:Elliptic-Geometrie wird auch manchmal "Geometrie von Riemannian" genannt.

Geometrie von Riemannian ist der Zweig der Differenzialgeometrie, die Sammelleitungen von Riemannian, glatte Sammelleitungen mit Riemannian metrisch, d. h. mit einem Skalarprodukt auf dem Tangente-Raum an jedem Punkt studiert, der sich glatt vom Punkt bis Punkt ändert. Das, gibt insbesondere lokale Begriffe des Winkels, Länge von Kurven, Fläche und Volumen. Von jenen einigen anderen globalen Mengen kann durch die Integrierung lokaler Beiträge abgeleitet werden.

Geometrie von Riemannian, die mit der Vision von in seinem inaugurational ausgedrücktem Bernhard Riemann hervorgebracht ist, liest Ueber sterben Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Englisch: Auf den Hypothesen, auf denen Geometrie basiert). Es ist eine sehr breite und abstrakte Generalisation der Differenzialgeometrie von Oberflächen in R. Die Entwicklung der Geometrie von Riemannian ist auf Synthese von verschiedenen Ergebnissen bezüglich der Geometrie von Oberflächen und des Verhaltens von geodesics auf ihnen mit Techniken hinausgelaufen, die auf die Studie von differentiable Sammelleitungen von höheren Dimensionen angewandt werden können. Es hat die allgemeine Relativitätstheorie von Einstein ermöglicht, hat tiefen Einfluss auf Gruppentheorie und Darstellungstheorie, sowie Analyse gemacht, und hat die Entwicklung der algebraischen und unterschiedlichen Topologie gespornt.

Einführung

Geometrie von Riemannian wurde zuerst in der Allgemeinheit von Bernhard Riemann im neunzehnten Jahrhundert vorgebracht. Es befasst sich mit einer breiten Reihe der Geometrie, deren sich metrische Eigenschaften vom Punkt bis Punkt, sowie den zwei Standardtypen von Nicht-euklidischer Geometrie, sphärischer Geometrie und Hyperbelgeometrie, sowie Euklidischer Geometrie selbst ändern.

Jede glatte Sammelleitung lässt metrischen Riemannian ein, der häufig hilft, Probleme der Differenzialtopologie zu beheben. Es dient auch als ein Zugang-Niveau für die mehr komplizierte Struktur von Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen, die (in vier Dimensionen) die Hauptgegenstände der Theorie der allgemeinen Relativität sind. Andere Generalisationen von Riemannian

Geometrie schließt Geometrie von Finsler ein und zerstäubt Räume.

Dort besteht eine nahe Analogie der Differenzialgeometrie mit der mathematischen Struktur von Defekten in regelmäßigen Kristallen.

Dislocations und Disclinations erzeugen Verdrehungen und Krümmung.

Die folgenden Artikel stellen ein nützliches einleitendes Material zur Verfügung:

• Metrischer Tensor
• Riemannian vervielfältigen
• Verbindung von Levi-Civita
• Krümmung
• Krümmungstensor
• Liste von Differenzialgeometrie-Themen
• Wörterverzeichnis von Riemannian und metrischer Geometrie

Klassische Lehrsätze in der Geometrie von Riemannian

Was folgt, ist eine unvollständige Liste der am meisten klassischen Lehrsätze in der Geometrie von Riemannian. Die Wahl wird abhängig von seiner Wichtigkeit, Schönheit und Einfachheit der Formulierung gemacht. Die meisten Ergebnisse können in der klassischen Monografie von Jeff Cheeger und D. Ebin (sieh unten) gefunden werden.

Die gegebenen Formulierungen sind davon weit, sehr genau oder am allgemeinsten zu sein.

Diese Liste wird zu denjenigen orientiert, die bereits die grundlegenden Definitionen wissen und wissen wollen, worüber diese Definitionen sind.

Allgemeine Lehrsätze

1. Gauss-Häubchen-Lehrsatz Das Integral der Krümmung von Gauss auf einer 2-dimensionalen Kompaktsammelleitung von Riemannian ist dem gleich, wo die Eigenschaft von Euler der M anzeigt. Dieser Lehrsatz hat eine Generalisation zu jeder gleich-dimensionalen Kompaktsammelleitung von Riemannian, sieh verallgemeinerten Gauss-Häubchen-Lehrsatz.
2. Nash, der Lehrsätze auch einbettet, hat Hauptsätze der Geometrie von Riemannian genannt. Sie stellen fest, dass jede Sammelleitung von Riemannian in einem Euklidischen Raum R isometrisch eingebettet werden kann.

Geometrie im großen

In allen folgenden Lehrsätzen nehmen wir etwas lokales Verhalten des Raums (gewöhnlich formulierte Verwenden-Krümmungsannahme) an, etwas Information über die globale Struktur des Raums entweder einschließlich etwas Information über den topologischen Typ der Sammelleitung oder auf dem Verhalten von Punkten in "genug großen" Entfernungen abzuleiten.

Gequetschte Schnittkrümmung

1. Bereich-Lehrsatz. Wenn M eine einfach verbundene n-dimensional Kompaktsammelleitung von Riemannian mit der Schnittkrümmung ist, die ausschließlich zwischen 1/4 und 1 dann geklemmt ist, ist M diffeomorphic zu einem Bereich.
2. Der Endlichkeitslehrsatz von Cheeger. Gegebene Konstanten C, D und V, gibt es nur begrenzt viele (bis zu diffeomorphism) n-dimensional Kompaktsammelleitungen von Riemannian mit der Schnittkrümmung, dem Diameter und dem Volumen.
3. Die fast flachen Sammelleitungen von Gromov. Es gibt einen solchen, dass, wenn eine n-dimensional Sammelleitung von Riemannian einen metrischen mit der Schnittkrümmung und dem Diameter dann hat, sein begrenzter Deckel diffeomorphic zu einer Null-Sammelleitung ist.

Schnittkrümmung ist unten gesprungen

1. Der Seelenlehrsatz von Cheeger-Gromoll. Wenn M ein Nichtkompaktganzer ist, nichtnegativ hat n-dimensional Sammelleitung von Riemannian gebogen, dann enthält M eine kompakte, völlig geodätische Subsammelleitung S solch, dass M diffeomorphic zum normalen Bündel von S ist (S, wird die Seele von M. genannt) Insbesondere wenn M ausschließlich positive Krümmung überall hat, dann ist es diffeomorphic R. G. Perelman 1994 hat einen erstaunlich eleganten/kurzen Beweis der Seelenvermutung gegeben: M ist diffeomorphic zu R, wenn es positive Krümmung an nur einem Punkt hat.
2. Der Zahl-Lehrsatz von Betti von Gromov. Es gibt einen unveränderlichen C=C (n) solch, dass, wenn M ein kompakter ist, n-dimensional Sammelleitung von Riemannian mit der positiven Schnittkrümmung dann verbunden hat, ist die Summe seiner Zahlen von Betti am grössten Teil von C.
3. Endlichkeitslehrsatz des Wäldchens-Petersen's. Gegebene Konstanten C, D und V, gibt es nur begrenzt viele homotopy Typen von n-dimensional Kompaktsammelleitungen von Riemannian mit der Schnittkrümmung, dem Diameter und dem Volumen.

Schnittkrümmung ist oben gesprungen

1. Der Cartan-Hadamard Lehrsatz stellt fest, dass eine ganze einfach verbundene SammelleitungsM von Riemannian mit der nichtpositiven Schnittkrümmung diffeomorphic zum Euklidischen RaumR^n mit n = ist, verdunkeln M über die Exponentialkarte an jedem Punkt. Es deutet an, dass irgendwelche zwei Punkte einer einfach verbundenen ganzen Sammelleitung von Riemannian mit der nichtpositiven Schnittkrümmung durch einen einzigartigen geodätischen angeschlossen werden.
2. Der geodätische Fluss jeder Kompaktsammelleitung von Riemannian mit der negativen Schnittkrümmung ist ergodic.
3. Wenn M eine ganze Sammelleitung von Riemannian mit der Schnittkrümmung ist, die oben durch einen ausschließlich negativen unveränderlichen k dann begrenzt ist, ist es ein computerunterstütztes Testen (k) Raum. Folglich ist seine grundsätzliche Gruppe Γ = π (M) hyperbolischer Gromov. Das hat viele Implikationen für die Struktur der grundsätzlichen Gruppe:

::* es wird begrenzt präsentiert;

::* das Wortproblem für Γ hat eine positive Lösung;

::* die Gruppe Γ hat begrenzte virtuelle cohomological Dimension;

::* es enthält nur begrenzt viele conjugacy Klassen von Elementen der begrenzten Ordnung;

::* die abelian Untergruppen Γ sind eigentlich zyklisch, so dass es keine Untergruppe enthält, die zu Z×Z. isomorph

ist

Krümmung von Ricci ist unten gesprungen

1. Lehrsatz von Myers. Wenn eine Kompaktsammelleitung von Riemannian positive Krümmung von Ricci dann hat, ist seine grundsätzliche Gruppe begrenzt.
2. Das Aufspalten des Lehrsatzes. Wenn eine ganze n-dimensional Sammelleitung von Riemannian nichtnegative Krümmung von Ricci und eine Gerade hat (d. h. ein geodätischer, der Entfernung auf jedem Zwischenraum minimiert) dann, ist es zu einem direkten Produkt der echten Linie und eines ganzen (n-1) - dimensionale Sammelleitung von Riemannian isometrisch, die nichtnegative Krümmung von Ricci hat.
3. Ungleichheit des Bischofs-Gromov. Das Volumen eines metrischen Balls des Radius r in einer ganzen n-dimensional Sammelleitung von Riemannian mit der positiven Krümmung von Ricci hat Volumen höchstens dieses des Volumens eines Balls desselben Radius r im Euklidischen Raum.
4. Der Kompaktheitslehrsatz von Gromov. Der Satz aller Sammelleitungen von Riemannian mit der positiven Krümmung von Ricci und dem Diameter am grössten Teil von D ist im Gromov-Hausdorff metrischen vorkompakt.

Negative Ricci Krümmung

1. Die Isometrie-Gruppe einer Kompaktsammelleitung von Riemannian mit der negativen Krümmung von Ricci ist getrennt.
2. Jede glatte Sammelleitung der Dimension lässt mit der negativen Krümmung von Ricci metrischen Riemannian ein. (Das ist für Oberflächen nicht wahr.)

Positive Skalarkrümmung

1. Der n-dimensional Ring lässt keinen metrischen mit der positiven Skalarkrümmung zu.
2. Wenn der injectivity Radius einer n-dimensional Kompaktsammelleitung von Riemannian dann die durchschnittliche Skalarkrümmung ist, ist am grössten Teil von n (n-1).

Siehe auch

• Gestalt des Weltalls
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Normale Koordinaten
• Geometrie von Systolic
• Geometrie von Riemann-Cartan in der Theorie von Einstein-Cartan (Motivation)

Literatur

Bücher

• . (Stellt eine historische Rezension und Überblick einschließlich Hunderte von Verweisungen zur Verfügung.)
• ; Revidierter Nachdruck von ursprünglichem 1975.

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Papiere

Links