Die Delta-Funktion von Dirac oder δ-Funktion, ist (informell) eine verallgemeinerte Funktion auf der Linie der reellen Zahl, die Null überall außer an der Null, mit einem Integral von einem über die komplette echte Linie ist. Von der Delta-Funktion wird manchmal als eine ungeheuer hohe, ungeheuer dünne Spitze am Ursprung, mit dem Gesamtgebiet ein unter der Spitze gedacht, und vertreten physisch eine idealisierte Punkt-Masse oder Punkt-Anklage. Es wurde vom theoretischen Physiker Paul Dirac eingeführt. Im Zusammenhang des Signals, das es bearbeitet, wird häufig das Einheitsimpuls-Symbol (oder Funktion) genannt. Sein getrenntes Analogon ist die Delta-Funktion von Kronecker, die gewöhnlich auf einem begrenzten Gebiet definiert wird und Werte 0 und 1 nimmt.

Aus einem rein mathematischen Gesichtspunkt ist das Delta von Dirac nicht ausschließlich eine Funktion, weil jede verlängert-echte Funktion, die der Null überall, aber einem einzelnen Punkt gleich ist, integrierte Gesamtnull haben muss. Die Delta-Funktion hat nur Sinn als ein mathematischer Gegenstand, wenn es innerhalb eines Integrals erscheint. Während von dieser Perspektive das Delta von Dirac gewöhnlich manipuliert werden kann, als ob es eine Funktion war, formell muss es als ein Vertrieb definiert werden, der auch ein Maß ist. In vielen Anwendungen wird das Delta von Dirac als eine Art Grenze (eine schwache Grenze) einer Folge von Funktionen betrachtet, die eine hohe Spitze am Ursprung haben. Die näher kommenden Funktionen der Folge sind so "ungefähre" oder "werdende" Delta-Funktionen.

Übersicht

Vom Graphen der Delta-Funktion wird gewöhnlich als im Anschluss an die ganze X-Achse und die positive Y-Achse gedacht. Trotz seines Namens ist die Delta-Funktion nicht aufrichtig eine Funktion, mindestens nicht eine übliche mit dem Gebiet in reals. Zum Beispiel sind die Gegenstände f (x) = δ (x) und g (x) = 0 überall außer an x = 0 gleich noch haben Integrale, die verschieden sind. Gemäß der Lebesgue Integrationstheorie, wenn f und g solche Funktionen sind, dass f = g fast überall, dann f integrable ist, wenn, und nur wenn g integrable und die Integrale von f und g ist, identisch sind. Die strenge Behandlung des Deltas von Dirac verlangt Maß-Theorie oder die Theorie des Vertriebs.

Das Dirac Delta wird verwendet, um eine hohe schmale Spitze-Funktion (ein Impuls), und andere ähnliche Abstraktionen wie eine Punkt-Anklage zu modellieren, Massen- oder Elektronpunkt anzuspitzen. Zum Beispiel, um die Dynamik eines Baseballs zu berechnen, der durch eine Fledermaus wird schlägt, kann man der Kraft der Fledermaus näher kommen, die den Baseball nach einer Delta-Funktion schlägt. Dabei, ein vereinfacht nicht nur die Gleichungen, aber man ist auch im Stande, die Bewegung des Baseballs zu berechnen, indem man nur den Gesamtimpuls der Fledermaus gegen den Ball denkt, anstatt Kenntnisse der Details dessen zu verlangen, wie die Fledermaus Energie dem Ball übertragen hat.

In der angewandten Mathematik wird die Delta-Funktion häufig als eine Art Grenze (eine schwache Grenze) von einer Folge von Funktionen manipuliert, von denen jedes Mitglied eine hohe Spitze am Ursprung hat: Zum Beispiel hat eine Folge des Vertriebs von Gaussian am Ursprung mit der Abweichung im Mittelpunkt gestanden, die zur Null neigt.

Eine unendlich kleine Formel für eine ungeheuer hohe, Einheitsimpuls-Delta-Funktion (unendlich kleine Version des Vertriebs von Cauchy) erscheint ausführlich in einem 1827-Text von Augustin Louis Cauchy. Siméon Denis Poisson hat das Problem im Zusammenhang mit der Studie der Welle-Fortpflanzung gedacht, wie Gustav Kirchhoff etwas später getan hat. Kirchhoff und Hermann von Helmholtz haben auch den Einheitsimpuls als eine Grenze von Gaussians eingeführt, der auch dem Begriff von Herrn Kelvin einer Punkt-Hitzequelle entsprochen hat. Am Ende des 19. Jahrhunderts hat Oliver Heaviside formelle Reihe von Fourier verwendet, um den Einheitsimpuls zu manipulieren. Die Delta-Funktion von Dirac als solcher wurde eingeführt, weil eine "günstige Notation" von Paul Dirac seinen einflussreichen 1927 Grundsätze der Quant-Mechanik vorbestellt. Er hat es die "Delta-Funktion" genannt, seitdem er es als eine dauernde Entsprechung des getrennten Deltas von Kronecker verwendet hat.

Definitionen

Vom Dirac Delta kann als eine Funktion auf der echten Linie lose gedacht werden, die Null überall außer am Ursprung ist, wo es, unendlich

ist:

und der auch beschränkt wird, die Identität zu befriedigen

:

Das ist bloß eine heuristische Charakterisierung. Das Dirac Delta ist nicht eine Funktion im traditionellen Sinn, weil keine auf den reellen Zahlen definierte Funktion diese Eigenschaften hat. Die Dirac Delta-Funktion kann entweder als ein Vertrieb oder als ein Maß streng definiert werden.

Als ein Maß

Eine Weise, die Delta-Funktion streng zu definieren, ist als ein Maß, das als ein Argument eine Teilmenge von der echten Linie R akzeptiert, und δ (A) = 1 wenn 0  A und δ (A) = 0 sonst zurückgibt. Wenn die Delta-Funktion als das Modellieren einer idealisierten Punkt-Masse an 0 begrifflich gefasst wird, dann vertritt δ (A) die Masse, die im Satz A enthalten ist. Man kann dann das Integral gegen δ als das Integral einer Funktion gegen diesen Massenvertrieb definieren. Formell stellt integrierter Lebesgue das notwendige analytische Gerät zur Verfügung. Das Lebesgue Integral in Bezug auf das Maß δ befriedigt

:

für den ganzen dauernden kompakt unterstützten Funktions-ƒ. Das Maß δ ist in Bezug auf das Maß von Lebesgue - tatsächlich nicht absolut dauernd, es ist ein einzigartiges Maß. Folglich hat das Delta-Maß keine Radon-Nikodym Ableitung - keine wahre Funktion für der das Eigentum

:

hält. Infolgedessen ist die letzte Notation ein günstiger Missbrauch der Notation und nicht ein Standard (Riemann oder Lebesgue) integriert.

Als ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R wird das Delta-Maß durch seine kumulative Vertriebsfunktion charakterisiert, die die Einheitsschritt-Funktion ist

:

\begin {Fälle }\

1 & \text {wenn} x\ge 0 \\

0 & \text {wenn} x

Das bedeutet, dass H (x) das Integral der kumulativen Anzeigefunktion 1 in Bezug auf das Maß δ ist; zum Witz,

:

So insbesondere kann das Integral der Delta-Funktion gegen eine dauernde Funktion als integrierter Stieltjes richtig verstanden werden:

:

Alle höheren Momente von δ sind Null. Insbesondere charakteristische Funktion und Moment-Erzeugen-Funktion sind beide einer gleich.

Als ein Vertrieb

In der Theorie des Vertriebs wird von einer verallgemeinerten Funktion nicht als eine Funktion selbst, aber nur in Bezug darauf gedacht, wie es andere Funktionen betrifft, wenn es gegen sie "integriert" wird. In Übereinstimmung mit dieser Philosophie, um das Delta zu definieren, fungieren richtig, es ist genug zu sagen, wie das "Integral" der Delta-Funktion gegen eine "genug gute" Testfunktion ist. Wenn die Delta-Funktion bereits als ein Maß verstanden wird, dann liefert Lebesgue, der einer Testfunktion gegen dieses Maß integriert ist, das notwendige Integral.

Ein typischer Raum von Testfunktionen besteht aus allen glatten Funktionen auf R mit der Kompaktunterstützung. Als ein Vertrieb ist das Delta von Dirac ein geradliniger funktioneller auf dem Raum von Testfunktionen und wird durch definiert

weil jeder Test φ fungiert.

Für δ, um richtig ein Vertrieb zu sein, muss es in einem passenden Sinn "dauernd" sein. Im Allgemeinen, für einen geradlinigen funktionellen S auf dem Raum des Tests fungiert, um einen Vertrieb zu definieren, es ist notwendig und dass genügend, für jede positive ganze Zahl N gibt es eine ganze Zahl M und ein unveränderlicher solcher C, dass für jede Testfunktion φ man die Ungleichheit hat

:

Mit dem δ Vertrieb hat man solch eine Ungleichheit (mit C = 1) mit der M = 0 für den ganzen N. So ist δ ein Vertrieb der Ordnungsnull. Es, ist außerdem, ein Vertrieb mit der Kompaktunterstützung (die Unterstützung, die {0} ist).

Der Delta-Vertrieb kann auch auf mehrere gleichwertige Weisen definiert werden. Zum Beispiel ist es die Verteilungsableitung der Schritt-Funktion von Heaviside. Das bedeutet, dass, für jede Testfunktion φ, man hat

:

Intuitiv, wenn die Integration durch Teile erlaubt wurde, dann sollte das letzte Integral zu vereinfachen

:

und tatsächlich wird eine Form der Integration durch Teile für Stieltjes integriert erlaubt, und in diesem Fall hat man wirklich

:

Im Zusammenhang der Maß-Theorie verursacht das Maß von Dirac einen Vertrieb durch die Integration. Umgekehrt definiert Gleichung Daniell, der auf dem Raum aller kompakt unterstützten dauernden Funktionen φ integriert ist, der, durch den Darstellungslehrsatz von Riesz, als Lebesgue vertreten werden kann, der von φ in Bezug auf ein Maß von Radon integriert ist.

Generalisationen

Die Delta-Funktion kann im n-dimensional Euklidischen Raum R als das solches Maß dass definiert werden

:

für jeden kompakt unterstützten dauernden Funktions-ƒ. Als ein Maß ist die n-dimensional Delta-Funktion das Produktmaß der 1-dimensionalen Delta-Funktionen in jeder Variable getrennt. So, formell, mit x = (x, x..., x), hat man

Die Delta-Funktion kann auch im Sinne des Vertriebs genau als oben im eindimensionalen Fall definiert werden. Jedoch, trotz des weit verbreiteten Gebrauches in Technikzusammenhängen, sollte mit der Sorge manipuliert werden, da das Produkt des Vertriebs nur unter ziemlich schmalen Verhältnissen definiert werden kann.

Der Begriff eines Maßes von Dirac hat Sinn auf jedem Satz überhaupt. So, wenn X ein Satz ist, x  X ist ein gekennzeichneter Punkt, und Σ ist jede Sigma-Algebra von Teilmengen X, dann das Maß, das auf Sätzen Ein  Σ durch definiert ist

:

1 &\\rm {if\} x_0\in \\

0 &\\rm {if\} x_0\notin Ein

\end {Fälle }\

</Mathematik>

ist das Delta-Maß oder die an x konzentrierte Einheitsmasse.

Eine andere allgemeine Generalisation der Delta-Funktion ist zu einer Differentiable-Sammelleitung, wo die meisten seiner Eigenschaften als ein Vertrieb auch wegen der differentiable Struktur ausgenutzt werden können. Die Delta-Funktion auf einer mannigfaltigen M hat am Punkt x  im Mittelpunkt gestanden M wird als der folgende Vertrieb definiert:

für alle kompakt unterstützten glatten reellwertigen Funktionen φ auf der M. Ein allgemeiner spezieller Fall dieses Aufbaus ist, wenn M ein offener Satz im Euklidischen Raum R ist.

Auf einem lokal kompakten Raum von Hausdorff X ist das Delta-Maß von Dirac, das an einem Punkt x konzentriert ist, das Maß von Radon, das mit Daniell vereinigt ist, integriert auf kompakt unterstützten dauernden Funktionen φ. An diesem Niveau der Allgemeinheit ist die Rechnung als solcher jedoch nicht mehr möglich eine Vielfalt von Techniken von der abstrakten Analyse ist verfügbar. Zum Beispiel kartografisch darzustellen, ist ein dauerndes Einbetten X in den Raum von begrenzten Maßnahmen von Radon auf X, ausgestattet mit seiner vagen Topologie. Außerdem ist der konvexe Rumpf des Images X unter diesem Einbetten im Raum von Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen auf X dicht.

Eigenschaften

Das Schuppen und Symmetrie

Die Delta-Funktion befriedigt das folgende kletternde Eigentum für einen Nichtnullskalar α:

:

\int_ {-\infty} ^\\infty \delta (u) \, \frac {du }\

\frac {1} </Mathematik>

und so

Insbesondere die Delta-Funktion ist ein gleicher Vertrieb, im Sinn das

:

der vom Grad &minus;1. homogen

ist

Algebraische Eigenschaften

Das Verteilungsprodukt von δ mit x ist der Null gleich:

:

Umgekehrt, wenn xf (x) = xg (x), wo f und g Vertrieb, dann sind

:

für einen unveränderlichen c.

Übersetzung

Durch das Integral des zeitverzögerten Deltas von Dirac wird gegeben:

:

Das wird manchmal das durchrieselnde Eigentum oder das ausfallende Eigentum genannt. Wie man sagt, siebt die Delta-Funktion" den Wert daran ".

Hieraus folgt dass die Wirkung von convolving eine Funktion &fnof; (t) mit dem zeitverzögerten Delta von Dirac ist zum Verzögerungs-ƒ (t) durch denselben Betrag:

:

Das meint unter der genauen Bedingung, dass f ein gehärteter Vertrieb ist (sieh die Diskussion des Fouriers um sich unten zu verwandeln). Als ein spezieller Fall, zum Beispiel, haben wir die Identität (verstanden im Vertriebssinn)

:

Zusammensetzung mit einer Funktion

Mehr allgemein kann der Delta-Vertrieb mit einer glatten Funktion g (x) auf solche Art und Weise zusammengesetzt werden, den die vertraute Änderung der Variable-Formel, das hält

:

vorausgesetzt, dass g unaufhörlich differentiable Funktion mit g&prime ist; nirgends Null. D. h. es gibt eine einzigartige Weise, Bedeutung dem Vertrieb zuzuteilen, so dass diese Identität für den ganzen kompakt unterstützten Testfunktions-ƒ hält. Dieser Vertrieb befriedigt δ (g (x)) = 0, wenn g nirgends Null, und sonst ist, wenn g eine echte Wurzel an x, dann hat

:

Es ist deshalb natürlich, die Zusammensetzung δ (g (x)) für unaufhörlich differentiable Funktionen g durch zu definieren

:

wo sich die Summe über alle Wurzeln von g (x) ausstreckt, die, wie man annimmt, einfach sind. So, zum Beispiel

:

In der integrierten Form kann das verallgemeinerte kletternde Eigentum als geschrieben werden

:

\int_ {-\infty} ^\\infty f (x) \, \delta (g (x)) \, dx

\sum_ {ich }\\frac {f (x_i) }\

</Mathematik>

Eigenschaften in n Dimensionen

Der Delta-Vertrieb in einem n-dimensional Raum befriedigt das folgende kletternde Eigentum stattdessen:

:

so dass δ ein homogener Vertrieb des Grads &minus;n ist. Unter jedem Nachdenken oder Folge ρ ist die Delta-Funktion invariant:

:

Als im Ein-Variable-Fall ist es möglich, die Zusammensetzung von δ mit einer Bi-Lipschitz-Funktion g zu definieren: R  R einzigartig so dass die Identität

:

für den ganzen kompakt unterstützten Funktions-ƒ.

Mit der coarea Formel aus der geometrischen Maß-Theorie kann man auch die Zusammensetzung der Delta-Funktion mit einem Untertauchen von einem Euklidischem Raum bis eine andere der verschiedenen Dimension definieren; das Ergebnis ist ein Typ des Stroms. Im speziellen Fall unaufhörlich fungieren differentiable g: R  R solch, dass der Anstieg von g nirgends Null ist, hält die folgende Identität

:

\int_ {\\mathbb {R} ^n} f (\mathbf {x}) \, \delta (g (\mathbf {x})) \, d\mathbf {x }\

\int_ {g^ {-1} (0) }\\frac {f (\mathbf {x}) }\\, d\sigma (\mathbf {x})

</Mathematik>

wo das Integral rechts über g (0), n&minus;1 dimensionale Oberfläche ist, die durch g (x) = 0 in Bezug auf das Inhalt-Maß von Minkowski definiert ist. Das ist als eine einfache integrierte Schicht bekannt.

Fourier verwandelt sich

Die Delta-Funktion ist ein gehärteter Vertrieb, und deshalb lässt sie sich einen bestimmten Fourier verwandeln. Formell findet man

:

Richtig sprechend, verwandelt sich der Fourier von einem Vertrieb wird durch die eindrucksvolle selbst Adjungiertkeit des Fouriers definiert verwandeln sich unter der Dualitätspaarung des gehärteten Vertriebs mit Funktionen von Schwartz. So wird als der einzigartige gehärtete Vertrieb definiert, der befriedigt

:

für alle Funktionen von Schwartz φ. Und tatsächlich folgt es daraus das

Infolge dieser Identität ist die Gehirnwindung der Delta-Funktion mit jedem anderen gehärteten Vertrieb S einfach S:

:

Das heißt ist das δ ist ein Identitätselement für die Gehirnwindung auf dem gehärteten Vertrieb, und tatsächlich der Raum des kompakt unterstützten Vertriebs unter der Gehirnwindung, eine assoziative Algebra mit der Identität die Delta-Funktion. Dieses Eigentum ist in der Signalverarbeitung grundsätzlich, weil die Gehirnwindung mit einem gehärteten Vertrieb ein geradliniges Zeit-Invariant System ist, und Verwendung des geradlinigen Zeit-Invariant Systems seine Impuls-Antwort misst. Die Impuls-Antwort kann zu jedem gewünschten Grad der Genauigkeit durch die Auswahl einer passenden Annäherung für δ geschätzt werden, und sobald es bekannt ist, charakterisiert es das System völlig. Sieh LTI System theory:Impulse Antwort und Gehirnwindung.

Das Gegenteil, das Fourier vom gehärteten Vertriebs-ƒ (ξ) = 1 umgestaltet, ist die Delta-Funktion. Formell wird das ausgedrückt

:

und strenger folgt es seitdem

:

für den ganzen Funktions-ƒ von Schwartz.

In diesen Begriffen stellt die Delta-Funktion eine andeutende Behauptung des orthogonality Eigentums des Kerns von Fourier auf R zur Verfügung. Formell hat man

:

Das, ist natürlich, Schnellschrift für die Behauptung, dass sich der Fourier vom gehärteten Vertrieb verwandelt

:

ist

:

der wieder durch die eindrucksvolle selbst Adjungiertkeit des Fouriers folgt, verwandeln sich.

Durch die analytische Verlängerung des Fouriers verwandeln sich, Laplace verwandeln sich von der Delta-Funktion wird gefunden, zu sein

:

Verteilungsableitungen

Die Verteilungsableitung des Delta-Vertriebs von Dirac ist der Vertrieb &prime; definiert auf dem kompakt unterstützten glatten Test fungiert φ durch

:

Die erste Gleichheit hier ist eine Art Integration durch Teile, weil, wenn δ eine wahre Funktion dann waren

:

Die k-th Ableitung von δ wird ähnlich als der Vertrieb definiert, der auf Testfunktionen durch gegeben ist

:

In besonderem δ ist ungeheuer differentiable Vertrieb.

Die erste Ableitung der Delta-Funktion ist die Verteilungsgrenze der Unterschied-Quotienten:

:

Richtiger hat man

:

wo τ der Übersetzungsmaschinenbediener ist, der auf Funktionen durch τφ (x) = φ (x+h), und auf einem Vertrieb S durch definiert ist

:

In der Theorie des Elektromagnetismus vertritt die erste Ableitung der Delta-Funktion einen Punkt magnetischer am Ursprung gelegener Dipol. Entsprechend wird es einen Dipol oder die Dublette-Funktion genannt.

Die Ableitung der Delta-Funktion befriedigt mehrere grundlegende Eigenschaften, einschließlich:

::

Außerdem ist die Gehirnwindung von δ' mit einer kompakt unterstützten glatten Funktion f

:

der aus den Eigenschaften der Verteilungsableitung einer Gehirnwindung folgt.

Höhere Dimensionen

Mehr allgemein, auf einem offenen Satz U im n-dimensional Euklidischen Raum R, der an einem Punkt in den Mittelpunkt gestellte Delta-Vertrieb von Dirac wird ein  U durch definiert

:

für den ganzen φ  S (U), der Raum aller glatten kompakt unterstützten Funktionen auf U. Wenn α = (α..., α) ein Mehrindex ist und  den verbundenen Mischmaschinenbediener der partiellen Ableitung anzeigt, dann wird die α Ableitung  δ δ durch gegeben

:

D. h. die α Ableitung von δ ist der Vertrieb, dessen Wert auf jeder Testfunktion φ die α Ableitung von φ an (mit dem passenden positiven oder negativen Zeichen) ist.

Von den ersten partiellen Ableitungen der Delta-Funktion wird als doppelte Schichten entlang den Koordinatenflugzeugen gedacht. Mehr allgemein ist die normale Ableitung einer einfachen auf einer Oberfläche unterstützten Schicht eine doppelte Schicht, die auf dieser Oberfläche unterstützt ist, und vertritt einen laminar magnetischen Monopol. Höhere Ableitungen der Delta-Funktion sind in der Physik als Mehrpole bekannt.

Höhere Ableitungen treten in Mathematik natürlich als die Bausteine für die ganze Struktur des Vertriebs mit der Punkt-Unterstützung ein. Wenn S ein Vertrieb auf U ist, der auf dem Satz unterstützt ist, aus einem einzelnen Punkt bestehend, dann gibt es eine ganze Zahl M und Koeffizienten c solch dass

:</Mathematik>

ist die grundsätzliche Lösung der Gleichung von Laplace im oberen Halbflugzeug. Es vertritt das elektrostatische Potenzial in einem halbunendlichen Teller, dessen Potenzial entlang dem Rand am festen an der Delta-Funktion gehalten wird. Der Kern von Poisson ist auch nah mit dem Vertrieb von Cauchy verbunden. Diese Halbgruppe entwickelt sich gemäß der Gleichung

:

wo der Maschinenbediener als der Vermehrer von Fourier streng definiert wird

:

Schwingungsintegrale

In Gebieten der Physik wie Welle-Fortpflanzung und Welle-Mechanik sind die beteiligten Gleichungen hyperbolisch und können so mehr einzigartige Lösungen haben. Infolgedessen sind die werdenden Delta-Funktionen, die als grundsätzliche Lösungen der verbundenen Probleme von Cauchy entstehen, allgemein Schwingungsintegrale. Ein Beispiel, das aus einer Lösung der Euler-Tricomi Gleichung der transonic Gasdynamik kommt, ist die wiederschuppige Luftfunktion

:

Obwohl sich das Verwenden vom Fourier verwandelt, ist es leicht zu sehen, dass das eine Halbgruppe in einem Sinn erzeugt, ist es nicht absolut integrable und kann so keine Halbgruppe des obengenannten starken Gefühls definieren. Viele werdende Delta-Funktionen gebaut als Schwingungsintegrale laufen nur im Sinne des Vertriebs zusammen (ein Beispiel ist der Kern von Dirichlet unten), aber nicht im Sinne Maßnahmen.

Ein anderes Beispiel ist das Problem von Cauchy für die Wellengleichung in R:

:

\begin {richten }\aus

c^ {-2 }\\frac {\\partial^2u} {\\teilweiser t^2} - \Delta u &= 0 \\

u=0,& \quad \frac {\\teilweise u\{\\teilweise t\= \delta\quad \rm {when\} t=0.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Die Lösung u vertritt die Versetzung vom Gleichgewicht einer unendlichen elastischen Schnur mit einer anfänglichen Störung am Ursprung.

Andere Annäherungen an die Identität dieser Art schließen die Sinc-Funktion ein

:

\eta_\varepsilon (x) = \frac {1} {\\Pi x }\\sin\left (\frac {x} {\\varepsilon }\\Recht)

= \frac {1} {2\pi }\\int_ {-1/\varepsilon} ^ {1/\varepsilon }\

\cos (k x) \; dk

</Mathematik>

und Bessel fungieren

:

\eta_\varepsilon (x) =

\frac {1} {\\varepsilon} J_ {1/\varepsilon }\

\left (\frac {x+1} {\\varepsilon }\\Recht).

</Mathematik>

Flugzeug-Welle-Zergliederung

Eine Annäherung an die Studie einer geradlinigen teilweisen Differenzialgleichung

:

wo L ein Differenzialoperator auf R ist, soll zuerst eine grundsätzliche Lösung suchen, die eine Lösung der Gleichung ist

:

Wenn L besonders einfach ist, kann dieses Problem häufig mit dem Fourier aufgelöst werden verwandeln sich direkt (als im Fall vom Kern von Poisson, und heizen Sie Kern bereits erwähnt). Für mehr komplizierte Maschinenbediener ist es manchmal zuerst leichter, eine Gleichung der Form zu denken

:

wo h eine Flugzeug-Welle-Funktion ist, bedeutend, dass er die Form hat

:

für einen Vektoren ξ. Solch eine Gleichung kann aufgelöst werden (wenn die Koeffizienten von L analytische Funktionen sind) durch den Cauchy-Kovalevskaya Lehrsatz oder (wenn die Koeffizienten von L unveränderlich sind) durch die Quadratur. Also, wenn die Delta-Funktion in Flugzeug-Wellen zersetzt werden kann, dann kann man im Prinzip geradlinige teilweise Differenzialgleichungen lösen.

Solch eine Zergliederung der Delta-Funktion in Flugzeug-Wellen war ein Teil einer allgemeinen Technik zuerst eingeführt im Wesentlichen von Johann Radon, und hat sich dann in dieser Form durch Fritz John (1955) entwickelt. Wählen Sie k, so dass n + k eine gleiche ganze Zahl, und für eine reelle Zahl s ist, stellen Sie

:

\frac {k! (2\pi i) ^ {n}} &n \text {even. }\

\end {Fälle} </Mathematik>

Dann wird δ durch die Verwendung einer Macht von Laplacian zum Integral in Bezug auf den Einheitsbereich-Maß-dω von g erhalten (x · ξ) für ξ im Einheitsbereich S:

:

Der Laplacian hier wird als eine schwache Ableitung interpretiert, so dass diese Gleichung genommen wird, um zu bedeuten, dass, für jeden Test φ, fungieren

:

Das Ergebnis folgt aus der Formel für das Newtonische Potenzial (die grundsätzliche Lösung der Gleichung von Poisson). Das ist im Wesentlichen eine Form der Inversionsformel für Radon verwandeln sich, weil es den Wert von φ (x) von seinen Integralen über Hyperflugzeuge wieder erlangt. Zum Beispiel, wenn n seltsam ist und k = 1, dann ist das Integral auf der rechten Seite

:\begin {richten }\aus

& {} \quad

c_n \Delta^ {(n+1)/2} _x\int\int_ {S^ {n-1}} \varphi (y) | (y-x) \cdot\xi | \, d\omega_\xi \, dy \\

& = c_n\Delta^ {(n+1)/2} _x\int_ {S^ {n-1}} \, d\omega_\xi \int_ {-\infty} ^\\infty |p|R\varphi (\xi, p+x\cdot\xi) \, dp

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo Rφ (ξ, p) Radon ist, verwandeln sich von φ:

:

Ein alternativer gleichwertiger Ausdruck der Flugzeug-Welle-Zergliederung, davon, ist

:

für n sogar und

:

für den seltsamen n.

Kerne von Fourier

In der Studie der Reihe von Fourier besteht eine Hauptfrage aus der Bestimmung, ob und in welchem Sinne die mit einer periodischen Funktion vereinigte Reihe von Fourier zur Funktion zusammenläuft. Die n teilweise Summe der Reihe von Fourier eines Funktions-ƒ der Periode 2π wird durch die Gehirnwindung (auf dem Zwischenraum [&minus;,]) mit dem Kern von Dirichlet definiert:

:

So,

:wo:

Ein grundsätzliches Ergebnis der elementaren Reihe von Fourier stellt fest, dass der Kern von Dirichlet zu ein Vielfache der Delta-Funktion als N   neigt. Das wird im Vertriebssinn, das interpretiert

:

für jeden kompakt unterstützten glatten Funktions-ƒ. So formell hat man

:

auf dem Zwischenraum [&minus;,].

Trotz dessen hält das Ergebnis für alle kompakt unterstützten dauernden Funktionen nicht: Das ist D läuft schwach im Sinne Maßnahmen nicht zusammen. Der Mangel an der Konvergenz der Reihe von Fourier hat zur Einführung einer Vielfalt von summability Methoden geführt, um Konvergenz zu erzeugen. Die Methode der Summierung von Cesàro führt zum Kern von Fejér

:

Die Fejér Kerne neigen zur Delta-Funktion in einem stärkeren Sinn das

:

für jeden kompakt unterstützten dauernden Funktions-ƒ. Die Implikation ist, dass die Reihe von Fourier jeder dauernden Funktion Cesàro ist, der zum Wert der Funktion an jedem Punkt addierbar ist.

Raumtheorie von Hilbert

Der Dirac Delta-Vertrieb ist dicht definiert unbegrenzt geradlinig funktionell auf dem Raum von Hilbert L vom Quadrat integrable Funktionen. Tatsächlich, glatt unterstützen kompakt Funktionen sind in L dicht, und die Handlung des Delta-Vertriebs auf solchen Funktionen ist bestimmt. In vielen Anwendungen ist es möglich, Subräume von L zu identifizieren und eine stärkere Topologie zu geben, auf der die Delta-Funktion einen begrenzten geradlinigen funktionellen definiert.

Räume von Sobolev

Der Sobolev, der Lehrsatz für Räume von Sobolev auf der echten Linie R einbettet, deutet dass jeder solcher Quadrat-Integrable-Funktions-ƒ dass an

:ist

automatisch dauernd, und befriedigt in besonderem

:

So ist δ ein begrenzter geradliniger funktioneller auf dem Raum von Sobolev H. Gleichwertig ist δ ein Element des dauernden Doppelraums H H. Mehr allgemein, in n Dimensionen, hat man zur Verfügung gestellt.

Räume von holomorphic fungieren

In der komplizierten Analyse geht die Delta-Funktion über die integrierte Formel von Cauchy herein, die das behauptet, wenn D ein Gebiet im komplizierten Flugzeug mit der glatten Grenze, dann ist

:

für den ganzen Holomorphic-Funktions-ƒ in D, die auf dem Verschluss von D dauernd sind. Infolgedessen wird die Delta-Funktion δ auf dieser Klasse von Holomorphic-Funktionen von integriertem Cauchy vertreten:

:

Lassen Sie mehr allgemein H (D) der Raum von Hardy sein, der aus dem Verschluss in L (D) von allen Holomorphic-Funktionen im bis zur Grenze von D dauernden D besteht. Dann strecken sich Funktionen in H (D) einzigartig bis zu Holomorphic-Funktionen in D und Cauchy aus, den integrierte Formel fortsetzt zu halten. Insbesondere für z  D ist die Delta-Funktion δ ein dauernder geradliniger funktioneller auf H (D). Das ist ein spezieller Fall der Situation in mehreren komplizierten Variablen, in denen, für glatte Gebiete D, der Szegő Kern die Rolle von integriertem Cauchy spielt.

Entschlossenheiten der Identität

In Anbetracht eines ganzen orthonormalen Basissatzes von Funktionen {} in einem trennbaren Raum von Hilbert, zum Beispiel, den normalisierten Eigenvektoren eines selbst adjungierten Kompaktmaschinenbedieners, kann jeder Vektor f als ausgedrückt werden:

:

Die Koeffizienten {α} werden als gefunden:

:

der durch die Notation vertreten werden kann:

:

eine Form der Notation des Büstenhalters-ket von Dirac. Diese Notation annehmend, nimmt die Vergrößerung von f die dyadische Form an:

:

Das Lassen von mich den Identitätsmaschinenbediener auf dem Raum von Hilbert, der Ausdruck anzeigen

:

wird eine Entschlossenheit der Identität genannt. Wenn der Raum von Hilbert der Raum L (D) Quadrat-Integrable-Funktionen auf einem Gebiet D, der Menge ist:

:

ist ein integrierter Maschinenbediener, und der Ausdruck für f kann als umgeschrieben werden:

:

Die Rechte läuft zu f im L Sinn zusammen. Es braucht in einem pointwise Sinn nicht zu halten, selbst wenn f eine dauernde Funktion ist. Dennoch ist es üblich, Notation zu missbrauchen und zu schreiben

:

auf die Darstellung der Delta-Funktion hinauslaufend:

:

Mit einem passenden aufgetakelten Raum von Hilbert (Φ, L (D), Φ), wo Φ  L (D) alle kompakt unterstützten glatten Funktionen enthält, kann diese Summierung in Φ, abhängig von den Eigenschaften der Basis φ zusammenlaufen. In den meisten Fällen vom praktischen Interesse kommt die orthonormale Basis aus einem integrierten oder Differenzialoperatoren, in welchem Fall die Reihe im Vertriebssinn zusammenläuft.

Unendlich kleine Delta-Funktionen

Cauchy hat einen unendlich kleinen verwendet, um einen Einheitsimpuls, ungeheuer hohe und schmale Dirac-Typ-Delta-Funktion niederzuschreiben, die in mehreren Artikeln 1827 befriedigt. Cauchy hat einen unendlich kleinen in Cours d'Analyse (1827) in Bezug auf eine Folge definiert, die zur Null neigt. Nämlich wird solch eine ungültige Folge ein unendlich kleiner in der Fachsprache von Cauchy und Lazare Carnots.

Moderne mit dem Satz theoretische Annäherungen erlauben, infinitesimals über den Ultramacht-Aufbau zu definieren, wo eine ungültige Folge ein unendlich kleiner im Sinne einer Gleichwertigkeitsklasse modulo eine in Bezug auf einen passenden Ultrafilter definierte Beziehung wird. Der Artikel dadurch enthält eine Bibliografie auf modernen Delta-Funktionen von Dirac im Zusammenhang eines unendlich klein bereicherten durch den hyperreals zur Verfügung gestellten Kontinuums. Hier kann das Delta von Dirac durch eine wirkliche Funktion gegeben werden, das Eigentum habend, das für jede echte Funktion F man als durch Fourier und Cauchy vorausgesehen hat.

Kamm von Dirac

Ein so genannter gleichförmiger "Puls bildet sich" von Delta-Maßnahmen von Dirac aus, der als ein Kamm von Dirac, oder als der Schah-Vertrieb bekannt ist, schafft eine ausfallende Funktion, die häufig in der Digitalsignalverarbeitung (DSP) und Signalanalyse der diskreten Zeit verwendet ist. Der Dirac-Kamm wird als die unendliche Summe gegeben, deren Grenze im Vertriebssinn, verstanden wird

:

der eine Folge von Punkt-Massen an jeder der ganzen Zahlen ist.

Bis zu einem gesamten unveränderlichen Normalisieren ist der Kamm von Dirac seinem eigenen Fourier gleich verwandeln sich. Das ist weil bedeutend, wenn ƒ Funktion von Schwartz ist, dann wird der periodization von ƒ durch die Gehirnwindung gegeben

:

In der besonderen Einzelheit,

:

\Delta </Mathematik>

ist genau die Summierungsformel von Poisson.

Sokhatsky-Weierstrass Lehrsatz

Der Sokhatsky-Weierstrass Lehrsatz, der in der Quant-Mechanik wichtig ist, verbindet die Delta-Funktion mit dem Vertrieb p.v.1/x, dem Hauptwert von Cauchy der Funktion 1/x, definiert durch

:

Die Formel von Sokhatsky setzt das fest

:

Hier wird die Grenze im Vertriebssinn, dem für alle kompakt unterstützten glatten Funktionen f, verstanden

:

Beziehung zum Delta von Kronecker

Das Kronecker Delta ist die durch definierte Menge

:

0 &i \not=j

\end {Fälle }\</Mathematik>

für alle ganzen Zahlen i, j. Diese Funktion befriedigt dann das folgende Analogon des durchrieselnden Eigentums: Wenn eine doppelt unendliche Folge, dann sind

:

Ähnlich für jede echte oder komplizierte geschätzte dauernde Funktion auf befriedigt das Delta von Dirac das durchrieselnde Eigentum

:

Das stellt die Delta-Funktion von Kronecker als ein getrenntes Analogon der Delta-Funktion von Dirac aus.

Anwendungen auf die Wahrscheinlichkeitstheorie

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird die Delta-Funktion von Dirac häufig verwendet, um einen getrennten Vertrieb oder einen teilweise getrennten, teilweise dauernden Vertrieb, mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion zu vertreten (der normalerweise verwendet wird, um völlig dauernden Vertrieb zu vertreten). Zum Beispiel kann die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion eines getrennten Vertriebs, der aus Punkten mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten besteht, als geschrieben werden

:

Als ein anderes Beispiel, denken Sie einen Vertrieb, welcher 6/10 der Zeit eine Standardnormalverteilung zurückgibt, und 4/10 der Zeit genau den Wert 3.5 (d. h. ein teilweise dauernder, teilweise getrennter Mischungsvertrieb) zurückgibt. Die Dichte-Funktion dieses Vertriebs kann als geschrieben werden

:

Die Delta-Funktion wird auch auf eine völlig verschiedene Weise verwendet, die Ortszeit eines Diffusionsprozesses (wie Brownsche Bewegung) zu vertreten. Die Ortszeit eines stochastischen Prozesses B (t) wird durch gegeben

:

und vertritt die Zeitdauer, die der Prozess am Punkt x im Rahmen des Prozesses ausgibt. Genauer in einer Dimension kann dieses Integral geschrieben werden

:

wo die Anzeigefunktion des Zwischenraums [x&minus;,x+&epsilon ist;].

Anwendung auf die Quant-Mechanik

Wir führen ein Beispiel dessen an, wie die Delta-Funktion in der Quant-Mechanik zweckdienlich ist. Die Welle-Funktion einer Partikel gibt den Wahrscheinlichkeitsumfang, eine Partikel innerhalb eines gegebenen Gebiets des Raums zu finden. Wie man annimmt, sind Welle-Funktionen Elemente des Raums von Hilbert L Quadrat-Integrable-Funktionen und der Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden, dass eine Partikel innerhalb eines gegebenen Zwischenraums das Integral des Umfangs der über den Zwischenraum quadratisch gemachten Welle-Funktion ist. Ein Satz {φ} Welle-Funktionen ist orthonormal, wenn sie durch normalisiert werden

:

wo sich δ hier auf das Delta von Kronecker bezieht. Eine Reihe orthonormaler Welle-Funktionen ist im Raum von Quadrat-Integrable-Funktionen abgeschlossen, wenn Welle-Funktion ψ als eine Kombination des φ ausgedrückt werden kann:

:

damit. Abgeschlossene orthonormale Systeme von Welle-Funktionen erscheinen natürlich als der eigenfunctions von Hamiltonian (eines bestimmten Systems) in der Quant-Mechanik, die die Energieniveaus misst, die den eigenvalues genannt werden. Der Satz von eigenvalues ist in diesem Fall als das Spektrum von Hamiltonian bekannt. In der Notation des Büstenhalters-ket, als oben, bezieht diese Gleichheit die Entschlossenheit der Identität ein:

:

Hier, wie man annimmt, sind die eigenvalues getrennt, aber der Satz von eigenvalues eines erkennbaren kann dauernd aber nicht getrennt sein. Ein Beispiel ist die Position erkennbar, Q&psi; (x) = Xψ (x). Das Spektrum der Position (in einer Dimension) ist die komplette echte Linie, und wird ein dauerndes Spektrum genannt. Jedoch, verschieden von Hamiltonian, hat der Positionsmaschinenbediener an richtigem eigenfunctions Mangel. Die herkömmliche Weise, diesen Fehler zu überwinden, soll die Klasse von verfügbaren Funktionen durch das Erlauben des Vertriebs ebenso breiter machen: D. h. um den Raum von Hilbert der Quant-Mechanik durch einen passenden aufgetakelten Raum von Hilbert zu ersetzen. In diesem Zusammenhang hat der Positionsmaschinenbediener einen ganzen Satz des Eigen-Vertriebs, der durch die Punkte y der echten Linie etikettiert ist, die durch gegeben ist

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Die eigenfunctions der Position werden durch in der Notation von Dirac angezeigt, und sind als Position eigenstates bekannt.

Ähnliche Rücksichten gelten für den eigenstates des Schwung-Maschinenbedieners, oder tatsächlich jeder andere selbst adjungierte unbegrenzte Maschinenbediener P auf dem Raum von Hilbert, vorausgesetzt dass das Spektrum von P dauernd ist und gibt es nicht degenerierten eigenvalues. In diesem Fall gibt es einen Satz Ω reeller Zahlen (das Spektrum), und eine Sammlung φ des Vertriebs, der durch die Elemente von Ω mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, solch dass

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D. h. φ sind die Eigenvektoren von P. Wenn die Eigenvektoren so dass normalisiert werden

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im Vertriebssinn, dann für jeden Test fungieren ψ,

:wo:

D. h. als im getrennten Fall gibt es eine Entschlossenheit der Identität

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wo das Maschinenbediener-geschätzte Integral wieder im schwachen Sinn verstanden wird. Wenn das Spektrum von P sowohl dauernde als auch getrennte Teile hat, dann schließt die Entschlossenheit der Identität eine Summierung über das getrennte Spektrum und ein Integral über das dauernde Spektrum ein.

Die Delta-Funktion hat auch noch viele Spezialanwendungen in der Quant-Mechanik wie die Delta-Potenzial-Modelle für ein einzelnes und doppeltes Potenzial gut.

Anwendung auf die Strukturmechanik

Die Delta-Funktion kann in der Strukturmechanik verwendet werden, um vergängliche Lasten oder Punkt-Lasten zu beschreiben, die Strukturen folgen. Die Regierungsgleichung eines einfachen Massenfrühlingssystems, das durch einen plötzlichen Kraft-Impuls in der Zeit aufgeregt ist, kann geschrieben werden

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wo die Masse, die Ablenkung und die Frühlingskonstante ist.

Als ein anderes Beispiel ist die Gleichung, die statische Ablenkung eines schlanken Balkens regelnd, gemäß der Theorie von Euler-Bernoulli,

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wo die sich biegende Steifkeit des Balkens, der Ablenkung, der Raumkoordinate und des Lastvertriebs ist. Wenn ein Balken durch eine Punkt-Kraft daran geladen wird, wird der Lastvertrieb geschrieben

:

Da die Integration der Delta-Funktion auf die Schritt-Funktion von Heaviside hinausläuft, hieraus folgt dass die statische Ablenkung eines schlanken Balken-Themas vielfachen Punkt-Lasten durch eine Reihe von piecewise Polynomen beschrieben wird.

Auch ein Punkt-Moment, einem Balken folgend, kann durch Delta-Funktionen beschrieben werden. Denken Sie zwei gegenüberliegende Punkt-Kräfte in einer Entfernung einzeln. Sie erzeugen dann einen Moment, dem Balken folgend. Lassen Sie jetzt die Entfernung sich der Grenze-Null nähern, während unveränderlich behalten wird. Der Lastvertrieb, im Uhrzeigersinn Moment annehmend, daran handelnd, wird geschrieben

:

q (x) &= \lim_ {d \to 0} \Big (F \delta (x) - F \delta (x-d) \Big) \\

&= \lim_ {d \to 0} \left (\frac {M} {d} \delta (x) - \frac {M} {d} \delta (x-d) \right) \\

&= M \lim_ {d \to 0} \frac {\\Delta (x) - \delta (x - d)} {d }\\\

&= M \delta' (x).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Punkt-Momente können so durch die Ableitung der Delta-Funktion vertreten werden. Die Integration der Balken-Gleichung läuft wieder auf piecewise polynomische Ablenkung hinaus.

Siehe auch

• Atom (messen Theorie)
• Grundsätzliche Lösung
• Die Funktion des Grüns
• Dirac messen
• Delta-Potenzial

Referenzen

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