In der Mathematik ist ein einzigartiges factorization Gebiet (UFD), grob das Sprechen, ein Ersatzring, in dem jedes Element, mit speziellen Ausnahmen, als ein Produkt von Hauptelementen (oder nicht zu vereinfachenden Elementen), analog dem Hauptsatz der Arithmetik für die ganzen Zahlen einzigartig geschrieben werden kann. UFDs werden manchmal Factorial-Ringe im Anschluss an die Fachsprache von Bourbaki genannt.

Bemerken Sie, dass einzigartige factorization Gebiete in der folgenden Kette von Klasseneinschließungen erscheinen:

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder

Definition

Formell wird ein einzigartiges factorization Gebiet definiert, um ein integriertes Gebiet R zu sein, in dem jede Nichtnull und Nichteinheit x R als ein Produkt (einschließlich eines leeren Produktes) von nicht zu vereinfachenden Elementen p von R und einer Einheit u geschrieben werden können:

:x = u p p... p mit

und diese Darstellung ist im folgenden Sinn einzigartig:

Wenn q..., q nicht zu vereinfachende Elemente von R sind und w eine solche Einheit dass ist

:x = w q q... q mit

dann besteht M = n und dort eine bijektive Karte φ: {1..., n} {1..., M} solch, dass p zu q weil ich &isin vereinigt wird; {1..., n}.

Der Einzigartigkeitsteil ist gewöhnlich hart nachzuprüfen, der ist, warum die folgende gleichwertige Definition nützlich ist:

Einzigartiges factorization Gebiet von:A ist ein integriertes Gebiet R, in dem jedes Nichtnullelement als ein Produkt einer Einheit und Hauptelemente von R geschrieben werden kann.

Beispiele

Die meisten von der elementaren Mathematik vertrauten Ringe sind UFDs:

• Alle idealen Hauptgebiete, folglich alle Euklidischen Gebiete, sind UFDs. Insbesondere die ganzen Zahlen (sehen auch Hauptsatz der Arithmetik), die ganzen Zahlen von Gaussian und die ganzen Zahlen von Eisenstein sind UFDs.
• Jedes Feld ist trivial ein UFD, da jedes Nichtnullelement eine Einheit ist. Beispiele von Feldern schließen rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen ein.
• Wenn R ein UFD ist, dann auch ist R [X], der Ring von Polynomen mit Koeffizienten in R. Wenn R kein Feld ist, R [X] ist nicht ein ideales Hauptgebiet. Durch die Wiederholung ist ein polynomischer Ring in jeder Zahl von Variablen über jeden UFD (und insbesondere über ein Feld) ein UFD.
• Der Auslander-Buchsbaum Lehrsatz stellt fest, dass jeder regelmäßige lokale Ring ein UFD ist.

Weitere Beispiele von UFDs sind:

• Die formellen Macht-Reihen rufen K an

Nichtbeispiele

• Der quadratische Ring der ganzen Zahl aller komplexen Zahlen der Form, wo a und b ganze Zahlen sind. Dann 6 Faktoren sowohl als (2) (3) als auch als als. Das ist aufrichtig verschiedener factorizations, weil die einzigen Einheiten in diesem Ring 1 und −1 sind; so ist keiner 2, 3, und Partner. Es ist nicht hart zu zeigen, dass alle vier Faktoren ebenso nicht zu vereinfachend sind, obwohl das nicht offensichtlich sein kann. Siehe auch algebraische ganze Zahl.
• Die meisten Faktor-Ringe eines polynomischen Rings sind nicht UFDs. Hier sind zwei Beispiele:
• Lassen Sie, jeder Ersatzring zu sein. Dann ist nicht ein UFD. Der Beweis ist in zwei Teilen.

:First müssen wir uns zeigen, und sind alle nicht zu vereinfachend. Rang durch den Grad. Nehmen Sie für einen Widerspruch an, der einen factorization in zwei Nichtnullnichteinheiten hat. Da es Grad ein ist, müssen die zwei Faktoren ein Grad ein Element und ein Grad-Nullelement sein. Das gibt. In, dann, der Grad muss ein Element ein Element des Ideales sein, aber die Nichtnullelemente dieses Ideales sind Grad zwei und höher. Folglich, muss Null darin sein. Das deutet an, dass, auch ist eine Einheit, die ein Widerspruch ist., und sind durch dasselbe Argument nicht zu vereinfachend.

:Next, das Element kommt dem Element wegen der Beziehung gleich. Das bedeutet, dass und zwei verschiedene factorizations desselben Elements in irreducibles sind, so ist nicht ein UFD.

• Der Ring von Holomorphic-Funktionen in einer einzelnen komplizierten Variable ist nicht ein UFD, da dort Holomorphic-Funktionen mit einer Unendlichkeit von Nullen, und so einer Unendlichkeit von nicht zu vereinfachenden Faktoren bestehen, während ein UFD factorization z.B begrenzt sein muss:

::.

• Ein Noetherian Gebiet ist nicht notwendigerweise ein UFD. Obwohl jede Nichtnullnichteinheit in einem Gebiet von Noetherian das Produkt von nicht zu vereinfachenden Elementen ist, ist dieses Produkt nicht notwendigerweise einzigartig.

Eigenschaften

Einige für ganze Zahlen definierte Konzepte können zu UFDs verallgemeinert werden:

• In UFDs ist jedes nicht zu vereinfachende Element erst. (In jedem integrierten Gebiet ist jedes Hauptelement nicht zu vereinfachend, aber das gegenteilige hält nicht immer.) Bemerken, dass das einen teilweisen gegenteiligen hat: Jedes Gebiet von Noetherian ist ein UFD, wenn jedes nicht zu vereinfachende Element erst ist.
• Irgendwelche zwei (oder begrenzt viele) Elemente eines UFD haben einen größten allgemeinen Teiler und kleinstes Gemeinsames Vielfaches. Hier ist ein größter allgemeiner Teiler von a und b ein Element d, der sowohl a als auch b, und solch teilt, dass jeder andere allgemeine Teiler von a und b d teilt. Alle größten allgemeinen Teiler von a und b werden vereinigt.
• Jeder UFD wird integriert geschlossen. Mit anderen Worten, wenn R ein integriertes Gebiet mit dem Quotienten Feld K ist, und wenn ein Element k in K eine Wurzel eines monic Polynoms mit Koeffizienten in R ist, dann ist k ein Element von R.

Gleichwertige Bedingungen für einen Ring, um ein UFD zu sein

Ein Noetherian integriertes Gebiet ist ein UFD, wenn, und nur wenn jede Höhe 1 Hauptideal hauptsächlich ist. Außerdem ist ein Gebiet von Dedekind ein UFD, wenn, und nur wenn seine ideale Klassengruppe trivial ist. In diesem Fall ist es tatsächlich ein ideales Hauptgebiet.

Es gibt auch gleichwertige Bedingungen für non-noetherian integrierte Gebiete. Lassen Sie A ein integriertes Gebiet sein. Dann ist der folgende gleichwertig.

1. A ist ein UFD.
2. Jedes Nichtnullhauptideal von A enthält ein Hauptelement. (Kaplansky)
3. Befriedigt steigende Kettenbedingung auf Hauptidealen (ACCP), und die Lokalisierung SA ist ein UFD, wo S ein multiplicatively ist, hat Teilmenge Eines erzeugten durch Hauptelemente geschlossen. (Kriterium von Nagata)
4. Ein Befriedigen (von ACCP) und jeder nicht zu vereinfachende sind erst.
5. A ist ein GCD Gebiet (d. h. irgendwelche zwei Elemente haben einen größten allgemeinen Teiler) (ACCP) befriedigend.
6. A ist ein Gebiet von Schreier, und jede Nichtnullnichteinheit kann als ein begrenztes Produkt von nicht zu vereinfachenden Elementen ausgedrückt werden (d. h. A ist atomar.)
7. Ein Haben einer Teiler-Theorie, in der jeder Teiler hauptsächlich ist.

In der Praxis, (2) und (3) sind die nützlichsten Bedingungen zu überprüfen. Zum Beispiel folgt es sofort von (2), dass ein PID ein UFD seitdem in einem PID ist, wird jedes Hauptideal durch ein Hauptelement erzeugt.

• Junge. 4.
• Kapitel II.5 von