Pauli matrices sind eine Reihe drei 2 × 2 Komplex matrices, die Hermitian und einheitlich sind. Gewöhnlich angezeigt durch das griechische Brief-Sigma (σ) werden sie gelegentlich mit einem tau (τ), wenn verwendet, im Zusammenhang mit isospin symmetries angezeigt. Sie sind:

:

\sigma_1 = \sigma_x =

\begin {pmatrix }\

0&1 \\

1&0

\end {pmatrix }\

</Mathematik>:

\sigma_2 = \sigma_y =

\begin {pmatrix }\

0&-i \\

i&0

\end {pmatrix }\</Mathematik>:

\sigma_3 = \sigma_z =

\begin {pmatrix }\

1&0 \\

0&-1

\end {pmatrix }\</Mathematik>

Diese matrices wurden dadurch verwendet, dann nach, der Physiker österreichischen Ursprungs Wolfgang Pauli (1900-1958), in seiner 1925-Studie der Drehung in der Quant-Mechanik genannt.

Jede Pauli Matrix ist Hermitian, und zusammen mit der Identität I (hat manchmal die zeroth Matrix von Pauli gedacht), Pauli matrices messen den vollen Vektorraum 2x2 Hermitian matrices ab. Auf der Sprache der Quant-Mechanik hermitian sind matrices observables, so messen Pauli matrices den Raum von observables des 2-dimensionalen komplizierten Raums von Hilbert ab. Im Zusammenhang der Arbeit von Pauli, ist das erkennbare entsprechend der Drehung entlang der Koordinatenachse darin.

Pauli matrices (nachdem Multiplikation durch mich, um sie anti-hermitian zu machen), erzeugen Sie auch Transformationen im Sinne Lüge-Algebra: Die matrices bilden eine Basis für, der exponentiates zur Drehungsgruppe, und für die identische Lüge-Algebra, der exponentiates zur Lüge-Gruppe von Folgen des 3-dimensionalen Raums. Außerdem ist die durch die drei matrices erzeugte Algebra dem 3-dimensionalen Euklidischen echten Clifford Algebra isomorph.

Algebraische Eigenschaften

:

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 =-i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin {pmatrix} 1&0 \\0&1 \end {pmatrix} = ich </Mathematik>

wo ich die Identitätsmatrix bin, d. h. die matrices involutory sind.

• Die Determinanten und Spuren von Pauli matrices sind:

::

Vom obengenannten können wir ableiten, dass die eigenvalues jedes σ ±1 sind.

• Zusammen mit der Identitätsmatrix I (der manchmal als σ geschrieben wird) bilden Pauli matrices eine orthogonale Basis, im Sinne Hilbert-Schmidts, für den echten Raum von Hilbert 2 &times; 2 komplizierte Hermitian matrices oder der komplizierte Raum von Hilbert aller 2 &times; 2 matrices.

Eigenvektoren und eigenvalues

Jeder von (hermitian) Pauli matrices hat zwei eigenvalues, +1 und 1. Die entsprechenden normalisierten Eigenvektoren sind:

:

\begin {Reihe} {lclc }\

\psi_ {x +} = \displaystyle\frac {1} {\\sqrt {2} }\\! \! \! \! \! & \begin {pmatrix} {1 }\\\{1 }\\Ende {pmatrix}, & \psi_ {x-} = \displaystyle\frac {1} {\\sqrt {2} }\\! \! \! \! \! & \begin {pmatrix} {1 }\\\{-1 }\\Ende {pmatrix}, \\

\psi_ {y +} = \displaystyle\frac {1} {\\sqrt {2} }\\! \! \! \! \! & \begin {pmatrix} {1 }\\\{ich }\\Ende {pmatrix}, & \psi_ {y-} = \displaystyle\frac {1} {\\sqrt {2} }\\! \! \! \! \! & \begin {pmatrix} {1 }\\\{-i }\\Ende {pmatrix}, \\

\psi_ {z +} = & \begin {pmatrix} {1 }\\\{0 }\\Ende {pmatrix}, & \psi_ {z-} = & \begin {pmatrix} {0 }\\\{1 }\\Ende {pmatrix}.

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Vektor von Pauli

Der Pauli Vektor wird durch definiert

:

und stellt einen kartografisch darstellenden Mechanismus von einer Vektor-Basis bis eine Matrixbasis von Pauli wie folgt zur Verfügung

:

\begin {richten }\aus

\vec {ein} \cdot \vec {\\Sigma} &= (a_i \hat {x} _i) \cdot (\sigma_j \hat {x} _j) \\

&= a_i \sigma_j \hat {x} _i \cdot \hat {x} _j \\

&= a_i \sigma_i

\end {richten }\aus

</Mathematik>

(Summierung über Indizes einbezogen). Bemerken Sie, dass in diesem mit der Vektor-Operation von Pauli punktierten Vektoren Pauli matrices in einem Skalar wie Mode behandelt werden, mit den Vektor-Basiselementen pendelnd.

Umwandlungsbeziehungen

Pauli matrices folgen der folgenden Umwandlung und den Antiumwandlungsbeziehungen:

::

wo das Symbol von Levi-Civita ist, ist das Delta von Kronecker, und ich bin die Identitätsmatrix.

Die obengenannten zwei Beziehungen sind gleichwertig zu:

:.

Zum Beispiel,

:

\sigma_1\sigma_2 &= i\sigma_3, \\

\sigma_2\sigma_3 &= i\sigma_1, \\

\sigma_2\sigma_1 &=-i\sigma_3, \\

\sigma_1\sigma_1 &= I. \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und die zusammenfassende Gleichung für die Umwandlungsbeziehungen kann verwendet werden, um zu beweisen

:

: (als lange als die Vektoren pendeln a und b mit dem pauli matrices)

sowie

:

dafür.

:

Bemerken Sie zuerst das für sogar Mächte

:

aber für sonderbare Mächte

:

Verbinden Sie diese zwei Tatsachen mit den Kenntnissen der Beziehung des Exponential-zum Sinus und Kosinus:

:

Der, wenn wir verwenden

gibt uns

::::

Die Summe ist links Kosinus, und die Summe ist rechts Sinus so schließlich,

:

Vollständigkeitsbeziehung

Eine alternative Notation, die für Pauli matrices allgemein verwendet wird, soll den Vektor-Index im Exponenten und die Matrixindizes als Subschriften schreiben, so dass das Element in der Reihe und Säule der Matrix von Pauli ist.

In dieser Notation kann die Vollständigkeitsbeziehung für Pauli matrices geschrieben werden

:

Die Tatsache, dass Pauli matrices, zusammen mit der Identitätsmatrix, eine orthogonale Basis für den komplizierten Raum von Hilbert aller 2 &times bilden; 2 matrices bedeuten, dass wir jede Matrix als ausdrücken können

:

wo eine komplexe Zahl ist, und ein komplizierter 3-Bestandteile-Vektor ist. Es ist aufrichtig, um sich mit den Eigenschaften zu zeigen, die oben, das verzeichnet sind

:

wo die Spur, und folglich das anzeigt und.

Das gibt deshalb

:

der in Bezug auf Matrixindizes als umgeschrieben werden kann

:

wo Summierung über die wiederholten Indizes einbezogen wird und. Da das für jede Wahl der Matrix wahr ist, folgt die Vollständigkeitsbeziehung wie oben angegeben.

Wie bemerkt, oben ist es üblich, die Einheitsmatrix durch, so anzuzeigen. Die Vollständigkeitsbeziehung kann deshalb als wechselweise ausgedrückt werden

:.

Beziehung mit dem Versetzungsmaschinenbediener

Lassen Sie, die Versetzung (Umstellung, wirklich) zwischen zwei Drehungen zu sein und im Tensor-Produktraum lebend. Dieser Maschinenbediener kann als geschrieben werden, weil der Leser leicht nachprüfen kann.

SU (2)

Die Matrixgruppe SU (2) ist eine Lüge-Gruppe und seine Lüge-Algebra, ist der Satz des anti-Hermitian 2&times;2 matrices mit der Spur 0. Direkte Berechnung zeigt, dass die Lüge-Algebra su (2) die 3 dimensionale echte Algebra ist, die durch den Satz {} abgemessen ist. In Symbolen,

:

Infolgedessen kann s als unendlich kleine Generatoren von SU (2) gesehen werden.

Eine Cartan Zergliederung von SU (2)

Da SU (2) eine Kompaktgruppe ist, ist seine Zergliederung von Cartan trivial.

SO (3)

Die Lüge-Algebra su (2) ist zur Lüge-Algebra so (3) isomorph, der der Lüge-Gruppe SO (3), der Gruppe von Folgen im dreidimensionalen Raum entspricht. Mit anderen Worten kann man sagen, dass 's eine Verwirklichung (und, tatsächlich, die niedrig-dimensionale Verwirklichung) unendlich kleiner Folgen im dreidimensionalen Raum sind. Jedoch, wenn auch su (2) und so (3) isomorph sind, wie Algebra Liegen, sind SU (2) und SO (3) nicht isomorph, wie Gruppen Liegen. SU (2) ist wirklich ein doppelter Deckel SO (3), bedeutend, dass es zwei zu einem Homomorphismus von SU (2) zu SO (3) gibt.

Quaternions

Die echte geradlinige Spanne dessen ist zur echten Algebra von quaternions H isomorph. Der Isomorphismus von H bis diesen Satz wird durch die folgende Karte gegeben (bemerken Sie, dass das umgekehrte Pauli matrices bestätigt):

:

1 \mapsto I, \quad

ich \mapsto - ich \sigma_1, \quad

j \mapsto - ich \sigma_2, \quad

k \mapsto - ich \sigma_3.

</Mathematik>

Wechselweise kann der Isomorphismus durch eine Karte mit Pauli matrices in der umgekehrten Ordnung, erreicht werden

:1 \mapsto I, \quad

ich \mapsto i \sigma_3, \quad

j \mapsto i \sigma_2, \quad

k \mapsto i \sigma_1.

</Mathematik>

Da der quaternions der Einheitsnorm zu SU (2) gruppenisomorph ist, gibt das noch eine andere Weise, SU (2) über Pauli matrices zu beschreiben. Zwei zu einem kann der Homomorphismus von SU (2) zu SO (3) auch in Bezug auf Pauli matrices in dieser Formulierung ausführlich gegeben werden.

Quaternions bilden eine Abteilungsalgebra — jedes Nichtnullelement hat ein Gegenteil — wohingegen Pauli matrices nicht tun. Weil eine quaternionic Version der durch Pauli matrices erzeugten Algebra biquaternions sieht, der eine ehrwürdige Algebra von acht echten Dimensionen ist.

Physik

Quant-Mechanik

• In der Quant-Mechanik ist jede Matrix von Pauli mit einem Maschinenbediener verbunden, der einem erkennbaren Beschreiben der Drehung einer Drehung &frac12 entspricht; Partikel, in jeder der drei Raumrichtungen. Außerdem als eine unmittelbare Folge der Zergliederung von Cartan, die oben erwähnt ist, sind die Generatoren der Folge, die nichtrelativistischen Partikeln mit der Drehung ½ folgt. Der Staat der Partikeln wird als Zwei-Bestandteile-spinors vertreten. Ein interessantes Eigentum der Drehung, die ½ Partikeln sind, dass sie durch einen Winkel 4 rotieren gelassen werden müssen, um zu ihrer ursprünglichen Konfiguration zurückzukehren. Das ist wegen zwei zu einem Ähnlichkeit zwischen SU (2) und SO (3) erwähnt oben, und die Tatsache, dass, obwohl man sich Drehung/unten als der nördliche/südliche Pol auf dem 2-Bereiche-S vergegenwärtigt, sie wirklich durch orthogonale Vektoren im zwei dimensionalen komplizierten Raum von Hilbert vertreten werden.
• Für eine Drehungspartikel wird durch den Drehungsmaschinenbediener gegeben. Es ist möglich, Generalisationen von Pauli matrices zu bilden, um höhere Drehungssysteme in drei Raumdimensionen zu beschreiben. Die Drehung matrices für die Drehung 1 und Drehung wird unten gegeben:

::

J_x = \frac {\\hbar} {\\sqrt {2} }\

\begin {pmatrix }\

0&1&0 \\

1&0&1 \\

0&1&0

\end {pmatrix }\</Mathematik>:

J_y = \frac {\\hbar} {\\sqrt {2} }\

\begin {pmatrix }\

0&-i&0 \\

i&0&-i \\

0&i&0

\end {pmatrix }\</Mathematik>:

J_z = \hbar

\begin {pmatrix }\

1&0&0 \\

0&0&0 \\

0&0&-1

\end {pmatrix }\</Mathematik>::

J_x = \frac\hbar2

\begin {pmatrix }\

0& \sqrt {3} &0&0 \\

\sqrt {3} &0&2&0 \\

0&2&0& \sqrt {3 }\\\

0&0& \sqrt {3}

&0 \end {pmatrix }\</Mathematik>:

J_y = \frac\hbar2

\begin {pmatrix }\

0&-i \sqrt {3} &0&0 \\

i\sqrt {3} &0&-2i&0 \\

0&2i&0&-i \sqrt {3 }\\\

0&0&i \sqrt {3}

&0 \end {pmatrix }\</Mathematik>:

J_z = \frac\hbar2

\begin {pmatrix }\

3&0&0&0 \\

0&1&0&0 \\

0&0&-1&0 \\

0&0&0&-3

\end {pmatrix}.

</Mathematik>

• Auch nützlich in der Quant-Mechanik von Mehrpartikel-Systemen wird die Gruppe von General Pauli G definiert, um aus allen n-fold Tensor-Produkten von Pauli matrices zu bestehen.
• Die Tatsache dass irgendwelche 2 &times; 2 komplizierte Hermitian matrices können in Bezug auf die Identitätsmatrix ausgedrückt werden, und Pauli matrices führt auch zur Bereich-Darstellung von Bloch 2 &times; 2 Mischstaaten (2 &times; 2 positive halbbestimmte matrices mit der Spur 1). Das kann einfach zuerst das Schreiben einer Matrix von Hermitian gesehen werden, weil eine echte geradlinige Kombination {σ, σ, σ, σ} dann das positive halbbestimmte auferlegt und 1 Annahmen verfolgt.

Quant-Information

• In der Quant-Information sind einzelne-qubit Quant-Tore 2 &times; 2 einheitliche matrices. Pauli matrices sind einige der wichtigsten einzelnen-qubit Operationen. In diesem Zusammenhang wird die Zergliederung von Cartan, die oben gegeben ist, die Z-Y Zergliederung eines einzelnen-qubit Tors genannt. Die Auswahl eines verschiedenen Paares von Cartan gibt eine ähnliche X-Y Zergliederung eines einzelnen-qubit Tors.

Siehe auch

• Winkeliger Schwung
• Gell-Mann matrices
• Generalisationen von Pauli matrices
• Gruppe von Poincaré
• Gleichung von Pauli

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