In der Mathematik sind zwei variable Mengen proportional, wenn einer von ihnen immer ander und eine unveränderliche Menge, genannt den Koeffizienten der Proportionalität oder unveränderlichen Proportionalität ist. Mit anderen Worten, sind proportional, wenn das Verhältnis unveränderlich ist. Wir sagen auch, dass eine der Mengen zum anderen proportional ist. Zum Beispiel, wenn die Geschwindigkeit eines Gegenstands unveränderlich ist, reist sie eine Entfernung, die zur Fahrzeit proportional ist.

Wenn sich eine geradlinige Funktion zu verwandelt, und wenn das Produkt nicht Null ist, sagen wir sind Eine Gleichheit von zwei Verhältnissen solcher als proportional, wo kein Begriff Null ist, wird genannt.

Geometrische Illustration

Wenn die Verdoppelung eines gegebenen Rechtecks seine Gestalt bewahrt, ist das Verhältnis der großen Dimension zur kleinen Dimension eine unveränderliche Zahl in allen Kopien, und im ursprünglichen Rechteck. Das größte Rechteck der Zeichnung ist einer oder dem anderen Rechteck mit Streifen ähnlich. Von ihrer Breite bis ihre Höhe ist der Koeffizient Ein Verhältnis ihrer Dimensionen, die horizontal innerhalb des Images, oben oder des Bodens geschrieben sind, bestimmt die allgemeine Gestalt der drei ähnlichen Rechtecke.

Die allgemeine Diagonale der ähnlichen Rechtecke teilt jedes Rechteck in zwei superposable Dreiecke mit zwei verschiedenen Arten von Streifen. Die vier gestreiften Dreiecke und die zwei gestreiften Rechtecke haben einen allgemeinen Scheitelpunkt: Das Zentrum einer homothetic Transformation mit einem negativen Verhältnis - k oder, der ein Dreieck und seine Streifen in ein anderes Dreieck mit denselben Streifen, vergrößert oder reduziert umgestaltet. Die Verdoppelungsskala eines gestreiften Dreiecks ist die Proportionalität, die zwischen den entsprechenden Seitenlängen der Dreiecke unveränderlich ist, die einem positiven innerhalb des Images schief geschriebenen Verhältnis gleich sind: oder

Im Verhältnis werden die Begriffe a und d die Extreme genannt, während b und c die Mittel sind, weil a und d die äußersten Begriffe der Liste sind, während b und c in der Mitte der Liste sind. Von jedem Verhältnis bekommen wir ein anderes Verhältnis, indem wir die Extreme oder die Mittel umkehren. Und das Produkt der Extreme kommt dem Produkt der Mittel gleich. Innerhalb des Images zeigt ein doppelter Pfeil zwei umgekehrte Begriffe des ersten Verhältnisses an.

Denken Sie, das größte Rechteck in zwei Dreiecken zu teilen, entlang der Diagonale schneidend. Wenn wir zwei Dreiecke von jeder Hälfte des Rechtecks entfernen, bekommen wir eines der einfachen grauen Rechtecke. Oben und unter dieser Diagonale sind die Gebiete der zwei größten Dreiecke der Zeichnung gleich, weil diese Dreiecke superposable sind. Oben und unter den abgezogenen Gebieten sind aus demselben Grund gleich. Deshalb haben die zwei einfachen grauen Rechtecke den gemeinsamen Bereich:

Symbol

Das mathematische Symbol '' wird verwendet, um anzuzeigen, dass zwei Werte proportional sind. Zum Beispiel, Ein  B.

In Unicode ist das Symbol U+221D.

Direkte Proportionalität

In Anbetracht zwei Variablen x und y ist y zu x' (direkt) proportional (x, und y ändern sich direkt, oder x und y sind in der direkten Schwankung), wenn es einen unveränderlichen solchen Nichtnullk dass gibt

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Die Beziehung wird häufig angezeigt

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und das unveränderliche Verhältnis

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wird die Proportionalität genannt, die unveränderlich oder der Proportionalität unveränderlich ist.

Beispiele

• Wenn ein Gegenstand mit einer unveränderlichen Geschwindigkeit reist, dann ist die Entfernung gereist ist zur verbrachten Zeit proportional, mit der Geschwindigkeit reisend, die die Konstante der Proportionalität ist.
• Der Kreisumfang eines Kreises ist zu seinem Diameter mit der Konstante der π gleichen Proportionalität proportional.
• Auf einer Karte, die gezogen ist, um zu klettern, ist die Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten auf der Karte zur Entfernung zwischen den zwei Positionen proportional, die die Punkte mit der Konstante der Proportionalität vertreten, die die Skala der Karte ist.
• Die Kraft, die einem bestimmten Gegenstand wegen des Ernstes folgt, ist zur Masse des Gegenstands proportional; die Konstante der Proportionalität zwischen der Masse und der Kraft ist als Gravitationsbeschleunigung bekannt.

Eigenschaften

Seitdem

:ist

zu gleichwertig

:

hieraus folgt dass, wenn y zu x, mit der (nichtnull)-Proportionalität unveränderlicher k proportional ist, dann ist x auch zu y mit der Proportionalität unveränderlicher 1/k proportional.

Wenn y zu x proportional ist, dann wird der Graph von y als eine Funktion von x eine Gerade sein, die den Ursprung mit dem Hang der der Konstante der Proportionalität gleichen Linie durchführt: Es entspricht geradlinigem Wachstum.

Umgekehrte Proportionalität

Dem Konzept der umgekehrten Proportionalität kann gegen die direkte Proportionalität gegenübergestellt werden. Denken Sie, dass zwei Variablen gesagt haben", zu einander "umgekehrt proportional zu sein. Wenn alle anderen Variablen festgehalten werden, werden der Umfang oder absolute Wert einer umgekehrt proportionaler Variable abnehmen, wenn die andere Variable zunimmt, während ihr Produkt (die Konstante der Proportionalität k) immer dasselbe ist.

Formell sind zwei Variablen umgekehrt proportional (oder sich umgekehrt, oder in der umgekehrten Schwankung, oder im umgekehrten Verhältnis oder im gegenseitigen Verhältnis ändernd), wenn eine der Variablen mit dem multiplicative umgekehrten (Gegenstück) vom anderen, oder gleichwertig direkt proportional ist, wenn ihr Produkt eine Konstante ist. Hieraus folgt dass die Variable y zur Variable x umgekehrt proportional ist, wenn dort ein unveränderlicher solcher Nichtnullk dass besteht

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Die Konstante kann durch das Multiplizieren der ursprünglichen x Variable und der ursprünglichen y Variable gefunden werden.

Als ein Beispiel ist die für eine Reise genommene Zeit zur Geschwindigkeit des Reisens umgekehrt proportional; die Zeit musste graben ein Loch ist zur grabenden Anzahl der Leute (ungefähr) umgekehrt proportional.

Der Graph von zwei Variablen, die sich umgekehrt auf dem Kartesianischen Koordinatenflugzeug ändern, ist eine Hyperbel. Das Produkt der X und die Y Werte jedes Punkts auf der Kurve werden der Konstante der Proportionalität (k) gleichkommen. Seitdem können weder x noch y Null gleichkommen (wenn k Nichtnull ist), wird der Graph jede Achse nie durchqueren.

Hyperbelkoordinaten

Die Konzepte des direkten und umgekehrten Verhältnisses führen zur Position von Punkten im Kartesianischen Flugzeug durch Hyperbelkoordinaten; die zwei Koordinaten entsprechen der Konstante der direkten Proportionalität, die einen Punkt auf einem Strahl und der Konstante der umgekehrten Proportionalität ausfindig macht, die einen Punkt auf einer Hyperbel ausfindig macht.

Logarithmische und Exponentialproportionalität

Eine Variable y ist zu einer Variable x exponential proportional, wenn y zur Exponentialfunktion von x direkt proportional ist, ist dieser, wenn dort Nichtnullkonstanten k und ein bestehen

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Ebenfalls ist eine Variable y zu einer Variable x logarithmisch proportional, wenn y zum Logarithmus von x direkt proportional ist, ist dieser, wenn dort Nichtnullkonstanten k und ein bestehen

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Experimenteller Entschluss

Um experimentell zu bestimmen, ob zwei physische Mengen direkt proportional sind, führt man mehrere Maße durch und plant die resultierenden Datenpunkte in einem Kartesianischen Koordinatensystem. Wenn die Punkte auf oder in der Nähe von einer Gerade liegen, die den Ursprung durchführt (0, 0), dann sind die zwei Variablen wahrscheinlich, mit der Proportionalität unveränderlich gegeben durch den Hang der Linie proportional.

Gleichwertigkeitsbeziehung

Direkte Proportionalität ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Satz (oder sogar). Das ist, weil es ist: reflexiv, symmetrisch und transitiv. Das wird unter dem Verwenden der Definition bewiesen: Wenn ab dann, wo k eine Nichtnullkonstante ist.

Reflexivity

Für alle,

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Deshalb, weil man eine Nichtnullkonstante, ist

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Symmetrie

Denken Sie und ab, dann,

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Wo k eine Nichtnullkonstante ist. Sich durch durch k teilend, haben wir:

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Da k Nichtnull ist, ist 1/k auch Nichtnull. So:

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Transitivity

Denken Sie ab und bc. Dann,

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Und,

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Wo k und n Nichtnullkonstanten sind. Die zweite Gleichung ins erste einsetzend, haben wir:

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Da k und n Nichtnull sind, muss kn auch Nichtnull sein. Deshalb:

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Siehe auch

• Korrelation
• Eudoxus von Cnidus
• Goldenes Verhältnis
• Proportionale Schriftart
• Regel drei (Mathematik)
• Beispielgröße
• Ähnlichkeit
• Gleichwertigkeitsbeziehung

Wachstum

• Geradliniges Wachstum
• Hyperbelwachstum