In der Zahlentheorie setzt die Vermutung von Cramér, die vom schwedischen Mathematiker Harald Cramér 1936 formuliert ist, das fest

wo p anzeigt, dass die n-te Primzahl, O große O Notation ist, und "Klotz" der natürliche Logarithmus ist. Intuitiv bedeutet das, dass die Lücken zwischen der Konsekutivblüte immer klein sind, und es asymptotisch gerade misst, wie klein sie sein können. Diese Vermutung ist nicht bewiesen worden oder disproven.

Heuristische Rechtfertigung

Die Vermutung von Cramér basiert auf einem probabilistic Modell (im Wesentlichen ein heuristischer) von der Blüte, in der annimmt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine natürliche Zahl x erst ist, 1/geloggt x ist. Das ist als das Modell von Cramér der Blüte bekannt.

Cramér hat bewiesen, dass in diesem Modell die obengenannte Vermutung mit der Wahrscheinlichkeit ein für wahr hält.

Bewiesene Ergebnisse auf Hauptlücken

Cramér hat auch viel schwächeren bedingten Beweis das gegeben

auf der Annahme der Hypothese von Riemann.

In der anderen Richtung hat E. Westzynthius 1931 bewiesen, dass Hauptlücken mehr wachsen als logarithmisch. Das, ist

Vermutung von Cramér-Granville

Daniel Shanks hat asymptotische Gleichheit von Rekordlücken, einer etwas stärkeren Behauptung vermutet als die Vermutung von Cramér.

Im zufälligen Modell,

: mit

Aber diese Konstante kann für die ganze Blüte durch den Lehrsatz von Maier nicht gelten. Andrew Granville 1995 hat den unveränderlichen vorgeschlagen

Thomas Nicely hat viele große Hauptlücken berechnet. Er misst die Qualität von passenden zur Vermutung von Cramér, indem er das Verhältnis R des Logarithmus einer Blüte zur Quadratwurzel der Lücke misst; er schreibt, "Für die größten bekannten maximalen Lücken ist R in der Nähe von 1.13 geblieben," zeigend, dass, mindestens innerhalb der Reihe seiner Berechnung, die Verbesserung von Granville der Vermutung von Cramér scheint, ein zu den Daten passender Nutzen zu sein.

Siehe auch

• Primzahl-Lehrsatz
• Die Vermutung von Legendre und die Vermutung von Andrica, viel schwächer, aber noch unbewiesene obere Grenzen auf Hauptlücken

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