In der Mathematik ist die Abteilung durch die Null Abteilung, wo der Teiler (Nenner) Null ist. Solch eine Abteilung kann als / 0 wo formell ausgedrückt werden der Dividende (Zähler) zu sein. Ob dieser Ausdruck zugeteilt werden kann, hängt ein bestimmter Wert von der mathematischen Einstellung ab. Im gewöhnlichen (reelle Zahl) Arithmetik hat der Ausdruck keine Bedeutung, weil es keine Zahl gibt, die, multipliziert mit 0, (a0) gibt, und so sagen wir, dass die Abteilung durch die Null unbestimmt ist. Historisch wird eine der frühsten registrierten Verweisungen auf die mathematische Unmöglichkeit, einen Wert / 0 zuzuteilen, in der Kritik von George Berkeley der unendlich kleinen Rechnung im Analytiker ("Geister von verstorbenen Mengen") enthalten.

In der Computerprogrammierung wird ein Versuch, eine Schwimmpunkt-Zahl durch die Null zu teilen, + - Unendlichkeit durch den IEEE 754 Schwimmpunkt-Standard, jedoch, abhängig von der Programmiersprache und dem Typ der Zahl (z.B ganze Zahl) führen durch die Null geteilt zu werden, es kann: Erzeugen Sie eine Ausnahme, erzeugen Sie eine Fehlermeldung, zertrümmern Sie das Programm, das wird durchführt, erzeugen Sie entweder positive oder negative Unendlichkeit, oder konnte auf einen speziellen Nicht-Zahl-Wert hinauslaufen.

In der elementaren Arithmetik

Wenn Abteilung am elementaren arithmetischen Niveau erklärt wird, wird es häufig als das Aufspalten einer Reihe von Gegenständen in gleiche Teile betrachtet. Als ein Beispiel, denken Sie, zehn Plätzchen zu haben, und diese Plätzchen sollen ebenso fünf Menschen bei einem Tisch verteilt werden. Jede Person würde = 2 Plätzchen erhalten. Ähnlich, wenn es 10 Plätzchen und nur eine Person beim Tisch gibt, würde diese Person = 10 Plätzchen erhalten.

So, um durch die Null zu teilen - wie ist die Zahl von Plätzchen, die jede Person erhält, wenn 10 Plätzchen unter 0 Menschen gleichmäßig verteilt werden? Bestimmte Wörter können in der Frage genau festgestellt werden, das Problem hervorzuheben. Das Problem mit dieser Frage ist "wenn". Es gibt keine Weise, 10 Plätzchen unter 0 Menschen zu verteilen. Im mathematischen Jargon eine Reihe können 10 Sachen nicht in 0 Teilmengen verteilt werden. Also, mindestens in der elementaren Arithmetik, wird gesagt, entweder sinnlos, oder unbestimmt zu sein.

Ähnliche Probleme kommen vor, wenn man 0 Plätzchen und 0 Menschen hat, aber dieses Mal ist das Problem im Ausdruck "die Zahl". Eine Teilung ist möglich (eines Satzes mit 0 Elementen in 0 Teile), aber da die Teilung 0 Teile hat, ausdruckslos hat jeder Satz in unserer Teilung eine gegebene Zahl der Elemente, es 0, 2, 5, oder 1000 sein.

Wenn es, sagen wir, 5 Plätzchen und 2 Menschen gibt, ist das Problem in "gleichmäßig verteilen". In jeder Teilung der ganzen Zahl eines 5-Sätze-in 2 Teile wird einer der Teile der Teilung mehr Elemente haben als der andere. Aber das Problem mit 5 Plätzchen und 2 Menschen kann durch den Ausschnitt eines Plätzchens entzwei behoben werden. Das Problem mit 5 Plätzchen und 0 Menschen kann in jedem Fall nicht behoben werden, der die Bedeutung dessen bewahrt, "teilt sich".

Eine andere Weise, auf die Abteilung durch die Null zu schauen, ist, dass Abteilung immer mit der Multiplikation überprüft werden kann. Wenn durch y geteilter x z gleichkommt, dann kommen z Zeiten y x gleich. Aber wenn y Null ist und x nicht Null ist, gibt es keinen solchen z. Wenn y Null ist und x auch Null ist, dann befriedigt jeder z das Multiplikationsproblem.

Frühe Versuche

Der Brahmasphutasiddhanta von Brahmagupta (598-668) ist der frühste bekannte Text, um Null als eine Zahl in seinem eigenen Recht zu behandeln und Operationen zu definieren, die mit Null verbunden sind. Der Autor hat jedoch in seinem Versuch gescheitert, Abteilung durch die Null zu erklären: Wie man leicht beweisen kann, führt seine Definition zu algebraischen Absurditäten. Gemäß Brahmagupta,

In 830 hat Mahavira erfolglos versucht, den Fehler von Brahmagupta in seinem Buch in Ganita Sara Samgraha zu korrigieren: "Eine Zahl bleibt unverändert, wenn geteilt, durch die Null."

Bhaskara II (1114-1185) hat versucht, das Problem durch das Definieren (in der modernen Notation) zu beheben. Diese Definition hat einen Sinn, wie besprochen, unten, aber kann zu Paradoxen führen wenn nicht hat sorgfältig behandelt. Diese Paradoxe wurden bis zu den modernen Zeiten nicht behandelt.

In der Algebra

Es wird allgemein unter Mathematikern betrachtet, dass eine natürliche Weise, Abteilung durch die Null zu interpretieren, zuerst Abteilung in Bezug auf andere arithmetische Operationen definieren soll. Laut der Standardregeln für die Arithmetik auf ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen, ist die Abteilung durch die Null unbestimmt. Die Abteilung durch die Null muss unbestimmt in jedem mathematischen System verlassen werden, das den Axiomen eines Feldes folgt. Der Grund besteht darin, dass Abteilung definiert wird, um der inverse Betrieb der Multiplikation zu sein. Das bedeutet, dass der Wert von a/b die Lösung x der Gleichung bx = ist, wann auch immer solch ein Wert besteht und einzigartig ist. Sonst wird der Wert unbestimmt verlassen.

Für b = 0, die Gleichung bx = eine Dose, als 0x = a oder einfach 0 = a umgeschrieben werden. So, in diesem Fall, die Gleichung bx = ein Haben keiner Lösung, wenn nicht gleich 0 zu sein, und einen x als eine Lösung wenn ein Gleichkommen 0 hat. In jedem Fall gibt es keinen einzigartigen Wert, ist unbestimmt auch. Umgekehrt, in einem Feld, wird der Ausdruck immer definiert, wenn b der Null nicht gleich ist.

Abteilung als das Gegenteil der Multiplikation

Das Konzept, das Abteilung in der Algebra erklärt, ist, dass es das Gegenteil der Multiplikation ist. Zum Beispiel,

:

seitdem 2 ist der Wert für der die unbekannte Menge in

:ist

wahr. Aber der Ausdruck

:

verlangt, dass ein Wert für die unbekannte Menge in gefunden wird

:

Aber jede Zahl, die mit 0 multipliziert ist, ist 0, und also gibt es keine Zahl, die die Gleichung löst.

Der Ausdruck

:verlangt, dass ein Wert für die unbekannte Menge in gefunden wird:

Wieder ist jede Zahl, die mit 0 multipliziert ist, 0, und so dieses Mal löst jede Zahl die Gleichung, anstatt dort eine einzelne Zahl zu sein, die als der Wert von 0/0 genommen werden kann.

Im Allgemeinen kann ein einzelner Wert nicht einem Bruchteil zugeteilt werden, wo der Nenner 0 ist, so bleibt der Wert unbestimmt (sieh unten für andere Anwendungen). 0/0 ist als unbestimmt bekannt.

Scheinbeweise auf der Abteilung durch die Null gestützt

Es ist möglich, einen speziellen Fall der Abteilung durch die Null in einem algebraischen Argument zu verkleiden, zu unechten Beweisen dass 1 = 2 wie der folgende führend:

Mit den folgenden Annahmen:

:

0\times 1 &= 0 \\

0\times 2 &= 0.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der folgende muss wahr sein:

:

Das Teilen durch die Null gibt:

:

Vereinfacht, Erträge:

:

Der Scheinbeweis ist die implizite Annahme, dass das Teilen durch 0 eine legitime Operation ist.

In der Rechnung

Verlängerte echte Linie

Auf den ersten Blick scheint es möglich, a/0 durch das Betrachten der Grenze von a/b zu definieren, weil sich b 0 nähert.

Für jeden positiven a ist die Grenze vom Recht

:

jedoch ist die Grenze vom links

:

und so unbestimmt zu sein (ist die Grenze auch für negativen a unbestimmt).

Außerdem gibt es keine offensichtliche Definition von 0/0, der aus dem Betrachten der Grenze eines Verhältnisses abgeleitet werden kann. Die Grenze

:

besteht nicht. Grenzen der Form

:

in dem sowohl (x) ƒ als auch g (x) sich Annäherung 0 als x 0 nähert, jedem echten oder unendlichen Wert gleichkommen kann, oder überhaupt, abhängig vom besonderen Funktions-ƒ und g nicht bestehen kann (sieh die Regierung von l'Hôpital für die Diskussion und Beispiele von Grenzen von Verhältnissen). Diese und anderen ähnlichen Tatsachen zeigen, dass der Ausdruck 0/0 als eine Grenze nicht bestimmt sein kann.

Formelle Operationen

Eine formelle Berechnung ist ausgeführte diejenige mit Regeln der Arithmetik, ohne Rücksicht dessen, ob das Ergebnis der Berechnung bestimmt ist. So ist es manchmal nützlich, an a/0, wo ein  0, als seiend zu denken. Diese Unendlichkeit kann entweder positiv, negativ, oder abhängig vom Zusammenhang nicht unterzeichnet sein. Zum Beispiel, formell:

:

Als mit jeder formellen Berechnung können ungültige Ergebnisse erhalten werden. Ein logisch strenger (im Vergleich mit dem formellen) Berechnung würde nur das behaupten

:

Da die einseitigen Grenzen verschieden sind, besteht die zweiseitige Grenze im Standardfachwerk der reellen Zahlen nicht. Außerdem wird der Bruchteil 1/0 unbestimmt in der verlängerten echten Linie, deshalb es und dem verlassen

:

sind sinnlose Ausdrücke.

Echte projektive Linie

Der Satz ist die echte projektive Linie, die ein ein Punkt compactification von der echten Linie ist. Hier bedeutet eine nicht unterzeichnete Unendlichkeit, eine unendliche Menge, die weder positiv noch negativ ist. Diese Menge befriedigt, der in diesem Zusammenhang notwendig ist. In dieser Struktur, kann für die Nichtnull a definiert werden, und. Es ist die natürliche Weise, die Reihe der Tangente und Kotangens-Funktionen der Trigonometrie anzusehen: Lohe (x) Annäherungen der einzelne Punkt an der Unendlichkeit als x nähert sich entweder oder von jeder Richtung.

Diese Definition führt zu vielen interessanten Ergebnissen. Jedoch ist die resultierende algebraische Struktur nicht ein Feld und sollte nicht erwartet werden, sich wie eines zu benehmen. Zum Beispiel, ist in der projektiven Linie unbestimmt.

Bereich von Riemann

Der Satz ist der Bereich von Riemann, der von Hauptwichtigkeit in der komplizierten Analyse ist. Hier ist auch eine nicht unterzeichnete Unendlichkeit - oder, weil sie häufig dieser Zusammenhang, der Punkt an der Unendlichkeit herbeigerufen wird. Dieser Satz ist der echten projektiven Linie analog, außer dass es auf dem Feld von komplexen Zahlen basiert. Im Bereich von Riemann, aber 0/0 ist unbestimmt, wie ist.

Verlängerte nichtnegative Linie der reellen Zahl

Die negativen reellen Zahlen, können und eingeführte Unendlichkeit verworfen werden, zum Satz [0, ] führend, wo die Abteilung durch die Null als a/0 =  für positiven a natürlich definiert werden kann. Während das Abteilung definiert in mehr Fällen macht als üblich, wird Subtraktion stattdessen unbestimmt in vielen Fällen verlassen, weil es keine negativen Zahlen gibt.

In der höheren Mathematik

Obwohl die Abteilung durch die Null mit reellen Zahlen und ganzen Zahlen nicht vernünftig definiert werden kann, ist es möglich, es, oder ähnliche Operationen in anderen mathematischen Strukturen durchweg zu definieren.

Sonderanalyse

In den hyperreellen Zahlen und den surrealen Zahlen ist die Abteilung durch die Null noch unmöglich, aber die Abteilung durch die Nichtnull infinitesimals ist möglich.

Vertriebstheorie

In der Vertriebstheorie kann man die Funktion zu einem Vertrieb auf dem ganzen Raum von reellen Zahlen (tatsächlich erweitern, indem man Hauptwerte von Cauchy verwendet). Es hat jedoch Sinn nicht, um einen 'Wert' dieses Vertriebs an x = 0 zu bitten; eine hoch entwickelte Antwort bezieht sich auf die einzigartige Unterstützung des Vertriebs.

Geradlinige Algebra

In der Matrixalgebra (oder geradlinigen Algebra im Allgemeinen) kann man eine Pseudoabteilung definieren, indem man a/b = ab untergeht, in dem b das Pseudogegenteil von b vertritt. Es kann das bewiesen werden, wenn b, dann b = b besteht. Wenn b 0, dann b = 0 gleich ist; sieh Verallgemeinertes Gegenteil.

Abstrakte Algebra

Jedes Zahl-System, das einen Ersatzring — zum Beispiel, die ganzen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen bildet — kann zu einem Rad erweitert werden, in dem die Abteilung durch die Null immer möglich ist; jedoch, in solch einem Fall, hat "Abteilung" eine ein bisschen verschiedene Bedeutung.

Die auf die Standardarithmetik angewandten Konzepte sind denjenigen in allgemeineren algebraischen Strukturen, wie Ringe und Felder ähnlich. In einem Feld ist jedes Nichtnullelement invertible unter der Multiplikation; als oben wirft Abteilung Probleme auf, wenn nur sie versucht, sich durch die Null zu teilen. Das ist in einem verdrehen Feld ebenfalls wahr (der aus diesem Grund einen Abteilungsring genannt wird). Jedoch, in anderen Ringen, kann die Abteilung durch Nichtnullelemente auch Probleme aufwerfen. Zum Beispiel, der Ring Z/6Z von ganzen Zahlen mod 6. Die Bedeutung des Ausdrucks sollte die Lösung x der Gleichung sein. Aber im Ring ist Z/6Z, 2 nicht invertible unter der Multiplikation. Diese Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen, x = 1 und x = 4, so ist der Ausdruck unbestimmt.

In der Feldtheorie ist der Ausdruck nur Schnellschrift für den formellen Ausdruck ab, wo b das multiplicative Gegenteil von b ist. Da die Feldaxiome nur die Existenz solcher Gegenteile für Nichtnullelemente versichern, hat dieser Ausdruck keine Bedeutung, wenn b Null ist. Moderne Texte schließen das Axiom 0  1 ein, um zu vermeiden, den trivialen Ring oder ein "Feld mit einem Element" denken zu müssen, wo die multiplicative Identität mit der zusätzlichen Identität zusammenfällt.

In der Computerarithmetik

Der IEEE Schwimmpunkt-Standard, der durch fast alle modernen Schwimmpunkt-Einheiten unterstützt ist, gibt an, dass jede Schwimmpunkt-Arithmetik-Operation, einschließlich der Abteilung durch die Null, ein bestimmtes Ergebnis hat. Die Standardunterstützungen haben Null, sowie Unendlichkeit und NaN (nicht eine Zahl) unterzeichnet. Es gibt zwei zeroes, +0 (positive Null) und 0 (negative Null), und das entfernt jede Zweideutigkeit, wenn es sich teilt. In IEEE 754 Arithmetik ist ein ÷ +0 positive Unendlichkeit wenn positiver, negativer Unendlichkeit wenn zu sein, negativ, und NaN wenn = ±0 zu sein. Die Unendlichkeit unterzeichnet Änderung, wenn sie sich durch 0 stattdessen teilt.

Die Abteilung der ganzen Zahl durch die Null wird gewöhnlich verschieden davon behandelt, Punkt schwimmen zu lassen, da es keine Darstellung der ganzen Zahl für das Ergebnis gibt. Einige Verarbeiter erzeugen eine Ausnahme, wenn ein Versuch gemacht wird, eine ganze Zahl durch die Null zu teilen, obwohl andere einfach fortsetzen und ein falsches Ergebnis für die Abteilung erzeugen werden. Das Ergebnis hängt ab, wie Abteilung durchgeführt wird, und entweder Null, oder manchmal die größtmögliche ganze Zahl sein kann.

Wegen der unpassenden algebraischen Ergebnisse, jeden Wert der Abteilung durch die Null zuzuteilen, verbieten viele Computerprogrammiersprachen (einschließlich derjenigen, die durch Rechenmaschinen verwendet sind) ausführlich, die Ausführung der Operation und können ein Programm vorzeitig halten, das es versucht, manchmal teilt sich das Berichten "Durch den" Nullfehler. In diesen Fällen, wenn etwas spezielles Verhalten für die Abteilung durch die Null gewünscht wird, muss die Bedingung (zum Beispiel, mit wenn Behauptung) ausführlich geprüft werden. Einige Programme (besonders diejenigen, die Festkommaarithmetik verwenden, wo keine hingebungsvolle Schwimmpunkt-Hardware verfügbar ist) werden dem IEEE Standard ähnliches Verhalten mit großen positiven und negativen Zahlen verwenden, um Unendlichkeit näher zu kommen. Auf einigen Programmiersprachen läuft ein Versuch, sich durch die Null zu teilen, auf unbestimmtes Verhalten hinaus.

In der Ergänzungsarithmetik von two wird Versuchen, die kleinste unterzeichnete ganze Zahl dadurch zu teilen, durch ähnliche Probleme beigewohnt, und wird mit derselben Reihe von Lösungen von ausführlichen Fehlerbedingungen bis unbestimmtes Verhalten behandelt.

Die meisten Rechenmaschinen werden entweder einen Fehler zurückgeben oder feststellen, dass 1/0 jedoch unbestimmt ist, werden ein TI und HP-Rechenmaschinen der grafisch darstellenden (1/0) zu  bewerten.

Fortgeschrittenere Computeralgebra-Systeme werden eine Unendlichkeit infolgedessen für die Abteilung durch die Null zurückgeben; zum Beispiel werden Microsoft Math und Mathematica ein Ergebnis von ComplexInfinity zeigen.

Historische Unfälle

• Am 21. September 1997 hat ein Teilen durch den Nullfehler an Bord das Vereinigte Staaten Schiff Yorktown (CG 48) der Entfernte Datengrundbetriebsleiter alle Maschinen im Netz heruntergebracht, das Antrieb-System des Schiffs veranlassend, zu scheitern..

Siehe auch

• Asymptote
• Definierter und unbestimmter
• Unbestimmte Form
• Nullteiler

Kommentare

• Patrick Suppes 1957 (1999 Ausgabe von Dover), Einführung in die Logik, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. Internationale Standardbuchnummer 0-486-40687-3 (pbk).. Dieses Buch ist im Druck und sogleich verfügbar. Der §8.5 von Suppes Das Problem der Abteilung durch die Null beginnt diesen Weg: "Dass alles nicht für das beste darin am besten aller möglichen Welten sogar in der Mathematik ist, wird durch das lästige Problem gut illustriert, die Operation der Abteilung in der elementaren Theorie der Arithmetik zu definieren" (p. 163). In seinem §8.7 Fünf Annäherungen an die Abteilung durch die Null bemerkt er, dass "... es keine gleichförmig befriedigende Lösung gibt" (p. 166)
• Charles Seife 2000, Null: Die Lebensbeschreibung einer Gefährlichen Idee, Pinguin-Bücher, New Yorks, internationale Standardbuchnummer 0 14 02.9647 6 (pbk).. Dieses preisgekrönte Buch ist sehr zugänglich. Zusammen mit der faszinierenden Geschichte (für einige) ein abhorent Begriff und andere ein kultureller Aktivposten, beschreibt, wie Null in Bezug auf die Multiplikation und Abteilung falsch angebracht wird.
• Alfred Tarski 1941 (1995 Ausgabe von Dover), Einführung in die Logik und in die Methodik von Deduktiven Wissenschaften, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. Internationale Standardbuchnummer 0 486 28462 X (pbk).. Die §53 Definitionen von Tarski, deren definiendum das Identitätszeichen enthält, besprechen, wie Fehler (mindestens in Bezug auf die Null) gemacht werden. Er beendet sein Kapitel" (Eine Diskussion dieses ziemlich schwierigen Problems [genau eine Zahl, die einen definiens] befriedigt, wird here. * weggelassen)" (p. 183). * weist zur Übung #24 hin (p. 189), worin er um einen Beweis des folgenden bittet: "Im Abschnitt 53 wurde die Definition der Nummer '0' über ein Beispiel festgesetzt. Um sicher zu sein, führt diese Definition zu keinem Widerspruch, ihr sollte durch den folgenden Lehrsatz vorangegangen werden: Dort besteht genau eine solche Nummer x, dass, für jede Nummer y, man hat: y + x = y"

Weiterführende Literatur

• Jakub Czajko (Juli 2004) "", Verwirrung, Solitons und Fractals, Band 21, Nummer 2, Seiten 261-271.
• Um mit der Kontinuität Metaphysica 6 Fortzusetzen, haben Seiten 91-109, eine Philosophie-Zeitung von 2005, (alter Inder) Idee von einer anwendbaren ganzen Zahl wiedereingeführt, die 1/0 in einem moderneren (Cantorian) Stil gleich ist.