In der geradlinigen Algebra ist ein Minderjähriger einer Matrix A die Determinante von einer kleineren Quadratmatrix, die von gekürzt ist, indem sie ein oder mehr von seinen Reihen oder Säulen umzieht. Erhaltene Minderjährige, indem sie gerade eine Reihe und eine Säule vom Quadrat matrices (die ersten Minderjährigen) entfernen, sind erforderlich, um Matrix cofactors zu berechnen, die der Reihe nach nützlich sind, um sowohl die Determinante als auch das Gegenteil des Quadrats matrices zu schätzen.

Ausführliche Definition

Lassen Sie A eine M × n Matrix sein, und k eine ganze Zahl mit 0]] (gelesene "M wählen k")

Weisen, k Reihen aus der M Reihen zu wählen, und gibt es

:

Weisen, k Säulen aus n Säulen zu wählen, gibt es insgesamt

:

Minderjährige der Größe k × k.

Nomenklatur

(Ich j) gering (hat häufig M angezeigt), eines n × n Quadratmatrix wird A als die Determinante (n  1) × (n  1) gebildete Matrix durch das Entfernen von seinem definiert ich streite mich lautstark und j Säule. (Ich, j) gering wird auch (ich, j) gering, oder einfach ich, j gering genannt.

M wird auch den Minderjährigen des Elements von der Matrix A genannt.

Ein Minderjähriger, der durch das Entfernen nur einer Reihe und Säule von einer Quadratmatrix gebildet wird (wie M) wird einen ersten Minderjährigen genannt. Wenn zwei Reihen und Säulen entfernt werden, wird das einen zweiten Minderjährigen genannt.

Cofactors und adjugate oder adjoint einer Matrix

(Ich j) cofactor C einer Quadratmatrix ist A gerade (1) Zeiten das Entsprechen (n  1) × (n  1) geringe M:

:C = (1) M

Die cofactor Matrix von A oder Matrix Eines cofactors, normalerweise angezeigten C, wird als n×n Matrix definiert, deren (ich j) Zugang (ich, j) cofactor von A. ist

Das Umstellen von C wird den adjugate oder klassischen adjoint von A. genannt (In der modernen Fachsprache, der "adjoint" einer Matrix bezieht sich meistenteils auf den entsprechenden adjoint Maschinenbediener.) Adjugate matrices werden verwendet, um das Gegenteil des Quadrats matrices zu schätzen.

Beispiel

Zum Beispiel, in Anbetracht der Matrix

:

\\, \, 1 & 4 & 7 \\

\\, \, 3 & 0 & 5 \\

- 1 & 9 & \! 11 \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

nehmen Sie an, dass wir den cofactor C finden möchten. Die geringe M ist die Determinante der obengenannten Matrix mit der Reihe 2, und Spalte 3 ist umgezogen (der folgende ist nicht Standardnotation):

:

\\, 1 & 4 & \Box \, \\

\\Box & \Box & \Box \, \\

- 1 & 9 & \Box \, \\

\end {vmatrix} </Mathematik> Erträge

\\, \, 1 & 4 \, \\

- 1 & 9 \, \\

\end {vmatrix} = (9-(-4)) = 13 </Mathematik>

wo die vertikalen Bars um die Matrix anzeigen, dass die Determinante genommen werden sollte. So ist C (-1) M

Ergänzung

Die Ergänzung, C, eines Minderjährigen, M, einer Quadratmatrix, A, wird durch die Determinante der Matrix gebildet, von dem alle Reihen und mit der M vereinigte Säulen entfernt worden sind. Die Ergänzung des ersten Minderjährigen eines Elements bloß dieses Elements zu sein.

Anwendungen

Die cofactors zeigen prominent in der Formel von Laplace für die Vergrößerung von Determinanten. Wenn alle cofactors einer Quadratmatrix A gesammelt, um eine neue Matrix derselben Größe zu bilden, und dann umgestellt werden, erhält man den adjugate von A, der im Rechnen des Gegenteils von kleinem matrices nützlich ist.

In Anbetracht einer M × n Matrix mit echten Einträgen (oder Einträgen von jedem anderen Feld) und Reihe r, dann dort besteht mindestens eine Nichtnull r × r gering, während alle größeren Minderjährigen Null sind.

Wir werden die folgende Notation für Minderjährige verwenden: Wenn A eine M × n Matrix ist, bin ich eine Teilmenge {1... M} mit k Elementen und J ist eine Teilmenge {1..., n} mit k Elementen, dann schreiben wir für den k × k gering, der den Reihen mit dem Index in mir und den Säulen mit dem Index in J entspricht.

• Wenn ich = J, dann zu sein, hat einen Hauptminderjährigen genannt.
• Wenn die Matrix, die einem Hauptminderjährigen entspricht, ein quadratischer ober verlassener Teil der größeren Matrix ist (d. h. es besteht aus Matrixelementen in Reihen und Säulen von 1 bis k), dann wird der Hauptminderjährige einen Haupthauptminderjährigen genannt. Für einen n × n Quadratmatrix gibt es n Haupthauptminderjährige. (Nicht in Übereinstimmung mit vielen Büchern. Manchmal ist der Haupthauptminderjährige ziehen in Betracht, um die Führung k x k Matrix zu sein.)
• Für Hermitian matrices können die Hauptminderjährigen verwendet werden, um für die positive Bestimmtheit zu prüfen.

Sowohl die Formel für die gewöhnliche Matrixmultiplikation als auch die Cauchy-Binet Formel für die Determinante des Produktes von zwei matrices sind spezielle Fälle der folgenden allgemeinen Behauptung über die Minderjährigen eines Produktes von zwei matrices.

Nehmen Sie an, dass A eine M × n Matrix ist, ist B ein n × p Matrix, ich bin eine Teilmenge {1... M} mit k Elementen und J ist eine Teilmenge {1..., p} mit k Elementen. Dann

:

wo sich die Summe über alle Teilmengen K von {1..., n} mit k Elementen ausstreckt. Diese Formel ist eine aufrichtige Erweiterung der Cauchy-Binet Formel.

Mehrgeradlinige Algebra-Annäherung

Eine systematischere, algebraische Behandlung des geringen Konzepts wird in der mehrgeradlinigen Algebra mit dem Keil-Produkt gegeben: Die K-Minderjährigen einer Matrix sind die Einträge in der kth Außenmacht-Karte.

Wenn die Säulen einer Matrix zusammen k auf einmal verkeilt werden, erscheinen die k × k Minderjährige als die Bestandteile der resultierenden K-Vektoren. Zum Beispiel, die 2 × 2 Minderjährige der Matrix

:

1 & 4 \\

3 & \! \!-1 \\

2 & 1 \\

\end {pmatrix} </Mathematik>

sind &minus;13 (von den ersten zwei Reihen), &minus;7 (von vor allen Dingen Reihe), und 5 (von den letzten zwei Reihen). Denken Sie jetzt das Keil-Produkt

:

wo die zwei Ausdrücke den zwei Säulen unserer Matrix entsprechen. Das Verwenden der Eigenschaften des Keil-Produktes, nämlich dass es bilinear ist und

:

und

:

wir können diesen Ausdruck zu vereinfachen

:

wo die Koeffizienten mit den Minderjährigen geschätzt früher übereinstimmen.