In der Mathematik hat ein integrierter polytope ein verbundenes Polynom von Ehrhart, das die Beziehung zwischen dem Volumen eines polytope verschlüsselt und die Zahl der ganzen Zahl anspitzt, dass der polytope enthält. Die Theorie von Polynomen von Ehrhart kann als eine hoch-dimensionale Generalisation des Lehrsatzes der Auswahl im Euklidischen Flugzeug gesehen werden.

Diese Polynome werden nach Eugène Ehrhart genannt, der sie in den 1960er Jahren studiert hat.

Definition

Informell, wenn P ein Polyeder oder polytope ist, und tP der gebildete polytope durch die Erweiterung P durch einen Faktor von t in jeder Dimension ist, dann ist L (interne Nummer P, t) die Zahl von Gitter-Punkten der ganzen Zahl in tP.

Denken Sie mehr formell ein Gitter L im Euklidischen Raum R und einem d-dimensional polytope P in R und nehmen Sie an, dass alle Scheitelpunkte des polytope Punkte des Gitters sind. (Ein allgemeines Beispiel ist L = Z und ein polytope mit allen seinen Scheitelpunkt-Koordinaten, die ganze Zahlen sind.) Für jede positive ganze Zahl t, lassen Sie tP die t-fold Ausdehnung von P (der gebildete polytope sein, indem Sie jede Scheitelpunkt-Koordinate, in einer Basis für das Gitter, durch einen Faktor von t multiplizieren), und zu lassen

seien Sie die Zahl von in tP enthaltenen Gitter-Punkten. Ehrhart hat 1962 gezeigt, dass L ein vernünftiges Polynom des Grads d in t ist, d. h. dort bestehen Sie rationale Zahlen a..., ein solcher dass:

:L (P, t) = an + an + … + für alle positiven ganzen Zahlen t.

Das Ehrhart Polynom des Interieurs eines geschlossenen konvexen polytope P kann als geschätzt werden:

:L (interne Nummer P, t) = (−1) L (P, −t).

Beispiele

Wenn P ein d-dimensional Einheitshyperwürfel ist, dessen Scheitelpunkte sind Gitter-Punkt-alle der ganzen Zahl sind dessen Koordinaten 0 oder 1, dann ist die t-fold Ausdehnung von P ein Würfel mit der Seitenlänge t, (t + 1) Punkte der ganzen Zahl enthaltend. D. h. das Polynom von Ehrhart des Hyperwürfels ist L (P, t) = (t + 1).

Viele andere figurate Zahlen können als Polynome von Ehrhart ausgedrückt werden. Zum Beispiel werden die pyramidalen Quadratzahlen durch die Polynome von Ehrhart einer Quadratpyramide mit einem Einheitsquadrat der ganzen Zahl als seine Basis und mit der Höhe ein gegeben; das Polynom von Ehrhart ist in diesem Fall (t + 1) (t + 2) (2t + 3)/6.

Interpretation von Koeffizienten

Wenn P geschlossen wird (d. h. die Grenzgesichter P gehören), haben einige der Koeffizienten von L (P, t) eine leichte Interpretation:

• der Hauptkoeffizient, a, ist dem d-dimensional Volumen von P gleich, der durch d (L) geteilt ist (sieh Gitter für eine Erklärung des Inhalts oder covolume d (L) von einem Gitter);
• der zweite Koeffizient, a, kann wie folgt geschätzt werden: Das Gitter L veranlasst ein Gitter L auf jedem Gesicht F P; nehmen Sie (d−1) - dimensionales Volumen von F, teilen Sie sich durch den 2. (L), und fügen Sie jene Zahlen für alle Gesichter von P hinzu;
• der unveränderliche Koeffizient der Eigenschaft von Euler von P zu sein. Wenn P ein geschlossener konvexer polytope, = 1 ist.

Zusammenhängende Themen

Der Fall n = d = 2 und t = 1 dieser Behauptungen gibt den Lehrsatz der Auswahl nach. Formeln für die anderen Koeffizienten sind viel härter zu kommen; Klassen von Todd von toric Varianten, dem Lehrsatz von Riemann-Roch sowie der Analyse von Fourier sind für diesen Zweck verwendet worden.

Wenn X die toric Vielfalt entsprechend dem normalen Anhänger von P ist, dann definiert P ein großes Linienbündel auf X, und das Polynom von Ehrhart von P fällt mit dem Polynom von Hilbert dieses Linienbündels zusammen.

Siehe auch

• Quasipolynom

Referenzen

• . Führt die Analyse-Annäherung von Fourier ein und gibt Verweisungen auf andere zusammenhängende Artikel.
• . Definition und die ersten Eigenschaften.