In der Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität beschreibt die Lösung von Schwarzschild (oder das Vakuum von Schwarzschild), genannt nach Karl Schwarzschild, das Schwerefeld außerhalb einer kugelförmigen, unbeladenen, nichtrotierenden Masse wie ein (nichtrotierender) Stern, Planet oder schwarzes Loch. Es ist auch eine gute Annäherung an das Schwerefeld eines langsam rotierenden Körpers wie die Erde oder Sonne. Wie man annimmt, kommt die kosmologische Konstante Null gleich.

Gemäß dem Lehrsatz von Birkhoff ist die Lösung von Schwarzschild die allgemeinste kugelförmig symmetrische Vakuumlösung der Feldgleichungen von Einstein. Ein Schwarzschild schwarzes Loch oder statisches schwarzes Loch sind ein schwarzes Loch, das kostenlos oder winkeliger Schwung hat. Ein Schwarzschild schwarzes Loch hat Schwarzschild metrisch, und kann von keinem anderen Schwarzschild schwarzes Loch außer durch seine Masse bemerkenswert sein.

Das Schwarzschild schwarze Loch wird durch eine kugelförmige Umgebungsoberfläche, genannt den Ereignis-Horizont charakterisiert, der am Radius von Schwarzschild, häufig genannt den Radius eines schwarzen Loches gelegen ist. Jedes Nichtdrehen und nichtbeladene Masse, die kleiner ist als sein Radius von Schwarzschild, bilden ein schwarzes Loch. Die Lösung der Feldgleichungen von Einstein ist für jede MassenM gültig, so im Prinzip (gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie) Schwarzschild konnte das schwarze Loch jeder Masse bestehen, wenn Bedingungen genug günstig geworden sind, um seine Bildung zu berücksichtigen.

Geschichte

Die Lösung von Schwarzschild wird zu Ehren von Karl Schwarzschild genannt, der die genaue Lösung 1915 nur ungefähr einen Monat nach der Veröffentlichung der Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität gefunden hat. Es war die erste genaue Lösung der Feldgleichungen von Einstein außer der trivialen flachen Raumlösung. Schwarzschild hat wenig Zeit gehabt, um an seine Lösung zu denken. Er ist gestorben, kurz nachdem sein Papier infolge einer Krankheit veröffentlicht wurde, die er zusammengezogen hat, während er in der deutschen Armee während des Ersten Weltkriegs gedient hat.

Johannes Droste 1915

unabhängig erzeugt dieselbe Lösung wie Schwarzschild, mit einer einfacheren direkteren Abstammung.

In den frühen Jahren der allgemeinen Relativität gab es viel Verwirrung über die Natur der Eigenartigkeiten, die in Schwarzschild und anderen Lösungen der Feldgleichungen von Einstein gefunden sind. In seiner 1916-Zeitung hat Schwarzschild die Position genommen, dass die Eigenartigkeit an r = r mit der Koordinateneigenartigkeit an der Ursprung-Gegenwart in kugelförmigen Koordinaten auf dem flachen Raum identifiziert werden sollte. Eine mehr ganze Analyse der Eigenartigkeitsstruktur wurde von David Hilbert im folgenden Jahr gegeben, die Eigenartigkeiten sowohl an r = 0 als auch an r = r identifizierend. Obwohl es allgemeine Zustimmung gab, dass die Eigenartigkeit an r = 0 'echte' physische Eigenartigkeit war, ist die Natur der Eigenartigkeit an r = r unklar geblieben. 1924 hat Arthur Eddington die erste Koordinatentransformation erzeugt (Koordinaten von Eddington-Finkelstein), der gezeigt hat, dass die Eigenartigkeit an r = r ein Koordinatenkunsterzeugnis war, obwohl er scheint, die Bedeutung dieser Entdeckung nicht gewusst zu haben. Später, 1932, hat Georges Lemaître eine verschiedene Koordinatentransformation (Koordinaten von Lemaître) zu derselben Wirkung gegeben und war erst, um anzuerkennen, dass das angedeutet hat, dass die Eigenartigkeit an r = r nicht physisch war. 1939 hat Howard Robertson gezeigt, dass ein freier fallender Beobachter, der in metrischem Schwarzschild hinuntersteigt, den r = r Eigenartigkeit in einem begrenzten Betrag der richtigen Zeit durchqueren würde, wenn auch das eine unendliche Zeitdauer in Bezug auf die Koordinatenzeit t nehmen würde.

1950 hat John Synge eine Zeitung erzeugt, die die maximale analytische Erweiterung von Schwarzschild metrisch gezeigt hat, wieder zeigend, dass die Eigenartigkeit an r = r ein Koordinatenkunsterzeugnis war. Dieses Ergebnis wurde später von Martin Kruskal wieder entdeckt, der das Ergebnis von Synge übertroffen hat, indem er einen einzelnen Satz von Koordinaten zur Verfügung gestellt hat, die (fast) die komplette Raum-Zeit bedeckt haben. Jedoch wegen der Zweideutigkeit der Zeitschriften, in denen die Papiere von Lemaître und Synge veröffentlicht wurden, sind ihre Beschlüsse unbemerkt mit vielen der Hauptspieler im Feld einschließlich Einsteins gegangen, der glaubt, dass die Eigenartigkeit am Radius von Schwarzschild physisch war.

Fortschritte wurden nur in den 1960er Jahren gemacht, als die genaueren Werkzeuge der Differenzialgeometrie ins Feld der allgemeinen Relativität eingegangen sind, die genauere Definitionen dessen erlaubt, was es für eine Sammelleitung von Lorentzian bedeutet, einzigartig zu sein. Das hat zu endgültiger Identifizierung des r = r Eigenartigkeit in als ein Ereignis-Horizont metrischem Schwarzschild geführt (eine Hyperoberfläche in der Raum-Zeit, die nur in einer Richtung durchquert werden kann).

Das Schwarzschild metrische

In Schwarzschild-Koordinaten hat metrischer Schwarzschild die Form:

:

c^2 {d \tau} ^ {2} =

\left (1 - \frac {r_s} {r} \right) c^2 dt^2 - \left (1-\frac {r_s} {r }\\Recht) ^ {-1} dr^2 - R^2 \left (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)

</Mathematik>

wo:

• τ ist die richtige Zeit (Zeit, die durch eine Uhr gemessen ist, die sich mit der Partikel bewegt) in Sekunden,
• c ist die Geschwindigkeit des Lichtes in Metern pro Sekunde,
• t ist die Zeitkoordinate (gemessen durch eine stationäre Uhr an der Unendlichkeit) in Sekunden,
• r ist die radiale Koordinate (Kreisumfang eines Kreises, der auf den Stern in den Mittelpunkt gestellt ist, der durch 2π geteilt ist) in Metern,
• θ ist der colatitude (Winkel aus dem Norden) in radians,
• φ ist die Länge in radians und

der

• r ist der Radius von Schwarzschild (in Metern) vom massiven Körper, der mit seiner MassenM durch r = 2GM/c verbunden ist, wo G die Gravitationskonstante ist.

Die Entsprechung dieser Lösung in der klassischen Newtonischen Theorie des Ernstes entspricht dem Schwerefeld um eine Punkt-Partikel.

In der Praxis ist das Verhältnis r/r fast immer äußerst klein. Zum Beispiel ist der Radius von Schwarzschild r der Erde grob, während die Sonne, die 3.3×10 Zeiten als massiv ist, einen Radius von Schwarzschild ungefähr hat.

Ein Satellit in einer erdsynchronen Bahn hat einen Radius r, der ungefähr vier Milliarden Male größer ist als der Radius von Schwarzschild der Erde daran. Sogar an der Oberfläche der Erde sind die Korrekturen zum Newtonischen Ernst nur ein Teil in einer Milliarde. Das Verhältnis wird nur groß in der Nähe von schwarzen Löchern und anderen ultradichten Gegenständen wie Neutronensterne.

Das Schwarzschild metrische ist eine Lösung der Feldgleichungen von Einstein im leeren Raum, bedeutend, dass es nur außerhalb des angezogen werdenden Körpers gültig ist. D. h. für einen kugelförmigen Körper des Radius R die Lösung ist für r> R gültig. Um das Schwerefeld sowohl innerhalb als auch außerhalb des angezogen werdenden Körpers zu beschreiben, muss die Lösung von Schwarzschild mit einer passenden Innenlösung an r = R verglichen werden.

Wenn

man einen Gegenstand denkt, der in ein schwarzes Loch fällt, ist es besser, ein verschiedenes Koordinatensystem wie Kruskal-Szekeres-Koordinaten zu verwenden.

Eigenartigkeiten und schwarze Löcher

Die Schwarzschild Lösung scheint, Eigenartigkeiten an r = 0 und r = r zu haben; einige der metrischen Bestandteile explodieren an diesen Radien. Da, wie man nur erwartet, metrischer Schwarzschild für Radien gültig ist, die größer sind als der Radius R des angezogen werdenden Körpers, gibt es kein Problem nicht weniger als R> r. Für gewöhnliche Sterne und Planeten ist das immer der Fall. Zum Beispiel ist der Radius der Sonne etwa 700,000 km, während sein Radius von Schwarzschild nur 3 km ist.

Die Eigenartigkeit an r = r teilt die Koordinaten von Schwarzschild in zwei getrennten Flecken. Der Außenfleck mit r> r ist derjenige, der mit den Schwerefeldern von Sternen und Planeten verbunden ist. Der innere Fleck 0, der die Eigenartigkeit an r = 0 enthält, wird vom Außenfleck durch die Eigenartigkeit an r = r völlig getrennt. Die Schwarzschild-Koordinaten geben deshalb keine physische Verbindung zwischen den zwei Flecken, die als getrennte Lösungen angesehen werden können. Die Eigenartigkeit an r = r ist ein Trugbild jedoch; es ist ein Beispiel dessen, was eine Koordinateneigenartigkeit genannt wird. Da der Name einbezieht, entsteht die Eigenartigkeit aus einer schlechten Wahl von Koordinaten oder Koordinatenbedingungen. Wenn es sich zu einem verschiedenen Koordinatensystem (zum Beispiel Koordinaten von Lemaitre, Koordinaten von Eddington-Finkelstein, Kruskal-Szekeres Koordinaten, Koordinaten von Novikov oder Gullstrand-Painlevé-Koordinaten) ändert, wird das metrische regelmäßig an r = r und kann den Außenfleck zu Werten von r erweitern, der kleiner ist als r. Mit einer verschiedenen Koordinatentransformation kann man dann den verlängerten Außenfleck mit dem inneren Fleck verbinden.

Der Fall r = 0 ist jedoch verschieden. Wenn man fragt, dass die Lösung für den ganzen r gültig ist, läuft man in eine wahre physische Eigenartigkeit oder Gravitationseigenartigkeit am Ursprung. Zu sehen, dass das eine wahre Eigenartigkeit ist, muss man auf Mengen schauen, die der Wahl von Koordinaten unabhängig sind. Eine solche wichtige Menge ist der Kretschmann invariant, der durch gegeben wird

:

An r = 0 explodiert die Krümmung (wird unendlich) das Anzeigen der Anwesenheit einer Eigenartigkeit. An diesem Punkt das metrische, und Raum-Zeit-selbst, ist nicht mehr bestimmt. Seit langem wurde es gedacht, dass solch eine Lösung nichtphysisch war. Jedoch hat ein größeres Verstehen der allgemeinen Relativität zur Verwirklichung geführt, dass solche Eigenartigkeiten eine allgemeine Eigenschaft der Theorie und nicht nur eines exotischen speziellen Falls waren. Wie man jetzt glaubt, bestehen solche Lösungen und werden schwarze Löcher genannt.

Die Schwarzschild Lösung, genommen, um für den ganzen r> 0 gültig zu sein, wird Schwarzschild schwarzes Loch genannt. Es ist eine vollkommen gültige Lösung der Feldgleichungen von Einstein, obwohl es einige ziemlich bizarre Eigenschaften hat. Für r Schwarzschild wird radiale Koordinate r zeitmäßig, und die Zeitkoordinate t wird raummäßig. Eine Kurve an unveränderlichem r ist nicht mehr ein möglicher worldline einer Partikel oder Beobachters, nicht, selbst wenn eine Kraft ausgeübt wird, um zu versuchen, es dort zu behalten; das kommt vor, weil Raum-Zeit so viel gebogen worden ist, den die Richtung der Ursache und Wirkung (der zukünftige leichte Kegel der Partikel) in die Eigenartigkeit anspitzt. Die Oberfläche r = r grenzt ab, was den Ereignis-Horizont des schwarzen Loches genannt wird. Es vertritt den Punkt vorbei, welches Licht dem Schwerefeld nicht mehr entkommen kann. Jeder physische Gegenstand, dessen Radius R weniger wird als oder gleich dem Radius von Schwarzschild, wird Gravitationskollaps erleben und ein schwarzes Loch werden.

Alternative (isotropische) Formulierungen von metrischem Schwarzschild

Die ursprüngliche Form von metrischem Schwarzschild schließt Anisotropic-Koordinaten ein, in Bezug auf die die Geschwindigkeit des Lichtes nicht dasselbe für die radialen und querlaufenden Richtungen (hingewiesen durch Einen S Eddington) ist. Eddington hat alternative Formulierungen von Schwarzschild gegeben, der in Bezug auf isotropische Koordinaten metrisch ist (hat r  2GM/c zur Verfügung gestellt).

In isotropischen kugelförmigen Koordinaten verwendet man eine verschiedene radiale Koordinate, r statt r. Sie sind durch verbunden

:

Mit r ist das metrische

:

c^2 {d \tau} ^ {2} = \frac {(1-\frac {GM} {2c^2 r_1}) ^ {2}} {(1 +\frac {GM} {2c^2 r_1}) ^ {2}} \c^2 {d t} ^2 - \left (1 +\frac {GM} {2c^2 r_1 }\\Recht) ^ {sind 4 }\\(dr_1^2 + r_1^2 d\theta^2 + r_1^2 \sin^2\theta \, d\varphi^2\right) abgereist

\. </Mathematik>

Für isotropische rechteckige Koordinaten x, y, z, wo

:und:

das metrische wird dann

:

c^2 {d \tau} ^ {2} = \frac {(1-\frac {GM} {2c^2 r_1}) ^ {2}} {(1 +\frac {GM} {2c^2 r_1}) ^ {2}} \, c^2 {d t} ^2 - \left (1 +\frac {GM} {2c^2 r_1 }\\Recht) ^ {4} (dx^2+dy^2+dz^2)

\. </Mathematik>

In den Begriffen dieser Koordinaten ist die Geschwindigkeit des Lichtes an jedem Punkt dasselbe in allen Richtungen, aber es ändert sich mit der radialen Entfernung r (von der Punkt-Masse am Ursprung von Koordinaten), wo es den Wert hat

:

Der paraboloid von Flamm

Die Raumkrümmung der Lösung von Schwarzschild dafür kann als die grafischen Shows vergegenwärtigt werden. Betrachten Sie eine unveränderliche Zeit als äquatoriale Scheibe durch die Lösung von Schwarzschild (θ = π/2, t = unveränderlich) und lassen Sie die Position einer Partikel, die sich in diesem Flugzeug bewegt mit den restlichen Koordinaten von Schwarzschild (r, φ) beschrieben werden. Stellen Sie sich vor, jetzt wo es eine zusätzliche Euklidische Dimension w gibt, der keine physische Wirklichkeit hat (es ist nicht ein Teil der Raum-Zeit). Dann ersetzen Sie (r, φ) Flugzeug mit einer Oberfläche, die in der w Richtung gemäß der Gleichung (der paraboloid von Flamm) mit Grübchen

ist:

w = 2 \sqrt {r_ {s} \left (r - r_ {s} \right)}.

</Mathematik>

Diese Oberfläche hat das Eigentum, dass Entfernungen innerhalb seiner Match-Entfernungen in metrischem Schwarzschild, weil mit der Definition von w oben, gemessen

haben:

So ist der paraboloid von Flamm nützlich, für sich die Raumkrümmung von metrischem Schwarzschild zu vergegenwärtigen. Es sollte jedoch mit einem Ernst gut nicht verwirrt sein. Kein Übliches (massiv oder massless) Partikel kann einen worldline haben, der auf dem paraboloid liegt, da alle Entfernungen darauf raummäßig sind (das ist ein Querschnitt in einem Moment der Zeit, so müssen alle Partikeln, die es bewältigen, unendliche Geschwindigkeit haben). Sogar ein tachyon würde der Pfad nicht vorankommen, dass man von einer "Gummiplatte" Analogie naiv erwarten könnte: Insbesondere wenn das Grübchen gezogen wird, aufwärts aber nicht nach unten hinweisend, biegt sich der Pfad des tachyon noch zur Hauptmasse nicht weg. Sieh den Ernst gut Artikel für mehr Information.

Der paraboloid von Flamm kann wie folgt abgeleitet werden. Das Euklidische metrische in den zylindrischen Koordinaten (r, φ, w) wird geschrieben

:

\mathrm {d} s^2 = \mathrm {d} w^2 + \mathrm {d} r^2 + R^2 \mathrm {d }\\phi^2. \,

</Mathematik>

Die Oberfläche lassend, durch die Funktion beschrieben werden kann das Euklidische metrische als geschrieben werden

:

\mathrm {d} s^2 = \left [1 + \left (\frac {\\mathrm {d} w} {\\mathrm {d} r }\\Recht) ^2 \right] \mathrm {d} r^2 + r^2\mathrm {d }\\phi^2,

</Mathematik>

Das Vergleichen davon mit Schwarzschild, der im äquatorialen Flugzeug (θ = π/2) in einer festen Zeit (t = metrisch ist, unveränderlich, dt = 0)

:

\mathrm {d} s^2 = \left (1-\frac {r_ {s}} {r} \right) ^ {-1} \mathrm {d} r^2 + r^2\mathrm {d }\\phi^2,

</Mathematik>

gibt einen integrierten Ausdruck für w (r) nach:

:

w (r) = \int \frac {\\mathrm {d} r\{\\sqrt {\\frac {r} {r_ {s}}-1}} = 2 r_ {s} \sqrt {\\frac {r} {r_ {s}} - 1\+ \mbox {unveränderlicher }\

</Mathematik>

wessen Lösung der paraboloid von Flamm ist.

Augenhöhlenbewegung

Eine Partikel, die in metrischem Schwarzschild umkreist, kann eine stabile kreisförmige Bahn damit haben. Kreisförmige Bahnen mit dazwischen und sind nicht stabil, und keine kreisförmigen Bahnen bestehen dafür

Nichtkreisförmige Bahnen, wie Quecksilber, wohnen länger an kleinen Radien, als es klassisch erwartet würde. Das kann als eine weniger äußerste Version des dramatischeren Falls gesehen werden, in dem eine Partikel den Ereignis-Horizont durchführt und darin für immer wohnt. Zwischenglied zwischen dem Fall von Quecksilber und dem Fall eines Gegenstands, der vorbei am Ereignis-Horizont fällt, es gibt exotische Möglichkeiten wie "Schneide"-Bahnen, in denen der Satellit gemacht werden kann, eine willkürlich Vielzahl von fast kreisförmigen Bahnen durchzuführen, nach denen es zurück äußer fliegt.

Symmetries

Die Gruppe von Isometrien von metrischem Schwarzschild ist die Untergruppe der zehndimensionalen Gruppe von Poincaré, die die Zeitachse (Schussbahn des Sterns) zu sich nimmt. Es lässt die Raumübersetzungen (drei Dimensionen) und Zunahmen (drei Dimensionen) weg. Es behält die Zeitübersetzungen (eine Dimension) und Folgen (drei Dimensionen). So hat es vier Dimensionen. Wie die Gruppe von Poincaré hat es vier verbundene Bestandteile: der Bestandteil der Identität; die Zeit hat Bestandteil umgekehrt; der Rauminversionsbestandteil; und der Bestandteil, der sowohl Zeit umgekehrt als auch räumlich umgekehrt ist.

Notierungen

Siehe auch

• Das Abstammen der Lösung von Schwarzschild
• Reissner-Nordström metrisch (beladene, nichtrotierende Lösung)
• Kerr metrisch (unbeladene, rotierende Lösung)
• Kerr-Newman metrisch (beladene, rotierende Lösung)
• BKL Eigenartigkeit (Innenlösung)
• Schwarzes Loch, eine allgemeine Rezension
• Schwarzschild koordiniert
• Kruskal-Szekeres koordiniert
• Eddington-Finkelstein koordiniert
• Gullstrand-Painlevé koordiniert
• Koordinaten von Lemaitre (Lösung von Schwarzschild in gleichzeitigen Koordinaten)
• Rahmenfelder in der allgemeinen Relativität (Beobachter von Lemaître im Vakuum von Schwarzschild)

Referenzen

• Ansehen des ursprünglichen Papiers
• Text des ursprünglichen Papiers, in Wikisource
• Übersetzung durch Antoci und Loinger
• ein Kommentar zum Papier, eine einfachere Abstammung gebend
• Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
• Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Einführung in die Allgemeine Relativität (die Zweite Ausgabe), (1975) der McGraw-Hügel New York; internationale Standardbuchnummer 0-07-000423-4. Sieh Kapitel 6.
• Lev Davidovich Landau und Evgeny Mikhailovich Lifshitz, Die Klassische Theorie von Feldern, die Vierte Revidierte englische Ausgabe, der Kurs der Theoretischen Physik, Band 2, (1951) Pergamon Presse, Oxford; internationale Standardbuchnummer 0-08-025072-6. Sieh Kapitel 12.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Schwerkraft, (1970) W.H. Freeman, New York; internationale Standardbuchnummer 0-7167-0344-0. Sieh Kapitel 31 und 32.
• Steven Weinberg, Schwerkraft und Kosmologie: Grundsätze und Anwendungen der Allgemeinen Relativitätstheorie, (1972) John Wiley & Sons, New York; internationale Standardbuchnummer 0-471-92567-5. Sieh Kapitel 8.
• J. Mark Heinzle und Roland Steinbauer, Bemerkungen auf der Verteilungsgeometrie von Schwarzschild, J. Mathematik. Phys. 43, 1493 (2002); doi:10.1063/1.1448684.
• Jaykov Foukzon, Schwarzschild Verteilungsgeometrie von nichtglattem regularization über den Horizont.
• arxiv.org