In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik ist ein normaler Raum ein topologischer Raum X, der Axiom T befriedigt: Alle zwei zusammenhanglosen geschlossenen Sätze X haben zusammenhanglose offene Nachbarschaft. Ein normaler Raum von Hausdorff wird auch einen T Raum genannt. Diese Bedingungen sind Beispiele von Trennungsaxiomen, und ihr weiter definieren strengthenings völlig normale Räume von Hausdorff, oder T Räume, und vollkommen normale Räume von Hausdorff oder T Räume.

Definitionen

Ein topologischer Raum X ist ein normaler Raum wenn, in Anbetracht irgendwelcher zusammenhanglosen geschlossenen Sätze E und F, es gibt offene Nachbarschaft U von E und V von F, die auch zusammenhanglos sind. Intuitiver sagt diese Bedingung, dass E und F durch die Nachbarschaft getrennt werden können.

Ein T Raum ist ein T Raum X, der normal ist; das ist zu X gleichwertig, Hausdorff und normal seiend.

Ein völlig normaler Raum oder ein hereditarily normaler Raum sind ein topologischer Raum X solch, dass jeder Subraum X mit der Subraumtopologie ein normaler Raum ist. Es stellt sich heraus, dass X völlig normal ist, wenn, und nur wenn alle zwei getrennten Sätze durch die Nachbarschaft getrennt werden können.

Völlig T Raum oder T Raum ist völlig normaler Hausdorff topologischer Raum X; gleichwertig muss jeder Subraum X ein T Raum sein.

Ein vollkommen normaler Raum ist ein topologischer Raum X, in dem alle zwei zusammenhanglosen nichtleeren geschlossenen Sätze E und F durch eine dauernde Funktion f von X bis die echte Linie R genau getrennt werden können: Die Vorimages {0} und {1} unter f, sind beziehungsweise, E und F. (In dieser Definition, die echte Linie kann durch den Einheitszwischenraum [0,1] ersetzt werden.)

Es stellt sich heraus, dass X vollkommen normal ist, wenn, und nur wenn X normal ist und jeder geschlossene Satz ein G-Satz ist. Gleichwertig, X ist vollkommen normal, wenn, und nur wenn jeder geschlossene Satz ein Nullsatz ist. Jeder vollkommen normale Raum ist automatisch völlig normal.

Ein Hausdorff vollkommen normaler Raum X ist ein T Raum, oder vollkommen T Raum.

Bemerken Sie, dass die Begriffe "normaler Raum" und "T" und abgeleitete Konzepte gelegentlich eine verschiedene Bedeutung haben. (Dennoch, "T" bedeutet immer dasselbe als "völlig T", was auch immer das sein kann.) Die Definitionen gegeben hier sind diejenigen gewöhnlich verwendet heute und diejenigen, die in Artikeln Wikipedia über Trennungsaxiome verwendet sind. Für mehr auf diesem Problem, sieh Geschichte der Trennungsaxiome.

Begriffe wie "normaler regelmäßiger normaler "und" Raumraum von Hausdorff" tauchen auch in der Literatur auf - sie bedeuten einfach, dass der Raum sowohl normal ist als auch die andere erwähnte Bedingung befriedigt. Insbesondere ein normaler Raum von Hausdorff ist dasselbe Ding wie ein T Raum. In Anbetracht der historischen Verwirrung der Bedeutung der Begriffe,

wir bevorzugen wörtliche Beschreibungen, wenn anwendbar, d. h. "normaler Hausdorff" statt "T", oder "völlig normaler Hausdorff" statt "T".

Völlig normale Räume und völlig T Räume werden anderswohin besprochen; sie sind mit der Parakompaktheit verbunden.

Ein lokal normaler Raum ist ein topologischer Raum, wo jeder Punkt eine offene Nachbarschaft hat, die normal ist. Jeder normale Raum ist lokal normal, aber das gegenteilige ist nicht wahr. Ein klassisches Beispiel eines völlig regelmäßigen lokal normalen Raums, der nicht normal ist, ist das Flugzeug von Nemytskii.

Beispiele von normalen Räumen

Die meisten in der mathematischen Analyse gestoßenen Räume sind normale Räume von Hausdorff, oder mindestens normale regelmäßige Räume:

• Alle metrischen Räume (und folglich alle metrizable Räume) sind vollkommen normaler Hausdorff;
• Alle pseudometrischen Räume (und folglich alle pseudometrisable Räume) sind vollkommen normaler Stammkunde, obwohl nicht in General Hausdorff;
• Alle Kompakträume von Hausdorff sind normal;
• Insbesondere der Stone-Cech compactification eines Raums von Tychonoff ist normaler Hausdorff;
• Die obengenannten Beispiele verallgemeinernd, sind alle Parakompakträume von Hausdorff normal, und alle regelmäßigen Parakompakträume sind normal;
• Alle topologischen Parakompaktsammelleitungen sind vollkommen normaler Hausdorff. Jedoch dort bestehen Sie Nichtparakompaktsammelleitungen, die nicht sogar normal sind.
• Alle Ordnungstopologien auf völlig bestellten Sätzen sind normal und Hausdorff hereditarily.
• Jeder regelmäßige zweit-zählbare Raum ist völlig normal, und jeder regelmäßige Raum von Lindelöf ist normal.

Außerdem sind alle völlig normalen Räume (selbst wenn nicht regelmäßig) normal. Raum von Sierpinski ist ein Beispiel eines normalen Raums, der nicht regelmäßig ist.

Beispiele von nichtnormalen Räumen

Ein wichtiges Beispiel einer nichtnormalen Topologie wird durch die Topologie von Zariski auf einer algebraischen Vielfalt oder auf dem Spektrum eines Rings angeführt, der in der algebraischen Geometrie verwendet wird.

Ein nichtnormaler Raum von einer Relevanz zur Analyse ist der topologische Vektorraum aller Funktionen von der echten Linie R zu sich mit der Topologie der pointwise Konvergenz.

Mehr allgemein stellt ein Lehrsatz von A. H. Stone fest, dass das Produkt von unzählbar vielen Nichtkompakträumen von Hausdorff nie normal ist.

Eigenschaften

Die Hauptbedeutung von normalen Räumen liegt in der Tatsache, dass sie "genug" dauernde reellwertige Funktionen, wie ausgedrückt, durch die folgenden Lehrsätze zulassen, die für jeden normalen Raum X gültig sind.

Das Lemma von Urysohn:

Wenn A und B zwei zusammenhanglose geschlossene Teilmengen X sind, dann dort besteht eine dauernde Funktion f von X bis die echte Linie R solch dass f (x) = 0 für den ganzen x in A und f (x) = 1 für den ganzen x in B.

Tatsächlich können wir die Werte von f nehmen, um völlig innerhalb des Einheitszwischenraums [0,1] zu sein.

(In mehr schmückenden Begriffen werden zusammenhanglose geschlossene Sätze durch die Nachbarschaft nicht nur getrennt, sondern auch durch eine Funktion getrennt.)

Mehr allgemein, der Erweiterungslehrsatz von Tietze:

Wenn A eine geschlossene Teilmenge X ist und f eine dauernde Funktion von bis R ist, dann dort besteht eine dauernde Funktion F: X  R, der f im Sinn dass F (x) = f (x) für den ganzen x in A. erweitert

Wenn U ein lokal begrenzter offener Deckel eines normalen Raums X ist, dann gibt es eine Teilung der Einheit genau ordnen U unter.

(Das zeigt die Beziehung von normalen Räumen zur Parakompaktheit.)

Tatsächlich muss jeder Raum, der irgendwelche dieser Bedingungen befriedigt, normal sein.

Ein Produkt von normalen Räumen ist nicht notwendigerweise normal. Diese Tatsache wurde zuerst von Robert Sorgenfrey bewiesen. Ein Beispiel dieses Phänomenes ist das Flugzeug von Sorgenfrey. Außerdem ist eine Teilmenge eines normalen Raumbedürfnisses nicht, normal sein (d. h. nicht jeder normale Raum von Hausdorff ist ein völlig normaler Raum von Hausdorff), seit jedem Raum von Tychonoff eine Teilmenge seines Stone-Cechs compactification (der normaler Hausdorff ist). Ein ausführlicheres Beispiel ist das Brett von Tychonoff.

Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen

Wenn ein normaler Raum R ist, dann ist es tatsächlich völlig regelmäßig.

So ist irgendetwas von "normalem R" zu "normalem völlig regelmäßig" dasselbe als, was wir normalerweise normalen Stammkunden nennen.

Quotienten von Kolmogorov nehmend, sehen wir, dass alle normalen T Räume Tychonoff sind.

Diese sind, was wir normalerweise normale Räume von Hausdorff nennen.

Gegenbeispiele zu einigen Schwankungen auf diesen Behauptungen können in den Listen oben gefunden werden.

Spezifisch ist Raum von Sierpinski normal, aber nicht regelmäßig, während der Raum von Funktionen von R bis sich Tychonoff, aber nicht normal ist.