In der Geometrie ist paralleler Transport eine Weise, geometrische Daten entlang glatten Kurven in einer Sammelleitung zu transportieren. Wenn die Sammelleitung mit einer affine Verbindung ausgestattet wird (eine kovariante Ableitung oder Verbindung auf dem Tangente-Bündel), dann erlaubt diese Verbindung, Vektoren der Sammelleitung entlang Kurven zu transportieren, so dass sie parallel in Bezug auf die Verbindung bleiben. Andere Begriffe der Verbindung kommen ausgestattet mit ihren eigenen parallelen Transport-Systemen ebenso. Zum Beispiel berücksichtigt eine Verbindung von Koszul in einem Vektor-Bündel auch den parallelen Transport von Vektoren auf die ziemlich gleiche Weise als mit einer kovarianten Ableitung. Eine Verbindung von Ehresmann oder Cartan liefert ein Heben von Kurven von der Sammelleitung bis den Gesamtraum eines Hauptbündels. Von solcher Kurve, die sich hebt, kann manchmal als der parallele Transport von Bezugsrahmen gedacht werden.

Der parallele Transport für eine Verbindung liefert so einen Weg in einem Sinn, die lokale Geometrie einer Sammelleitung entlang einer Kurve bewegend: D. h. die Geometrie von nahe gelegenen Punkten zu verbinden. Es kann viele Begriffe des parallelen Transports verfügbar geben, aber eine Spezifizierung von einer - eine Weise, die Geometrie von Punkten auf einer Kurve zu verbinden - ist mit der Versorgung einer Verbindung gleichbedeutend. Tatsächlich ist der übliche Begriff der Verbindung das unendlich kleine Analogon des parallelen Transports. Oder, umgekehrt, ist paralleler Transport die lokale Verwirklichung einer Verbindung.

Da paralleler Transport eine lokale Verwirklichung der Verbindung liefert, liefert er auch eine lokale Verwirklichung der Krümmung bekannt als holonomy. Der Ambrose-Sänger-Lehrsatz macht ausführlich diese Beziehung zwischen Krümmung und holonomy.

Paralleler Transport auf einem Vektor-Bündel

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein. Lassen Sie E→M ein Vektor-Bündel mit der kovarianten Ableitung &nabla sein; und γ: I→M eine glatte Kurve, die durch einen offenen Zwischenraum I parametrisiert ist. Eine Abteilung vorwärts γ wird parallel wenn genannt

Nehmen Sie an, dass uns ein Element e &isin gegeben wird; E an P = γ (0) ∈ M, aber nicht eine Abteilung. Der parallele Transport von e vorwärts γ ist die Erweiterung von e zu einem parallelen Abschnitt X auf

Genauer, X ist die einzigartige Abteilung von E vorwärts γ solch dass

Bemerken Sie, dass in jedem gegebenen Koordinatenfleck, (1) eine gewöhnliche Differenzialgleichung mit der anfänglichen Bedingung definiert, die durch (2) gegeben ist. So versichert der Picard-Lindelöf Lehrsatz die Existenz und Einzigartigkeit der Lösung.

So die Verbindung ∇ definiert eine Weise, Elemente der Fasern entlang einer Kurve zu bewegen, und das stellt geradlinigen Isomorphismus zwischen den Fasern an Punkten entlang der Kurve zur Verfügung:

vom Vektorraum, der über &gamma liegt; (s) dazu über γ (t). Dieser Isomorphismus ist als die parallele zur Kurve vereinigte Transportkarte bekannt. Der Isomorphismus zwischen Fasern erhalten wird im Allgemeinen auf diese Weise von der Wahl der Kurve abhängen: Wenn sie Transport entlang jeder Kurve nicht dann anpassen, kann verwendet werden, um parallele Abteilungen von E über die ganze M zu definieren. Das ist nur wenn die Krümmung &nabla möglich; ist Null.

Insbesondere der parallele Transport um eine geschlossene Kurve, die an einem Punkt x anfängt, definiert einen automorphism des Tangente-Raums an x, der nicht notwendigerweise trivial ist. Der parallele Transport automorphisms definiert durch alle geschlossenen an x gestützten Kurven formt sich eine Transformationsgruppe hat die holonomy Gruppe &nabla genannt; an x. Es gibt eine nahe Beziehung zwischen dieser Gruppe und dem Wert der Krümmung ∇ an x; das ist der Inhalt des Ambrose-Sängers holonomy Lehrsatz.

Die Besserung der Verbindung vom parallelen Transport

In Anbetracht einer kovarianten Ableitung , der parallele Transport entlang einer Kurve γ wird durch die Integrierung der Bedingung erhalten. Umgekehrt, wenn ein passender Begriff des parallelen Transports verfügbar ist, dann kann eine entsprechende Verbindung durch die Unterscheidung erhalten werden. Diese Annäherung, ist im Wesentlichen, dazu erwartet; sieh. auch nimmt diese Annäherung an.

Denken Sie eine Anweisung zu jeder Kurve γ in der Sammelleitung eine Sammlung von mappings

solch dass

1. die Identitätstransformation von E.
2. Die Abhängigkeit Γ auf γ s, und t ist "glatt".

Der Begriff der Glätte in der Bedingung 3. ist etwas schwierig, unten zu befestigen (sieh die Diskussion unten des parallelen Transports in Faser-Bündeln). Insbesondere moderne Autoren wie Kobayashi und Nomizu sehen allgemein den parallelen Transport der Verbindung als kommend aus einer Verbindung in einem anderen Sinn an, wo Glätte leichter ausgedrückt wird.

Dennoch, in Anbetracht solch einer Regel für den parallelen Transport, ist es möglich, die verbundene unendlich kleine Verbindung in E wie folgt wieder zu erlangen. Lassen Sie γ seien Sie eine Differentiable-Kurve in der M mit dem anfänglichen Punkt γ (0) und anfänglicher Tangente-Vektor X = γ′ (0). Wenn V eine Abteilung von E über &gamma ist; dann lassen Sie

Das definiert die verbundene unendlich kleine Verbindung ∇ auf E. Man erlangt denselben parallelen Transport &Gamma wieder; von dieser unendlich kleinen Verbindung.

Spezieller Fall: Das Tangente-Bündel

Lassen Sie M eine glatte Sammelleitung sein. Dann unterscheidet eine Verbindung auf dem Tangente-Bündel der M, genannt eine affine Verbindung, eine Klasse von Kurven hat (affine) geodesics gerufen. Eine glatte Kurve γ: ich → M ist ein affine geodätischer, wenn transportiert vorwärts parallel ist, der ist

Die Ableitung in Bezug auf die Zeit nehmend, nimmt das die vertrautere Form an

Paralleler Transport in der Geometrie von Riemannian

In der (pseudo)-Geometrie von Riemannian ist eine metrische Verbindung jede Verbindung, deren Parallele-Transportmappings den metrischen Tensor bewahren. So ist eine metrische Verbindung jede Verbindung Γ solch dass, für irgendwelche zwei Vektoren X, Y ∈ T

Die Ableitung an t=0, der verbundene Differenzialoperator &nabla nehmend; muss eine Produktregel in Bezug auf das metrische befriedigen:

Geodesics

Wenn ∇ ist eine metrische Verbindung, dann sind die affine geodätischen der übliche geodesics der Geometrie von Riemannian und sind lokal Entfernungsminderungskurven. Bemerken Sie genauer zuerst das wenn γ: ich → M, wo ich ein offener Zwischenraum bin, ist ein geodätischer, dann ist die Norm dessen auf mir unveränderlich. Tatsächlich

Es folgt aus einer Anwendung des Lemmas von Gauss das, wenn A die Norm dann der Entfernung ist, die durch das metrische, zwischen zwei nahen Punkten auf der Kurve &gamma veranlasst ist; sagen Sie γ (t) und γ (t), wird durch gegeben

Die Formel könnte oben für Punkte nicht wahr sein, die nicht nah genug sind, seitdem sich das geodätische zum Beispiel um die Sammelleitung (z.B auf einem Bereich) einhüllen könnte.

Generalisationen

Der parallele Transport kann in der größeren Allgemeinheit für andere Typen von Verbindungen, nicht nur diejenigen definiert werden, die in einem Vektor-Bündel definiert sind. Eine Generalisation ist für Hauptverbindungen. Lassen Sie P → M, ein Hauptbündel über eine mannigfaltige M mit der Struktur sein, Liegt Gruppe G und eine Hauptverbindung ω. als im Fall von Vektor-Bündeln, eine Hauptverbindung ω auf P, definiert für jede Kurve γ in der M, kartografisch darzustellen

von der Faser über γ (s) dazu über γ (t), der ein Isomorphismus von homogenen Räumen ist: d. h. für jeden

Weitere Generalisationen des parallelen Transports sind auch möglich. Im Zusammenhang von Verbindungen von Ehresmann, wo die Verbindung von einem speziellen Begriff des "horizontalen Hebens" von Tangente-Räumen abhängt, kann man parallelen Transport über das horizontale Heben definieren. Verbindungen von Cartan sind Verbindungen von Ehresmann mit der zusätzlichen Struktur, die dem parallelen Transport erlaubt, obwohl als eine Karte zu sein, die einen bestimmten Musterraum entlang einer Kurve in der Sammelleitung "rollt". Dieses Rollen wird Entwicklung genannt.

Annäherung: Die Leiter von Schild

Parallelem Transport kann durch die Leiter von Schild, getrennt näher gekommen werden

der begrenzte Schritte entlang einer Kurve macht, und näher kommt

Levi-Civita parallelogramoids durch ungefähre Parallelogramme.

Siehe auch

• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Verbindung (Mathematik)
• Entwicklung (Differenzialgeometrie)
• Verbindung von Affine
• Kovariante Ableitung
• Geodätisch (allgemeine Relativität)
• Lügen Sie Ableitung
• Die Leiter von Schild
• Levi-Civita parallelogramoid
• ; Band 2, internationale Standardbuchnummer 0-471-15732-5.

Links

• Demo der Sphärischen Geometrie. Ein applet, der parallelen Transport von Tangente-Vektoren auf einem Bereich demonstriert.