In der Mathematik, dem Hang oder Anstieg einer Linie beschreibt seine Steilheit, Neigung oder Rang. Ein höherer Steigungswert zeigt eine steilere Neigung an. (Hang, als ein praktischer Begriff, wird für theoretisch vollkommen horizontale oder vertikale Linien nicht definiert.)

Hang wird normalerweise durch das Verhältnis des "Anstiegs" beschrieben, der durch den "Lauf" zwischen zwei Punkten auf einer Linie geteilt ist. Die Linie kann - ein Satz durch einen Straßenlandvermesser - oder in einem Diagramm praktisch sein, das eine Straße oder ein Dach entweder als eine Beschreibung oder als ein Plan modelliert.

Für relativ kurze Entfernungen - wo die Krümmung der Erde vernachlässigt werden kann, ist der Anstieg einer Straße zwischen zwei Punkten der Unterschied zwischen der Höhe an jenen zwei Punkten, sagen Sie y und y, oder mit anderen Worten,

der Anstieg ist (y  y) =

Δ.

In diesem Beispiel ist der Lauf der Unterschied in der Entfernung von einem festen Punkt ein gemessener entlang einem Niveau, horizontaler Linie, oder mit anderen Worten,

der Lauf ist (x  x) =

Δ.

Hier wird der Hang der Straße zwischen den zwei Punkten einfach als das Verhältnis der Höhe-Änderung zur horizontalen Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten auf der Linie beschrieben. Auf der mathematischen Sprache,

die SteigungsM der Linie ist

:

Das Konzept des Hangs gilt direkt für Ränge oder Anstiege in der Erdkunde und dem Hoch- und Tiefbau. Durch die Trigonometrie der Rang ist die M einer Straße mit seinem Winkel der Neigung θ durch verbunden

:

Als eine Generalisation dieser praktischen Beschreibung definiert die Mathematik der Differenzialrechnung den Hang einer Kurve an einem Punkt als der Hang der Tangente-Linie an diesem Punkt. Wenn die Kurve, die durch eine Reihe von Punkten in einem Diagramm oder in einer Liste der Koordinaten von Punkten gegeben ist, der Hang nicht an einem Punkt, aber zwischen irgendwelchen zwei gegebenen Punkten berechnet werden kann. Wenn die Kurve als eine dauernde Funktion vielleicht als eine algebraische Formel gegeben wird, dann stellt die Differenzialrechnung Regeln zur Verfügung, die eine Formel für den Hang des Heilmittels an jedem Punkt in der Mitte der Kurve geben.

Diese Generalisation des Konzepts des Hangs erlaubt sehr komplizierten Aufbauten, geplant zu werden, und hat gebaut, die außer statischen Strukturen gut gehen, die entweder horizontals oder verticals sind, aber sich rechtzeitig ändern können, sich in Kurven und Änderung abhängig von der Rate der Änderung anderer Faktoren zu bewegen. Dadurch wird die einfache Idee vom Hang eine der Hauptbasis der modernen Welt sowohl in Bezug auf die Technologie als auch in Bezug auf die gebaute Umgebung.

Definition

Der Hang einer Linie im Flugzeug, das den x und die y Äxte enthält, wird allgemein durch den Brief M vertreten, und wird als die Änderung in der Y-Koordinate definiert, die durch die entsprechende Änderung in der X-Koordinate zwischen zwei verschiedenen Punkten auf der Linie geteilt ist. Das wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

:

(Das Delta-Symbol, "Δ", wird in der Mathematik allgemein verwendet, "um Unterschied" oder "Änderung" zu bedeuten.)

In Anbetracht zwei Punkte (x, y) und (x, y), wird die Änderung in x von einem bis den anderen (geführt), während die Änderung in y ist (erheben sich). Das Ersetzen beider Mengen in die obengenannte Gleichung erzeugt die Formel:

: Die Formel scheitert für eine Linienparallele zur y Achse (sieh Abteilung durch die Null), wo der Hang als unendlich genommen werden kann.

Beispiele

Nehmen Sie an, dass eine Linie zwei Punkte durchbohrt: P = (1, 2) und Q = (13, 8). Indem man den Unterschied in Y-Koordinaten durch den Unterschied in X-Koordinaten teilt, kann man den Hang der Linie erhalten:

:

Als ein anderes Beispiel, denken Sie eine Linie, die die Punkte (4, 15) und (3, 21) durchbohrt. Dann ist der Hang der Linie

:

Geometrie

Je größer der absolute Wert eines Hangs, desto steiler die Linie. Eine horizontale Linie hat Hang 0, 45 ° steigende Linie hat einen Hang +1, und eine 45 fallende °-Linie hat einen Hang −1. Ein Hang einer vertikalen Linie ist unbestimmt.

Der Winkel θ eine Linie macht mit der positiven x Achse ist nah mit der SteigungsM über die Tangente-Funktion verbunden:

:

und

:

(sieh Trigonometrie).

Zwei Linien sind parallel, wenn, und nur wenn ihr Hang gleich ist und sie nicht zusammenfallend sind, oder wenn sie beide vertikal sind und deshalb unbestimmten Hang haben. Zwei Linien sind rechtwinklig, wenn das Produkt ihres Hangs −1 ist oder man einen Hang 0 hat (eine horizontale Linie) und der andere einen unbestimmten Hang (eine vertikale Linie) hat. Außerdem soll eine andere Weise, eine Lotlinie zu bestimmen, den Hang einer Linie finden und dann sein Gegenstück und dann umkehrend seines positiven oder negativen Zeichens zu bekommen (z.B eine Liniensenkrechte zu einer Linie des Hangs −2 ist +1/2).

Hang einer Straße oder Eisenbahn

:Main-Artikel: Rang (Hang), Rang-Trennung

Es gibt zwei allgemeine Weisen zu beschreiben, wie steil eine Straße oder Gleise sind. Man ist durch den Winkel in Graden, und der andere ist durch den Hang in einem Prozentsatz. Siehe auch Bergeisenbahn und strecken Sie Eisenbahn. Die Formeln, für einen Hang als ein Prozentsatz in einen Winkel in Graden umzuwandeln, und sind umgekehrt:

:und:

wo Winkel in Graden ist und die trigonometrischen Funktionen in Graden funktionieren. Zum Beispiel ist ein 100-%- oder 1000-%-Hang 45 °.

Ein dritter Weg ist aufzugeben eine Einheit des Anstiegs sagen 10, 20, 50 oder 100 horizontale Einheiten, z.B 1:10. 1:20, 1:50 oder 1:100 (usw.)..

File:Nederlands verkeersbord J6.svg|Slope Warnung des Zeichens in den Niederlanden

File:Znak_A-23.svg|Slope Zeichen in Polen warnend

File:Skloník-klesání.jpg|A 1371-Meter-Entfernung einer Gleise mit einem 20-%-Hang. Tschechien

File:Railway Anstieg-Post.jpg|Steam-Alterseisenbahnanstieg-Posten das Anzeigen eines Hangs in beiden Richtungen an der Bahnstation von Meols, das Vereinigte Königreich

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Algebra

Wenn y eine geradlinige Funktion von x ist, dann ist der Koeffizient von x der Hang der geschaffenen Linie durch das Plotten der Funktion. Deshalb, wenn die Gleichung der Linie in der Form gegeben wird

:

dann ist M der Hang. Diese Form einer Gleichung einer Linie wird die Steigungsabschnitt-Form genannt, weil b als der Y-Abschnitt der Linie, die Y-Koordinate interpretiert werden kann, wo die Linie die Y-Achse durchschneidet.

Wenn die SteigungsM einer Linie und eines Punkts (x, y) auf der Linie beide bekannt ist, dann kann die Gleichung der Linie mit der mit dem Punktsteigungsformel gefunden werden:

:

Denken Sie zum Beispiel eine Linie, die die Punkte durchbohrt (2, 8) und (3,20). Diese Linie hat einen Hang, M

:

Man kann dann die Gleichung der Linie in der mit dem Punktsteigungsform schreiben:

:

oder:

:

Der Hang der Linie, die durch die geradlinige Gleichung definiert ist

:

ist:.

Rechnung

Das Konzept eines Hangs ist zur Differenzialrechnung zentral. Für nichtlineare Funktionen ändert sich die Rate der Änderung entlang der Kurve. Die Ableitung der Funktion an einem Punkt ist der Hang der Linientangente zur Kurve am Punkt, und ist so der Rate der Änderung der Funktion an diesem Punkt gleich.

Wenn wir Δx lassen und Δy die Entfernungen (entlang dem x und den y Äxten, beziehungsweise) zwischen zwei Punkten auf einer Kurve, dann der Hang sind, der durch die obengenannte Definition, gegeben ist

:

ist der Hang einer schneidenden Linie zur Kurve. Für eine Linie ist die Sekante zwischen irgendwelchen zwei Punkten die Linie selbst, aber das ist nicht der Fall für jeden anderen Typ der Kurve.

Zum Beispiel ist der Hang der Sekante, die sich y = x an (0,0) und (3,9) schneidet, 3. (Der Hang der Tangente daran ist auch 3 — eine Folge des Mittelwertlehrsatzes.)

Indem

es die zwei Punkte zusammen näher gerückt wird, so dass Δy und Δx-Abnahme, die schneidende Linie näher einer Tangente-Linie zur Kurve, und als solcher der Hang der schneidenden Annäherungen diese der Tangente näher kommt. Mit der Differenzialrechnung können wir die Grenze oder den Wert bestimmen, dem sich Δy/Δx als Δy nähert, und Δx werden näher an der Null; hieraus folgt dass diese Grenze der genaue Hang der Tangente ist. Wenn y von x abhängig ist, dann ist es genügend, die Grenze zu nehmen, wo sich nur Δx Null nähert. Deshalb ist der Hang der Tangente die Grenze von Δy/Δx, weil sich Δx Null oder dy/dx nähert. Wir nennen diese Grenze die Ableitung.

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Siehe auch

• Der Anstieg ist eine Generalisation des Konzepts des Hangs für Funktionen von mehr als einer Variable.
• Steigungsdefinitionen
• Euklidische Entfernung
• Theil-Sen.-Vorkalkulator, eine Linie mit dem Mittelhang unter einer Reihe der Probe spitzt an

Außenverbindungen