In der mathematischen Physik sind Gleichungen der Bewegung Gleichungen, die das Verhalten eines physischen Systems in Bezug auf seine Bewegung als eine Funktion der Zeit beschreiben. Mehr spezifisch beschreiben die Gleichungen der Bewegung das Verhalten eines physischen Systems als eine Reihe mathematischer Funktionen in Bezug auf dynamische Variablen: Normalerweise werden Raumkoordinaten und Zeit verwendet, aber andere sind auch, wie Schwung-Bestandteile und Zeit möglich. Die allgemeinste Wahl wird Koordinaten verallgemeinert, die jede günstige Variable-Eigenschaft des physischen Systems sein können. Die Funktionen werden in einem Euklidischen Raum in der klassischen Mechanik definiert, aber werden durch gekrümmte Räume in der Relativität ersetzt. Wenn die Dynamik eines Systems bekannt ist, sind die Gleichungen die Lösungen der Differenzialgleichungen, die die Bewegung der Dynamik beschreiben.

Es gibt zwei Hauptbeschreibungen der Bewegung: Dynamik und kinematics. Dynamik ist allgemein, seit Schwüngen werden Kräfte und Energie der Partikeln in Betracht gezogen. In diesem Beispiel manchmal bezieht sich der Begriff auf die Differenzialgleichungen, die das System (z.B, das zweite Gesetz von Newton oder Euler-Lagrange Gleichungen), und manchmal zu den Lösungen jener Gleichungen befriedigt.

Jedoch ist kinematics einfacher, weil er nur räumliche und zeitzusammenhängende Variablen betrifft. In Verhältnissen der unveränderlichen Beschleunigung werden diese einfacheren Gleichungen der Bewegung gewöhnlich die "SUVAT" Gleichungen genannt, aus den Definitionen von kinematischen Mengen entstehend: Versetzung (S), anfängliche Geschwindigkeit (U), Endgeschwindigkeit (V), Beschleunigung (A), und Zeit (T). (sieh unten).

Gleichungen der Bewegung können deshalb unter diesen wichtigen classifiers der Bewegung gruppiert werden. In allen Fällen sind die Haupttypen der Bewegung Übersetzungen, Folgen, Schwingungen oder irgendwelche Kombinationen von diesen.

Historisch, Gleichungen der Bewegung, die in der klassischen Mechanik und der Erweiterung auf die himmlische Mechanik begonnen ist, um die Bewegung von massiven Gegenständen zu beschreiben. Später sind sie in der Elektrodynamik erschienen, als sie die Bewegung von beladenen Partikeln in elektrischen und magnetischen Feldern beschrieben haben. Mit dem Advent der allgemeinen Relativität sind die klassischen Gleichungen der Bewegung modifiziert geworden. In allen diesen Fällen waren die Differenzialgleichungen in Bezug auf eine Funktion, die die Schussbahn der Partikel in Bezug auf Koordinaten der Zeit und Raums, als unter Einfluss Kräfte oder Energietransformationen beschreibt. Jedoch können die Gleichungen der Quant-Mechanik auch als Gleichungen der Bewegung betrachtet werden, da sie Differenzialgleichungen des wavefunction sind, der beschreibt, wie sich ein Quant-Staat analog mit den Koordinaten der Zeit und Raums der Partikeln benimmt. Es gibt Analoga von Gleichungen der Bewegung in anderen Gebieten der Physik, namentlich Wellen. Diese Gleichungen werden unten erklärt.

Einführung

Qualitativ

Gleichungen der Bewegung schließen allgemein das folgende Schema ein.

1. Eine allgemeine Differenzialgleichung der Bewegung, identifiziert als ein physisches Gesetz, wird verwendet, um eine spezifische Gleichung zum Problem aufzustellen, dabei werden die Grenz- und Anfangswert-Bedingungen gestellt.
2. Etwas Funktion, die das System als eine Funktion der Position und Zeitkoordinaten beschreibt.
3. Die resultierende Differenzialgleichung wird dann für die Funktion gelöst.

Die Differenzialgleichung ist eine allgemeine Beschreibung der Anwendung und kann passend für eine spezifische Situation angepasst werden, die Lösung beschreibt genau, wie sich das System seit allen Zeiten nach den anfänglichen Bedingungen, und gemäß den Grenzbedingungen benehmen wird.

Quantitativ

In der Newtonischen Mechanik, einer Gleichung der Bewegung nimmt M die allgemeine Form einer 2. gewöhnlichen Differenzialordnungsgleichung (ODE) in der Position r an (sieh unten für Details) des Gegenstands:

wo t Zeit ist, und jeder Überpunkt eine Zeitableitung anzeigt.

Die anfänglichen Bedingungen werden durch die unveränderlichen Werte an t = 0 gegeben:

Eine alternative dynamische Variable zu r ist der Schwung p vom Gegenstand (obwohl weniger allgemein verwendet), d. h. eine 2. Ordnung ODE in p:

mit anfänglichen Bedingungen (wieder unveränderliche Werte)

Die Lösung r (oder p) zur Gleichung der Bewegung, die mit den Anfangswerten verbunden ist, beschreibt vom System seit allen Zeiten danach t = 0. Für mehr als eine Partikel gibt es getrennte Gleichungen für jeden (das ist gegen ein Statistisches Ensemble von vielen Partikeln in der Statistischen Mechanik und einem Vielpartikel-System in der Quant-Mechanik - wo alle Partikeln durch einen einzelnen Wahrscheinlichkeitsvertrieb beschrieben werden). Manchmal wird die Gleichung geradlinig sein und kann genau gelöst werden. Jedoch im Allgemeinen ist die Gleichung nichtlinear, und kann zu chaotischem Verhalten je nachdem führen, wie empfindlich das System zu den anfänglichen Bedingungen ist.

In der verallgemeinerten Mechanik von Lagrangian ersetzen die verallgemeinerten Koordinaten q (oder verallgemeinerte Schwünge p) die gewöhnliche Position (oder Schwung). Mechanik von Hamiltonian ist ein bisschen verschieden, es gibt zwei 1. Ordnungsgleichungen in den verallgemeinerten Koordinaten und Schwüngen:

wo q ein Vektor von verallgemeinerten Koordinaten ist (sieh auch unten), ähnlich ist p der verallgemeinerte Schwung-Vektor. Die anfänglichen Bedingungen werden ähnlich definiert.

Kinematische Gleichungen für eine Partikel

Positionsvektor

In irgendwelchen Differenzialgleichungen der Bewegung ist der Positionsvektor Menge am meisten gesucht, weil diese Funktion die Bewegung der Partikel - seine Position hinsichtlich eines gegebenen Koordinatensystems in einer Zeit t definiert. In drei Dimensionen ist es eine Funktion jedes Satzes von Raumkoordinaten, wie Kartesianische, kugelförmige polare und zylindrische Polarkoordinaten, und Zeit, die auch ein Parameter (allgemeine Variable) der ganzen Koordinate sein kann;

\bold {r}

& \equiv \bold {r }\\ist (x, y, z, t\right) \equiv x (t) \bold {\\Hut {e}} _x + y (t) \bold {\\Hut {e}} _y + z (t) \bold {\\Hut {e}} _z \\abgereist

& \equiv \bold {r }\\ist (r, \theta, \phi, t\right) \equiv r (t) \bold {\\Hut {e}} _r (\theta (t), \phi (t)) \\abgereist

& \equiv \bold {r }\\ist (r, \theta, z, t\right) \equiv r (t) \bold {\\Hut {e}} _r (\theta (t)) + z (t) \bold {\\Hut {e}} _z \\abgereist

& \, \! \cdots \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das sind verschiedene Darstellungen für den Positionsvektoren. Jeder Satz von dreidimensionalen Koordinaten und ihren entsprechenden Einheitsvektoren kann verwendet werden, um die Bewegung zu definieren - welch auch immer am einfachsten ist, kann verwendet werden. Jede Koordinate kann mit der Zeit parametrisiert werden; da jeder aufeinander folgende Wert der Zeit einer Folge von aufeinander folgenden durch die Koordinaten gegebenen Raumpositionen entspricht, so ist die Kontinuum-Grenze von vielen aufeinander folgenden Positionen der Pfad die Partikel-Spuren.

Die Kartesianischen Koordinaten sind die Umfänge der Vektor-Bestandteile, die mit entsprechenden Einheitsvektoren skalarmultipliziert werden, dann sind diese zu obatain der volle Vektor Vektor-zusätzlich. Koordinaten und Vektoren sind nicht genau dasselbe Ding, aber sind nah verbunden (sieh geradlinige Algebra, koordinieren Sie Vektoren und Basisvektoren). In den obengenannten Darstellungen, x, y, sind z Koordinaten, und sind Einheitsvektoren in den Richtungen der zusammenpassenden Koordinatenäxte beziehungsweise.

Im Fall von einer Dimension hat die Position nur einen Bestandteil, so degeneriert es effektiv zu einer Skalarkoordinate. Es konnte, sagen wir, ein Vektor in der X-Richtung oder der radialen Richtung sein. Oft wird s für einen willkürlichen eindimensionalen Versetzungsvektoren verwendet. Ausführlich;

Kinematische Mengen

Von der sofortigen Position haben r = r (t) (sofortige Bedeutung an einem sofortigen Wert der Zeit t), die sofortige Geschwindigkeit v = v (t) und Beschleunigung = (t) die allgemeinen, koordinatenunabhängigen Definitionen;