In der Mathematik ist eine Reihe von Taylor eine Darstellung einer Funktion als eine unendliche Summe von Begriffen, die von den Werten der Ableitungen der Funktion an einem einzelnen Punkt berechnet werden.

Das Konzept einer Reihe von Taylor wurde vom englischen Mathematiker Brook Taylor 1715 formell eingeführt. Wenn die Reihe von Taylor an der Null in den Mittelpunkt gestellt wird, dann wird diese Reihe auch eine Reihe von Maclaurin, genannt nach dem schottischen Mathematiker Colin Maclaurin genannt, der umfassenden Gebrauch dieses speziellen Falls der Reihe von Taylor im 18. Jahrhundert gemacht hat.

Es ist übliche Praxis, um einer Funktion durch das Verwenden einer begrenzten Zahl von Begriffen seiner Reihe von Taylor näher zu kommen. Der Lehrsatz von Taylor gibt quantitative Schätzungen auf dem Fehler in dieser Annäherung. Jede begrenzte Zahl von anfänglichen Begriffen der Reihe von Taylor einer Funktion wird ein Polynom von Taylor genannt. Die Reihe von Taylor einer Funktion ist die Grenze der Polynome von Taylor dieser Funktion, vorausgesetzt, dass die Grenze besteht. Eine Funktion kann seiner Reihe von Taylor nicht gleich sein, selbst wenn seine Reihe von Taylor an jedem Punkt zusammenläuft. Eine Funktion, die seiner Reihe von Taylor in einem offenen Zwischenraum gleich ist (oder eine Scheibe im komplizierten Flugzeug) ist als eine analytische Funktion bekannt.

Definition

Die Reihe von Taylor einer echten oder komplizierten Funktion (x) ƒ, der ungeheuer differentiable in einer Nachbarschaft einer reellen Zahl oder komplexer Zahl ist der Macht-Reihe zu sein

:

der in der kompakteren Sigma-Notation als geschrieben werden kann

:

wo n! zeigt den factorial von n an, und ƒ zeigt (a) die n-te Ableitung von ƒ an, der am Punkt a bewertet ist. Die Ableitung von Ordnungsnull-ƒ wird definiert, um ƒ selbst und und 0 zu sein! werden beide definiert, um 1 zu sein. Im Fall, dass die Reihe auch eine Reihe von Maclaurin genannt wird.

Beispiele

Die Maclaurin Reihe für jedes Polynom ist das Polynom selbst.

Die Maclaurin Reihe für für |x |

so ist die Reihe von Taylor für x daran

:Indem

wir die obengenannte Reihe von Maclaurin integrieren, finden wir die Reihe von Maclaurin dafür, wo Klotz den natürlichen Logarithmus anzeigt:

:

und die entsprechende Reihe von Taylor für den Klotz (x) daran ist

:

und mehr allgemein ist die entsprechende Reihe von Taylor für den Klotz (x) an einigen:

Die Reihe von Taylor für die Exponentialfunktion e an = 0 ist

:

Die obengenannte Vergrößerung hält, weil die Ableitung von e in Bezug auf x auch e ist und e 1 gleich ist. Das verlässt die Begriffe im Zähler und n im Nenner für jeden Begriff in der unendlichen Summe.

Geschichte

Der griechische Philosoph Zeno hat das Problem gedacht, eine unendliche Reihe zu summieren, um ein begrenztes Ergebnis zu erreichen, aber hat es als eine Unmöglichkeit zurückgewiesen: Das Ergebnis war das Paradox von Zeno. Später hat Aristoteles eine philosophische Entschlossenheit des Paradoxes vorgeschlagen, aber der mathematische Inhalt, war bis aufgenommen, durch Democritus und dann Archimedes anscheinend ungelöst. Es war durch die Methode von Archimedes der Erschöpfung, dass eine unendliche Zahl von progressiven Unterteilungen durchgeführt werden konnte, um ein begrenztes Ergebnis zu erreichen. Liu Hui hat unabhängig eine ähnliche Methode ein paar Jahrhunderte später verwendet.

Im 14. Jahrhundert wurden die frühsten Beispiele des Gebrauches der Reihe von Taylor und nah verwandten Methoden von Madhava von Sangamagrama angeführt. Obwohl keine Aufzeichnung seiner Arbeit überlebt, weisen Schriften von späteren Indianermathematikern darauf hin, dass er mehrere spezielle Fälle der Reihe von Taylor, einschließlich derjenigen für die trigonometrischen Funktionen von Sinus, Kosinus, Tangente und arctangent gefunden hat. Die Kerala Schule der Astronomie und Mathematik hat weiter seine Arbeiten mit verschiedenen Reihenentwicklungen und vernünftigen Annäherungen bis zum 16. Jahrhundert ausgebreitet.

Im 17. Jahrhundert hat James Gregory auch in diesem Gebiet gearbeitet und hat mehrere Reihen von Maclaurin veröffentlicht. Erst als 1715 jedoch, dass eine allgemeine Methode, um diese Reihen für alle Funktionen zu bauen, für die sie bestehen, schließlich von Brook Taylor zur Verfügung gestellt wurde, nach dem die Reihen jetzt genannt werden.

Die Reihe von Maclaurin wurde nach Colin Maclaurin, einem Professor in Edinburgh genannt, der den speziellen Fall des Ergebnisses von Taylor im 18. Jahrhundert veröffentlicht hat.

Analytische Funktionen

Wenn f (x) durch eine konvergente Macht-Reihe in einer offenen Scheibe (oder Zwischenraum in der echten Linie) in den Mittelpunkt gestellt an b gegeben wird, wie man sagt, ist es in dieser Scheibe analytisch. So für x in dieser Scheibe wird f durch eine konvergente Macht-Reihe gegeben

:

Das Unterscheiden durch x die obengenannten Zeiten der Formel n, dann das Setzen x=b geben:

:

und so die Macht-Reihenentwicklung mit der Reihe von Taylor übereinstimmt. So ist eine Funktion in einer offenen an b in den Mittelpunkt gestellten Scheibe analytisch, wenn, und nur wenn seine Reihe von Taylor zum Wert der Funktion an jedem Punkt der Scheibe zusammenläuft.

Wenn f (x) seiner Reihe von Taylor überall gleich ist, wird es komplett genannt. Die Polynome und die Exponentialfunktion e und der trigonometrische Funktionssinus und Kosinus sind Beispiele von kompletten Funktionen. Beispiele von Funktionen, die nicht komplett sind, schließen den Logarithmus, die trigonometrische Funktionstangente und sein Gegenteil arctan ein. Für diese Funktionen laufen die Reihen von Taylor nicht zusammen, wenn x von b weit ist. Reihe von Taylor kann verwendet werden, um den Wert einer kompletten Funktion in jedem Punkt zu berechnen, wenn der Wert der Funktion, und aller seiner Ableitungen, an einem einzelnen Punkt bekannt ist.

Der Gebrauch der Reihe von Taylor für analytische Funktionen schließt ein:

1. Die teilweisen Summen (die Polynome von Taylor) der Reihe können als Annäherungen der kompletten Funktion verwendet werden. Diese Annäherungen sind gut, wenn genug viele Begriffe eingeschlossen werden.
2. Unterscheidung und Integration der Macht-Reihe können Begriff durch den Begriff durchgeführt werden und sind folglich besonders leicht.
3. Eine analytische Funktion wird zu einer Holomorphic-Funktion auf einer offenen Platte im komplizierten Flugzeug einzigartig erweitert. Das stellt die Maschinerie der komplizierten Analyse bereit.
4. Die (gestutzte) Reihe kann verwendet werden, um Funktionswerte numerisch, (häufig durch das Umgießen des Polynoms in die Form von Tschebyscheff und das Auswerten davon mit dem Algorithmus von Clenshaw) zu schätzen.
5. Algebraische Operationen können sogleich auf der Macht-Reihe-Darstellung getan werden; zum Beispiel folgt die Formel von Euler aus Reihenentwicklungen von Taylor für trigonometrische und Exponentialfunktionen. Dieses Ergebnis ist von grundsätzlicher Wichtigkeit in solchen Feldern wie harmonische Analyse.
6. Annäherungen, die die ersten paar Begriffe einer Reihe von Taylor gebrauchen, können sonst unlösbare für ein eingeschränktes Gebiet mögliche Probleme machen; diese Annäherung wird häufig in der Physik verwendet

Annäherung und Konvergenz

Zum Beispiel für eine Funktion, die von zwei Variablen, x und y abhängt, ist die Reihe von Taylor zur zweiten Ordnung über den Punkt (a, b):

:\begin {richten }\aus

f (x, y) & \approx f (a, b) + (x-a) \, f_x (a, b) + (y-b) \, f_y (a, b) \\

& {}\\Viererkabel + \frac {1} {2! }\\ist [(x-a) ^2 \, f_ {xx} (a, b) + 2 (x-a) (y-b) \, f_ {xy} (a, b) + (y-b) ^2 \, f_ {yy} (a, b) \right], abgereist

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo die Subschriften die jeweiligen partiellen Ableitungen anzeigen.

Eine zweite Ordnung Reihenentwicklung von Taylor einer skalargeschätzten Funktion von mehr als einer Variable kann kompakt als geschrieben werden

:

\, </Mathematik>

wo der Anstieg von bewerteten daran ist und die Jute-Matrix ist. Wenn sie die Mehrindex-Notation anwendet, wird die Reihe von Taylor für mehrere Variablen

:

der als eine noch mehr abgekürzte Mehrindex-Version der ersten Gleichung dieses Paragrafen wieder in der vollen Analogie zum einzelnen variablen Fall verstanden werden soll.

Beispiel

Schätzen Sie eine zweite Ordnung Reihenentwicklung von Taylor um den Punkt einer Funktion

:

Erstens schätzen wir alle partiellen Ableitungen wir brauchen

:::::

Die Reihe von Taylor ist

:

&+ \frac {1} {2! }\\ist [(x-a) ^2 \, f_ {xx} (a, b) + 2 (x-a) (y-b) \, f_ {xy} (a, b) + (y-b) ^2 \, f_ {yy} (a, b) \right] + abgereist

\cdots \,\end {richten} </Mathematik> {aus}

der in diesem Fall wird

:

&= y + xy - \frac {y^2} {2} + \cdots. \end {richten }\aus

</Mathematik>

Seitdem ist in |y analytisch

weil |y darauf 2007 geantwortet hat. Durch das Verwenden von Caputo Bruchableitung,

:

Siehe auch

• Reihe von Laurent
• Die geteilte Unterschied-Interpolation des Newtons
• Reihe von Madhava

Referenzen

Links

• Madhava von Sangamagramma
• Reihe-Darstellungsmodul von Taylor durch John H. Mathews
• "Diskussion der Methode von Parker-Sochacki"
• Eine andere Visualisierung von Taylor - wo Sie den Punkt der Annäherung und die Zahl von Ableitungen wählen können
• Reihe von Taylor, die für numerische Methoden an Numerischen Methoden für den STAMM-Studenten wieder besucht ist

• Aschenputtel 2: Vergrößerung von Taylor
• Reihe von Taylor
• Umgekehrte trigonometrische Funktionen Reihe von Taylor