Experimentelle Mathematik ist eine Annäherung an die Mathematik, in der numerische Berechnung verwendet wird, um mathematische Gegenstände zu untersuchen und Eigenschaften und Muster zu identifizieren. Es ist als definiert worden, "dass der Zweig der Mathematik, die sich schließlich mit der Kodifizierung und Übertragung von Einblicken innerhalb der mathematischen Gemeinschaft durch den Gebrauch von experimentellen (entweder im Galiläer, kantischen oder in Aristotelischen Baconsinn) Erforschung von Vermutungen und mehr informellem Glauben und einer sorgfältigen Analyse der in dieser Verfolgung erworbenen Daten beschäftigt."

Geschichte

Mathematiker haben immer experimentelle Mathematik geübt. Vorhandene Aufzeichnungen der frühen Mathematik, wie babylonische Mathematik, bestehen normalerweise aus Listen von numerischen Beispielen, die algebraische Identität illustrieren. Jedoch hat sich moderne Mathematik, im 17. Jahrhundert beginnend, entwickelt eine Tradition des Veröffentlichens läuft auf eine endgültige, formelle und abstrakte Präsentation hinaus. Die numerischen Beispiele, die einen Mathematiker dazu gebracht haben können, einen allgemeinen Lehrsatz ursprünglich zu formulieren, wurden nicht veröffentlicht, und wurden allgemein vergessen.

Die experimentelle Mathematik als ein getrenntes Gebiet der Studie ist im zwanzigsten Jahrhundert wiedererschienen, als die Erfindung des elektronischen Computers gewaltig die Reihe von ausführbaren Berechnungen, mit einer Geschwindigkeit und Präzision vergrößert hat, die viel größer ist als irgendetwas Verfügbares für vorherige Generationen von Mathematikern. Ein bedeutender Meilenstein und Zu-Stande-Bringen der experimentellen Mathematik waren die Entdeckung 1995 der Bailey-Borwein-Plouffe Formel für die binären Ziffern von π. Diese Formel wurde nicht durch das formelle Denken, aber stattdessen entdeckt

durch numerische Suchen auf einem Computer; nur später war ein strenger gefundener Beweis.

Ziele und Gebrauch

Die Ziele der experimentellen Mathematik sind, "das Verstehen und die Scharfsinnigkeit zu erzeugen; Vermutungen zu erzeugen und zu bestätigen oder ihnen gegenüberzustehen; und allgemein Mathematik greifbarer, lebhaft und lustig sowohl für den Berufsforscher als auch für den Anfänger zu machen".

Der Gebrauch der experimentellen Mathematik ist wie folgt definiert worden:

1. Die Gewinnung der Scharfsinnigkeit und Intuition.
2. Das Entdecken neuer Muster und Beziehungen.
3. Das Verwenden von grafischen Anzeigen, um anzudeuten, mathematischen Grundsätzen zu unterliegen.
4. Die Prüfung und besonders das Fälschen von Vermutungen.
5. Das Erforschen eines möglichen Ergebnisses zu sehen, ob es des formellen Beweises wert ist.
6. Das Vorschlagen von Annäherungen für den formellen Beweis.
7. Das Ersetzen langer Handabstammungen mit computergestützten Abstammungen.
8. Das Bestätigen von analytisch abgeleiteten Ergebnissen.

Werkzeuge und Techniken

Experimentelle Mathematik macht von numerischen Methoden Gebrauch, ungefähre Werte für Integrale und unendliche Reihe zu berechnen. Willkürliche Präzisionsarithmetik wird häufig verwendet, um diese Werte hochgradig der Präzision - normalerweise 100 bedeutende Zahlen oder mehr zu gründen. Beziehungsalgorithmen der ganzen Zahl werden dann verwendet, um nach Beziehungen zwischen diesen Werten und mathematischen Konstanten zu suchen. Das Arbeiten mit hohen Präzisionswerten reduziert die Möglichkeit, einen mathematischen Zufall mit einer wahren Beziehung zu verwechseln. Ein formeller Beweis einer vermuteten Beziehung wird dann gesucht - es ist häufig leichter, einen formellen Beweis zu finden, sobald die Form einer vermuteten Beziehung bekannt ist.

Wenn ein Gegenbeispiel gesucht wird oder ein groß angelegter Beweis durch die Erschöpfung versucht wird, hat Rechentechniken verteilt kann verwendet werden, um die Berechnungen zwischen vielfachen Computern zu teilen.

Häufiger Gebrauch wird aus allgemeinen Computeralgebra-Systemen wie Mathematica gemacht, obwohl bereichsspezifische Software auch für Angriffe auf Probleme geschrieben wird, die hohe Leistungsfähigkeit verlangen. Experimentelle Mathematik-Software schließt gewöhnlich Fehlerentdeckungs- und Korrektur-Mechanismen ein, Integritätskontrollen und überflüssige Berechnungen haben vorgehabt, die Möglichkeit von Ergebnissen zu minimieren, die durch eine Hardware oder Softwarefehler ungültig machen werden.

Anwendungen und Beispiele

Anwendungen und Beispiele der experimentellen Mathematik schließen ein:

• Das Suchen nach einem Gegenbeispiel zu einer Vermutung
• Roger Frye hat experimentelle Mathematik-Techniken verwendet, um das kleinste Gegenbeispiel zur Summe von Euler der Macht-Vermutung zu finden.
• Das Projekt von ZetaGrid wurde aufgestellt, um nach einem Gegenbeispiel zur Hypothese von Riemann zu suchen.
• Dieses Projekt sucht nach einem Gegenbeispiel zur Vermutung von Collatz.
• Die Entdeckung neuer Beispiele von Zahlen oder Gegenständen mit besonderen Eigenschaften
• Das Große Internet Mersenne Hauptsuche sucht nach neuer Blüte von Mersenne.
• distributed.net sucht OGR Projekt nach optimalen Linealen von Golomb.
• Das Riesel-Sieb-Projekt sucht nach der kleinsten Zahl von Riesel.
• Das Siebzehn oder Büsteprojekt sucht nach der kleinsten Zahl von Sierpinski.
• Das Sudoku-Projekt sucht nach einer Lösung des minimalen Problems von Sudoku.
• Die Entdeckung serendipitous numerische Muster
• Edward Lorenz hat den Lorenz attractor, ein frühes Beispiel eines chaotischen dynamischen Systems gefunden, indem er anomale Handlungsweisen in einem numerischen Wettermodell untersucht hat.
• Die Ulam Spirale wurde zufällig entdeckt.
• Die Entdeckung von Mitchell Feigenbaum des unveränderlichen Feigenbaums hat am Anfang auf numerischen Beobachtungen basiert, die von einem strengen Beweis gefolgt sind.
• Gebrauch von Computerprogrammen, um eine große, aber begrenzte Zahl von Fällen zu überprüfen, um einen computergestützten Beweis durch die Erschöpfung zu vollenden
• Der Beweis von Thomas Hales der Vermutung von Kepler.
• Verschiedene Beweise des vier Farbenlehrsatzes.
• Der Beweis von Clement Lam des Nichtseins eines begrenzten projektiven Flugzeugs des Auftrags 10.
• Symbolische Gültigkeitserklärung (über die Computeralgebra) Vermutungen, um die Suche nach einem analytischen Beweis zu motivieren
• Lösungen eines speziellen Falls des Quants, das als das Wasserstoffmolekül-Ion bekanntes Drei-Körper-Problem Standardquant-Chemie-Basissätze vor dem Verständnis gefunden wurde, führen sie alle zu derselben einzigartigen analytischen Lösung in Bezug auf eine Generalisation der Funktion von Lambert W. Verbunden mit dieser Arbeit ist die Isolierung einer vorher unbekannten Verbindung zwischen der Ernst-Theorie und Quant-Mechanik in niedrigeren Dimensionen (sieh Quant-Ernst und Verweisungen darin).
• Im Bereich der relativistischen vielgebauten Mechanik, nämlich die zeitsymmetrische Absorber-Theorie von Wheeler-Feynman: Die Gleichwertigkeit zwischen einem fortgeschrittenen Liénard-Wiechert Potenzial der Partikel j das Folgen Partikel i und dem entsprechenden Potenzial für die Partikel wurde ich, Partikel j folgend, erschöpfend demonstriert, um zu bestellen, bevor ich mathematisch bewiesen werde.
• Im Bereich der geradlinigen Optik, der Überprüfung der Reihenentwicklung des Umschlags des elektrischen Feldes für Ultrakurzlichtimpulse, die in nicht isotropische Medien reisen. Vorherige Vergrößerungen waren unvollständig gewesen: Das Ergebnis hat einen durch das Experiment verteidigten Extrabegriff offenbart.
• Die Einschätzung der unendlichen Reihe, unendlichen Produkte und Integrale (sehen auch symbolische Integration), normalerweise durch das Ausführen einer hohen Präzision numerische Berechnung, und dann das Verwenden eines Beziehungsalgorithmus der ganzen Zahl (wie die Umgekehrte Symbolische Rechenmaschine), um eine geradlinige Kombination von mathematischen Konstanten zu finden, die diesen Wert vergleicht. Zum Beispiel wurde die folgende Identität zuerst von Enrico Au-Yeung, einem Studenten von Jonathan Borwein vermutet, der Computersuche und PSLQ Algorithmus 1993 verwendet:

::\begin {richten }\aus

\sum_ {k=1} ^\\infty \frac {1} {k^2 }\\ist (1 +\frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots +\frac {1} {k }\\Recht) ^2 = \frac {17\pi^4} {360} abgereist.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

• Sehuntersuchungen
• In den Perlen von Indra haben David Mumford und andere verschiedene Eigenschaften der Transformation von Möbius untersucht, und Gruppe von Schottky, die Computer verwendet, hat Images der Gruppen der erzeugt: ausgestattete überzeugende Beweise für viele Vermutungen und Köder zur weiteren Erforschung.

Offene Probleme

Wie man

gezeigt hat, haben einige Beziehungen an der sehr hohen Präzision gehalten, aber kein formeller Beweis ist noch gefunden worden; ein Beispiel ist:

:\begin {richten }\aus

\sum_ {n=0} ^\\infty \left (\frac {1} {(7n+1) ^2} + \frac {1} {(7n+2) ^2}-\frac {1} {(7n+3) ^2} + \frac {1} {(7n+4) ^2}-\frac {1} {(7n+5) ^2}-\frac {1} {(7n+6) ^2 }\\Recht) \\stackrel{?} {=} \\frac {24} {7\sqrt {7} }\\int_ {\\Pi/3} ^ {\\Pi/2} \log \left | \frac {\\Lohe t + \sqrt {7}} {\\Lohe t - \sqrt {7}} {richten} {sich} \right|dt\end, </Mathematik> {aus}

der zu 20,000 Ziffern nachgeprüft worden ist.

Plausible, aber falsche Beispiele

Einige plausible Beziehungen halten hochgradig der Genauigkeit, aber sind noch immer nicht wahr. Ein Beispiel ist:

:

\int_ {0} ^ {\\infty }\\weil (2x) \prod_ {n=1} ^ {\\infty }\\cos\left (\frac {x} {n }\\Recht) dx \approx \frac {\\Pi} {8}. </Mathematik>

Die zwei Seiten dieses Ausdrucks unterscheiden sich nur nach dem 42. dezimalen Platz.

Ein anderes Beispiel ist, dass die maximale Höhe (maximaler absoluter Wert von Koeffizienten) aller Faktoren von x  1 scheint, dasselbe als Höhe des n-ten cyclotomic Polynoms zu sein. Wie man zeigte, war das durch den Computer für n wahr

Praktiker

Die folgenden Mathematiker und Computerwissenschaftler haben bedeutende Beiträge zum Feld der experimentellen Mathematik geleistet:

• Fabrice Bellard
• David H. Außenhof
• Jonathan Borwein
• David Epstein
• Helaman Ferguson
• Ronald Graham
• Thomas Callister Hales
• Donald Knuth
• Oren Patashnik
• Simon Plouffe
• Eric Weisstein
• Doron Zeilberger
• A.J. Han Vinck

Siehe auch

• Computergestützter Beweis
• Beweise und Widerlegungen
• Experimentelle Mathematik (Zeitschrift)
• Institut für die experimentelle Mathematik

Außenverbindungen

• Experimentelle Mathematik (Zeitschrift)
• Zentrum für die experimentelle und konstruktive Mathematik (CECM) an der Universität von Simon Fraser
• Collaborative Group für die Forschung in der Mathematik-Ausbildung an der Universität von Southampton
• Das Erkennen numerischer Konstanten durch David H. Außenhof und Simon Plouffe
• Psychologie der experimentellen Mathematik
• Experimentelle Mathematik-Website (Verbindungen und Mittel)
• Ein Algorithmus für die Alter: PSLQ, eine bessere Weise, Beziehungen der ganzen Zahl zu finden
• Experimentelle algorithmische Informationstheorie
• Beispielprobleme der experimentellen Mathematik durch David H. Außenhof und Jonathan M. Borwein
• Zehn Probleme in der experimentellen Mathematik durch David H. Außenhof, Jonathan M. Borwein, Vishaal Kapoor und Eric W. Weisstein
• Institut für die experimentelle Mathematik an der Universität Duisburg-Essens