In der Mathematik, dem Punktprodukt oder Skalarprodukt ist eine algebraische Operation, die zwei Folgen der gleichen Länge von Zahlen (gewöhnlich koordinierte Vektoren) nimmt und eine einzelne erhaltene Zahl durch das Multiplizieren entsprechender Einträge und dann das Summieren jener Produkte zurückgibt. Der Name "Punktprodukt" wird aus dem in den Mittelpunkt gestellten Punkt "" abgeleitet, der häufig verwendet wird, um diese Operation zu benennen; der alternative Name "Skalarprodukt" betont den Skalar (aber nicht Vektor) Natur des Ergebnisses.

Wenn zwei Euklidische Vektoren in Bezug auf Koordinatenvektoren auf einer orthonormalen Basis ausgedrückt werden, ist das Skalarprodukt vom ersteren dem Punktprodukt der Letzteren gleich. Für allgemeinere Vektorräume, während sowohl das innere als auch das Punktprodukt in verschiedenen Zusammenhängen definiert werden können (zum Beispiel mit komplexen Zahlen als Skalare) können ihre Definitionen in diesen Zusammenhängen nicht zusammenfallen.

Im dreidimensionalen Raum hebt sich das Punktprodukt vom Kreuzprodukt ab, das einen Vektoren als Ergebnis erzeugt. Das Punktprodukt ist direkt mit dem Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren im Euklidischen Raum jeder Zahl von Dimensionen verbunden.

Definition

Das Punktprodukt von zwei Vektoren = [a, a...,] und b = [b, b..., b] wird als definiert:

:

wo Σ Summierungsnotation anzeigt und n die Dimension des Vektorraums ist.

In der Dimension 2 ist das Punktprodukt von Vektoren [a, b] und [c, d] ac + bd.

Ähnlich in einer Dimension 3 ist das Punktprodukt von Vektoren [a, b, c] und [d, e, f] Anzeige +, + vgl sein.

Zum Beispiel ist das Punktprodukt von zwei dreidimensionalen Vektoren [1, 3, 5] und [4, 2, 1]

:

[1, 3,-5] \cdot [4,-2,-1]

(1) (4) + (3) (-2) + (-5) (-1)

4 - 6 + 5

3.

</Mathematik>

In Anbetracht zwei Spaltenvektoren kann ihr Punktprodukt auch durch das Multiplizieren des Umstellens eines Vektoren mit dem anderen Vektoren und das Extrahieren des einzigartigen Koeffizienten der resultierenden Matrix erhalten werden. Die Operation, den Koeffizienten solch einer Matrix herauszuziehen, kann als Einnahme seiner Determinante oder seiner Spur geschrieben werden (der dasselbe Ding für matrices ist); seitdem im Allgemeinen, wann auch immer oder gleichwertig eine Quadratmatrix ist, kann man schreiben

:

= \det (\mathbf {ein} ^ {\\mathrm {T} }\\mathbf {b})

= \det (\mathbf {b} ^ {\\mathrm {T} }\\mathbf)

= \mathrm {tr} (\mathbf {ein} ^ {\\mathrm {T} }\\mathbf {b})

= \mathrm {tr} (\mathbf {b} ^ {\\mathrm {T} }\\mathbf)

= \mathrm {tr} (\mathbf {ein }\\mathbf {b} ^ {\\mathrm {T}})

= \mathrm {tr} (\mathbf {b }\\mathbf {ein} ^ {\\mathrm {T}}) </Mathematik>

Mehr allgemein ist der Koeffizient (ich, j) eines Produktes von matrices das Punktprodukt des Umstellens der Reihe i der ersten Matrix und Spalte j der zweiten Matrix.

Geometrische Interpretation

In der Euklidischen Geometrie ist das Punktprodukt von in einer orthonormalen Basis ausgedrückten Vektoren mit ihrer Länge und Winkel verbunden. Für solch einen Vektoren ist das Punktprodukt das Quadrat der Länge (Umfang), angezeigt durch:

:

Wenn ein anderer solcher Vektor ist, und der Winkel zwischen ihnen ist:

:

Diese Formel kann umgeordnet werden, um die Größe des Winkels zwischen zwei Nichtnullvektoren zu bestimmen:

:

Die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz versichert, dass das Argument dessen gültig ist.

Man kann auch zuerst die Vektoren zu Einheitsvektoren umwandeln, indem man sich durch ihren Umfang teilt:

:

dann wird der Winkel durch gegeben

:

Die Endpunkte von beiden Einheitsvektoren liegen auf dem Einheitskreis. Der Einheitskreis ist, wo die trigonometrischen Werte für die sechs Hemmschuh-Funktionen gefunden werden. Nach dem Ersatz ist der erste Vektor-Bestandteil Kosinus, und der zweite Vektor-Bestandteil ist Sinus, d. h. für einen Winkel. Das Punktprodukt der zwei Einheitsvektoren nimmt dann und für Winkel und und kehrt wo zurück.

Da der Kosinus von 90 ° Null ist, ist das Punktprodukt von zwei orthogonalen Vektoren immer Null. Außerdem können zwei Vektoren orthogonal betrachtet werden, wenn, und nur wenn ihr Punktprodukt Null ist, und sie nichtungültige Länge haben. Dieses Eigentum stellt eine einfache Methode zur Verfügung, die Bedingung von orthogonality zu prüfen.

Manchmal werden diese Eigenschaften auch verwendet, für das Punktprodukt besonders in 2 und 3 Dimensionen "zu definieren"; diese Definition ist zu über einer gleichwertig. Für höhere Dimensionen kann die Formel verwendet werden, um das Konzept des Winkels zu definieren.

Die geometrischen Eigenschaften verlassen sich auf der Basis, die, d. h. zusammengesetzt aus pairwise rechtwinkligen Vektoren mit der Einheitslänge orthonormal ist.

Skalarvorsprung

Wenn beide und Länge eine haben (d. h. sie sind Einheitsvektoren), ihr Punktprodukt gibt einfach den Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Wenn nur ein Einheitsvektor ist, dann gibt das Punktprodukt, d. h., der Umfang des Vorsprungs in der Richtung auf, mit minus das Zeichen, wenn die Richtung entgegengesetzt ist. Das wird den Skalarvorsprung auf oder Skalarbestandteil in der Richtung darauf genannt (sieh Zahl). Dieses Eigentum des Punktproduktes hat mehrere nützliche Anwendungen (zum Beispiel, sieh folgende Abteilung).

Wenn weder noch ein Einheitsvektor ist, dann ist der Umfang des Vorsprungs in der Richtung darauf, wie der Einheitsvektor in der Richtung darauf ist.

Folge

Wenn eine orthonormale Basis, dass der Vektor in Bezug darauf vertreten wird, rotieren gelassen wird, 'die s Matrix in der neuen Basis durch das Multiplizieren mit einer Folge-Matrix erhalten wird. Diese Matrixmultiplikation ist gerade eine Kompaktdarstellung einer Folge von Punktprodukten.

Lassen Sie zum Beispiel

• und seien Sie zwei verschiedene orthonormale Basen desselben Raums mit dem erhaltenen, indem Sie gerade, rotieren
• vertreten Sie Vektoren in Bezug auf,
• vertreten Sie denselben Vektoren in Bezug auf die rotieren gelassene Basis,
• , die rotieren gelassenen Basisvektoren, vertreten in Bezug darauf sein.

Dann wird die Folge von dazu wie folgt durchgeführt:

:

\begin {bmatrix} u_x & u_y & u_z \\v_x & v_y & v_z \\w_x & w_y & w_z \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} a_x \\a_y \\a_z \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix} \bold u_1\cdot\bold a_1 \\\bold v_1\cdot\bold a_1 \\\bold w_1\cdot\bold a_1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} a_u \\a_v \\a_w \end {bmatrix}.

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass die Folge-Matrix durch das Verwenden der rotieren gelassenen Basisvektoren als seine Reihen gesammelt wird, und diese Vektoren Einheitsvektoren sind. Definitionsgemäß, besteht aus einer Folge von Punktprodukten zwischen jeder der drei Reihen und Vektoren. Jedes dieser Punktprodukte bestimmt einen Skalarbestandteil in der Richtung auf einen rotieren gelassenen Basisvektoren (sieh vorherige Abteilung).

Wenn ein Zeilenvektor, aber nicht ein Spaltenvektor ist, dann die rotieren gelassenen Basisvektoren in seinen Säulen enthalten muss und postmultiplizieren muss:

:

\begin {bmatrix} a_x & a_y & a_z \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} u_x & v_x & w_x \\u_y & v_y & w_y \\u_z & v_z & w_z \end {bmatrix} =

\begin {bmatrix} \bold u_1\cdot\bold a_1 & \bold v_1\cdot\bold a_1 & \bold w_1\cdot\bold a_1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} a_u & a_v & a_w \end {bmatrix}.

</Mathematik>

Physik

In der Physik ist Vektor-Umfang ein Skalar im physischen Sinn, d. h. einer physischen Menge, die des Koordinatensystems unabhängig ist, ausgedrückt als das Produkt eines numerischen Werts und einer physischen Einheit, nicht nur eine Zahl. Das Punktprodukt ist auch ein Skalar in diesem Sinn, der durch die Formel gegeben ist, die des Koordinatensystems unabhängig ist.

Beispiel:

• Mechanische Arbeit ist das Punktprodukt der Kraft und Versetzungsvektoren.
• Magnetischer Fluss ist das Punktprodukt des magnetischen Feldes und der Bereichsvektoren.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften halten, ob a, b, und c echte Vektoren sind und r ein Skalar ist.

Das Punktprodukt ist auswechselbar:

:

Das Punktprodukt ist über die Vektor-Hinzufügung verteilend:

:

Das Punktprodukt ist bilinear:

:

= r (\mathbf {ein} \cdot \mathbf {b}) + (\mathbf {ein} \cdot \mathbf {c}).

</Mathematik>

Wenn multipliziert, mit einem Skalarwert befriedigt Punktprodukt:

:

(diese letzten zwei Eigenschaften folgen aus den ersten zwei).

Zwei Nichtnullvektoren a und b sind wenn und nur wenn a orthogonal · b = 0.

Verschieden von der Multiplikation von gewöhnlichen Zahlen, wo wenn ab = ac, dann kommt b immer c gleich, wenn Null nicht ist, folgt das Punktprodukt dem Annullierungsgesetz nicht:

: Wenn a · b = a · c und ein  0 dann können wir schreiben: a · (b  c) = 0 nach dem verteilenden Gesetz; das Ergebnis sagt oben, dass das gerade bedeutet, dass darauf rechtwinklig ist (b  c), der noch (b  c)  0, und deshalb b  c erlaubt.

Vorausgesetzt, dass die Basis orthonormal ist, ist das Punktprodukt invariant unter isometrischen Änderungen der Basis: Folgen, Nachdenken und Kombinationen, den Ursprung behaltend, befestigt. Die obengenannte erwähnte geometrische Interpretation verlässt sich auf dieses Eigentum. Mit anderen Worten, für einen orthonormalen Raum mit jeder Zahl von Dimensionen, ist das Punktprodukt invariant unter einer auf einer orthogonalen Matrix gestützten Koordinatentransformation. Das entspricht den folgenden zwei Bedingungen:

• Die neue Basis ist wieder orthonormal (d. h. es ist ausgedrückt im alten orthonormal).
• Die neuen Grundvektoren haben dieselbe Länge wie die alten (d. h., Einheitslänge in Bezug auf die alte Basis).

Wenn a und b Funktionen, dann die Ableitung von a sind · b ist' · b + a · b'

Dreifache Produktvergrößerung

Das ist eine sehr nützliche Identität (auch bekannt als die Formel von Lagrange) das Beteiligen des Punkts - und Kreuzprodukte. Es wird als geschrieben

:

der leichter ist, sich als "BAC minus das TAXI" zu erinnern, beachtend, welche Vektoren zusammen punktiert werden. Diese Formel wird allgemein verwendet, um Vektor-Berechnungen in der Physik zu vereinfachen.

Beweis der geometrischen Interpretation

Denken Sie das Element von R

:

Die wiederholte Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes trägt für seine Länge |v

:

Aber das ist dasselbe als

:

so beschließen wir, dass die Einnahme des Punktproduktes eines Vektoren v mit sich die karierte Länge des Vektoren nachgibt.

Lemma 1:

Denken Sie jetzt zwei Vektoren a und b, der sich vom Ursprung ausstreckt, der durch einen Winkel θ getrennt ist. Ein dritter Vektor c kann als definiert werden

:

ein Dreieck mit Seiten a, b, und c schaffend. Gemäß dem Gesetz von Kosinus haben wir

:Gegen

Punktprodukte die karierten Längen gemäß dem Lemma 1 auswechselnd, bekommen wir

:

\mathbf {c} \cdot \mathbf {c }\

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {ein }\

+ \mathbf {b} \cdot \mathbf {b }\

- 2 | \mathbf {ein} ||\mathbf {b} | \cos\theta. \,

</Mathematik> (1)

Aber als c  ein  b haben wir auch

: \mathbf {c} \cdot \mathbf {c }\

(\mathbf - \mathbf {b}) \cdot (\mathbf - \mathbf {b}) \, </Mathematik>,

den, gemäß dem verteilenden Gesetz, zu ausbreitet

: \mathbf {c} \cdot \mathbf {c }\

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {ein }\

+ \mathbf {b} \cdot \mathbf {b }\

- 2 (\mathbf {ein} \cdot \mathbf {b}). \,

</Mathematik> (2)

Das Mischen der zwei c · c Gleichungen, (1) und (2), erhalten wir

:

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {ein }\

+ \mathbf {b} \cdot \mathbf {b }\

- 2 (\mathbf {ein} \cdot \mathbf {b})

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {ein }\

+ \mathbf {b} \cdot \mathbf {b }\- 2 | \mathbf {ein} ||\mathbf {b} | \cos\theta. \,</Mathematik>

a Abstriche machend · + b · b von beiden Seiten und dem Teilen durch 2 Blätter

:

Q.E.D.

Generalisation

Echte Vektorräume

Das Skalarprodukt verallgemeinert das Punktprodukt zu abstrakten Vektorräumen über die reellen Zahlen und wird gewöhnlich dadurch angezeigt. Genauer, wenn ein zu Ende Vektorraum ist, ist das Skalarprodukt eine Funktion. Infolge der geometrischen Interpretation des Punktproduktes wird die Norm || eines Vektoren in solch einem Skalarprodukt-Raum als definiert

:

solch, dass es Länge und den Winkel θ zwischen zwei Vektoren a und b durch verallgemeinert

:

Insbesondere zwei Vektoren werden orthogonal betrachtet, wenn ihr Skalarprodukt Null ist

:

Komplizierte Vektoren

Für Vektoren mit komplizierten Einträgen, mit der gegebenen Definition des Punktproduktes würde zu ziemlich verschiedenen geometrischen Eigenschaften führen. Zum Beispiel kann das Punktprodukt eines Vektoren mit sich eine willkürliche komplexe Zahl sein, und kann Null ohne den Vektoren sein, der der Nullvektor ist; das würde der Reihe nach strenge Folgen für Begriffe wie Länge und Winkel haben. Viele geometrische Eigenschaften, können auf Kosten des Aufgebens der symmetrischen und bilinearen Eigenschaften des Skalarprodukts, durch das alternative Definieren geborgen werden

:

wo der von b verbundene Komplex ist. Dann ist das Skalarprodukt jedes Vektoren mit sich eine nichtnegative reelle Zahl, und es ist Nichtnull abgesehen vom Nullvektoren. Jedoch ist dieses Skalarprodukt in b nicht geradlinig (aber paaren Sie sich eher geradlinig), und das Skalarprodukt ist auch, seitdem nicht symmetrisch

:

Der Winkel zwischen zwei komplizierten Vektoren wird dann durch gegeben

:

Dieser Typ des Skalarprodukts ist dennoch ziemlich nützlich, und führt zu den Begriffen der Form von Hermitian und von allgemeinen Skalarprodukt-Räumen.

Das Frobenius Skalarprodukt verallgemeinert das Punktprodukt zu matrices. Es wird als die Summe der Produkte der entsprechenden Bestandteile von zwei matrices definiert dieselbe Größe zu haben.

Generalisation zum Tensor

Das Punktprodukt zwischen einem Tensor des Auftrags n und einem Tensor der Ordnung M ist ein Tensor der Ordnung n+m-2. Das Punktprodukt wird durch das Multiplizieren und das Summieren über einen einzelnen Index in beidem Tensor berechnet. Wenn und zwei Tensor mit der Element-Darstellung sind und die Elemente des Punktproduktes durch gegeben werden

:

Diese Definition nimmt natürlich zum Standardvektor-Punktprodukt, wenn angewandt, auf Vektoren und Matrixmultiplikation, wenn angewandt, auf matrices ab.

Gelegentlich wird ein doppeltes Punktprodukt verwendet, um das Multiplizieren und Summieren über zwei Indizes zu vertreten. Das doppelte Punktprodukt zwischen zwei 2. Ordnungstensor ist eine Skalarmenge.

Siehe auch

• Ungleichheit von Cauchy-Schwarz
• Matrixmultiplikation

Links

• Erklärung des Punktproduktes einschließlich mit komplizierten Vektoren
• "Punktprodukt" durch Bruce Torrence, Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.