.

Die rationalen Zahlen haben c Subräume, aber 2 Subschauplätze. Der Beweis für die letzte Behauptung ist wegen John Isbells, und verwendet die Tatsache, dass die rationalen Zahlen c haben, nehmen viele pairwise fast (= begrenzte Kreuzung) geschlossene Subräume auseinander.

Siehe auch

• Algebra von Heyting. Ein Schauplatz ist eine ganze Algebra von Heyting.
• Details auf der Beziehung zwischen der Kategorie von topologischen Räumen und der Kategorie von Schauplätzen, einschließlich des ausführlichen Aufbaus der Dualität zwischen nüchternen Räumen und Raumschauplätzen, sollen im Artikel über die Steindualität gefunden werden.
• Geometrie ohne Punkte
• Mereology
• Mereotopology
• Stillschweigende Programmierung
• Johnstone, Peter T., 1983, "Der Punkt der sinnlosen Topologie," Meldung der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft 8 (1): 41-53.