In der Mathematik ist das Polarkoordinate-System ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt auf einem Flugzeug durch eine Entfernung von einem festen Punkt und einen Winkel von einer festen Richtung bestimmt wird.

Der feste Punkt (analog dem Ursprung eines Kartesianischen Systems) wird den Polen genannt, und der Strahl vom Pol in der festen Richtung ist die polare Achse. Die Entfernung vom Pol wird die radiale Koordinate oder den Radius genannt, und der Winkel ist die winkelige Koordinate, der polare Winkel oder der Azimut.

Geschichte

Die Konzepte des Winkels und Radius wurden bereits von alten Völkern des 1. Millenniums BCE verwendet. Der griechische Astronom und Astrologe Hipparchus (190-120 BCE) haben einen Tisch von Akkord-Funktionen geschaffen, die die Länge des Akkords für jeden Winkel geben, und es gibt Verweisungen auf seine Verwenden-Polarkoordinaten im Herstellen von Sternpositionen.

In Auf Spiralen beschreibt Archimedes die Spirale von Archimedean, eine Funktion, deren Radius vom Winkel abhängt. Die griechische Arbeit hat sich jedoch bis zu ein volles Koordinatensystem nicht ausgestreckt.

Aus dem 8. Jahrhundert CE vorwärts haben Astronomen Methoden entwickelt, um der Richtung zu Makkah (qibla) — und seiner Entfernung — von jeder Position auf der Erde näher zu kommen und sie zu berechnen. Aus dem 9. Jahrhundert vorwärts verwendeten sie kugelförmige Trigonometrie und Karte-Vorsprung-Methoden, diese Mengen genau zu bestimmen. Die Berechnung ist im Wesentlichen die Konvertierung der äquatorialen Polarkoordinaten von Mecca (d. h. seine Länge und Breite) zu seinen Polarkoordinaten (d. h. seinem qibla und Entfernung) hinsichtlich eines Systems, dessen Bezugsmeridian der große Kreis durch die gegebene Position und die Pole der Erde ist, und dessen polare Achse die Linie durch die Position und seinen antipodischen Punkt ist.

Es gibt verschiedene Rechnungen der Einführung von Polarkoordinaten als ein Teil eines formellen Koordinatensystems. Die volle Geschichte des Themas wird im Ursprung von Professor von Harvard Julian Lowell Coolidge von Polarkoordinaten beschrieben. Grégoire de Saint-Vincent und Bonaventura Cavalieri haben unabhängig die Konzepte Mitte des siebzehnten Jahrhunderts eingeführt. Saint-Vincent hat über sie privat 1625 geschrieben und hat seine Arbeit 1647 veröffentlicht, während Cavalieri seinen 1635 mit einer korrigierten Version veröffentlicht hat, die 1653 erscheint. Cavalieri hat zuerst Polarkoordinaten verwendet, um ein Problem in Zusammenhang mit dem Gebiet innerhalb einer Spirale von Archimedean zu beheben. Blaise Pascal hat nachher Polarkoordinaten verwendet, um die Länge von parabolischen Kreisbogen zu berechnen.

In der Methode von Fluxions (schriftlicher 1671, veröffentlichter 1736), hat Herr Isaac Newton die Transformationen zwischen Polarkoordinaten untersucht, die er als die "Siebente Weise gekennzeichnet hat; für Spiralen" und neun andere Koordinatensysteme. In der Zeitschrift Acta Eruditorum (1691) hat Jacob Bernoulli ein System mit einem Punkt auf einer Linie, genannt den Pol und die polare Achse beziehungsweise verwendet. Koordinaten wurden durch die Entfernung vom Pol und dem Winkel von der polaren Achse angegeben. Die Arbeit von Bernoulli hat sich bis zu die Entdeckung des Radius der Krümmung von in diesen Koordinaten ausgedrückten Kurven ausgestreckt.

Die wirklichen Begriff-Polarkoordinaten sind Gregorio Fontana zugeschrieben worden und wurden von italienischen Schriftstellern des 18. Jahrhunderts verwendet. Der Begriff ist in Englisch in der 1816-Übersetzung von George Peacock der Unterschiedlichen und Integralrechnung von Lacroix erschienen. Alexis Clairaut war erst, um an Polarkoordinaten in drei Dimensionen zu denken, und Leonhard Euler war erst, um sie wirklich zu entwickeln.

Allgemeine Vereinbarung

Die radiale Koordinate wird häufig durch r und die winkelige Koordinate durch θ oder t angezeigt.

Winkel in der polaren Notation werden allgemein entweder in Graden oder in radians (2π rad ausgedrückt gleich 360 ° zu sein). Grade werden in der Navigation, dem Vermessen und vielen angewandten Disziplinen traditionell verwendet, während radians in der Mathematik und mathematischen Physik üblicher sind.

In vielen Zusammenhängen bedeutet eine positive winkelige Koordinate, dass der Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der Achse gemessen wird.

In der mathematischen Literatur wird die polare Achse häufig horizontal und hinweisend nach rechts gezogen.

Einzigartigkeit von Polarkoordinaten

Das Hinzufügen jeder Zahl von vollen Umdrehungen (360 °) zur winkeligen Koordinate ändert die entsprechende Richtung nicht. Außerdem wird eine negative radiale Koordinate am besten als die entsprechende positive in der entgegengesetzten Richtung gemessene Entfernung interpretiert. Deshalb kann derselbe Punkt mit einer unendlichen Zahl von verschiedenen Polarkoordinaten ausgedrückt werden oder, wo n jede ganze Zahl ist. Außerdem kann der Pol selbst als (0, θ) für jeden Winkel θ ausgedrückt werden.

Wo eine einzigartige Darstellung für jeden Punkt erforderlich ist, ist es üblich, r auf nichtnegative Zahlen und θ zum Zwischenraum [0, 360 °) zu beschränken, oder (180 °, 180 °] (in radians, [0, 2π) oder ( π, π]). Man muss auch einen einzigartigen Azimut für den Pol, z.B, θ = 0 wählen.

Das Umwandeln zwischen polaren und Kartesianischen Koordinaten

Die zwei Polarkoordinaten r und der θ können zu den zwei Kartesianischen Koordinaten x und y durch das Verwenden des trigonometrischen Funktionssinus und Kosinus umgewandelt werden:

::

Die Kartesianischen Koordinaten x und y können zu Polarkoordinaten r und θ mit r  0 und θ im Zwischenraum umgewandelt werden ( π, π] durch:

: (als im Pythagoreischen Lehrsatz), und

: (wo atan2 eine allgemeine Schwankung auf der Arctangent-Funktion ist, die den Quadranten in Betracht zieht)

oder:\begin {Fälle }\

\arctan (\frac {y} {x}) & \mbox {wenn} x> 0 \\

\arctan (\frac {y} {x}) + \pi & \mbox {wenn} x

- \frac {\\Pi} {2} & \mbox {wenn} x = 0 \mbox {und} y

In Graden würde das von 180 ° bis 180 ° sein. Wenn gewünscht, ein Winkel in der Reihe [0, 2π) kann durch das Hinzufügen 2π zum Wert erhalten werden, wenn es negativ ist. Der Nullwinkel am Ursprung, wo x und y beide Null sind, ist gerade ein günstiger Wert, der häufig gewählt wird.

Der Wert von θ ist oben der Hauptwert der Funktion der komplexen Zahl arg angewandt auf x+iy, außer dass arg keinen Wert am Ursprung definiert.

Polare Gleichung einer Kurve

Die Gleichung, die eine algebraische in Polarkoordinaten ausgedrückte Kurve definiert, ist als eine polare Gleichung bekannt. In vielen Fällen kann solch eine Gleichung einfach durch das Definieren r als eine Funktion von θ angegeben werden. Die resultierende Kurve besteht dann aus Punkten der Form (r (θ), θ) und kann als der Graph der polaren Funktion r betrachtet werden.

Verschiedene Formen der Symmetrie können aus der Gleichung einer polaren Funktion r abgeleitet werden. Wenn die Kurve über das horizontale (0 °/180 °) Strahl symmetrisch sein wird, wenn es über das vertikale (90 °/270 °) Strahl symmetrisch sein wird, und wenn es Rotations-symmetrischer α gegen den Uhrzeigersinn über den Pol sein wird.

Wegen der kreisförmigen Natur des Polarkoordinate-Systems können viele Kurven durch eine ziemlich einfache polare Gleichung beschrieben werden, wohingegen ihre Kartesianische Form viel mehr kompliziert ist. Unter den am besten bekannten von diesen Kurven sind das polare hat sich, Spirale von Archimedean, lemniscate, limaçon, und Herzkurve erhoben.

Für den Kreis hat sich Linie, und polar unten erhoben, es wird verstanden, dass es keine Beschränkungen des Gebiets und der Reihe der Kurve gibt.

Kreis

Die allgemeine Gleichung für einen Kreis mit einem Zentrum an und Radius zu sein

:

Das kann auf verschiedene Weisen vereinfacht werden, um sich spezifischeren Fällen, wie die Gleichung anzupassen

:

für einen Kreis mit einem Zentrum am Pol und Radius a.

Wenn =, oder wenn der Ursprung auf dem Kreis liegt, die Gleichung wird

:.

Im allgemeinen Fall kann die Gleichung gelöst werden für, gebend

:

die Lösung mit minus das Zeichen vor der Quadratwurzel, die dieselbe Kurve gibt.

Linie

Radiale Linien (diejenigen, die den Pol durchgehen), werden durch die Gleichung vertreten

:

wo φ der Winkel der Erhebung der Linie ist; d. h. wo M der Hang der Linie im Kartesianischen Koordinatensystem ist. Die nichtradiale Linie, die die radiale Linie rechtwinklig am Punkt durchquert (r, φ) hat die Gleichung

:

Sonst festgesetzt (r, φ) ist der Punkt, in dem die Tangente den imaginären Kreis des Radius r durchschneidet.

Polar hat sich erhoben

Ein polarer hat sich erhoben ist eine berühmte mathematische Kurve, die wie eine petaled Blume aussieht, und das als eine einfache polare Gleichung, ausgedrückt werden kann

:

für jeden unveränderlichen φ (einschließlich 0). Wenn k eine ganze Zahl ist, werden diese Gleichungen einen k-petaled erzeugen hat sich erhoben, wenn k seltsam ist, oder sich ein 2k-petaled erhoben hat, wenn k gleich ist. Wenn k vernünftig ist, aber nicht eine ganze Zahl, hat sich erhoben Gestalt kann sich formen, aber mit überlappenden Blütenblättern. Bemerken Sie, dass diese Gleichungen nie ein Erheben mit 2, 6, 10, 14, usw. Blütenblätter definieren. Die Variable ein Vertreten der Länge der Blütenblätter des Erhebens.

Spirale von Archimedean