:For die Trennungsaxiome in der Topologie, sieh Trennungsaxiom.

In der axiomatischen Mengenlehre und den Zweigen der Logik, Mathematik und Informatik, die es, das Axiom-Diagramm der Spezifizierung verwenden, ist Axiom-Diagramm der Trennung, Teilmenge-Axiom-Schema oder Axiom-Diagramm des eingeschränkten Verständnisses, ein Diagramm von Axiomen in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre. Es wird auch das Axiom-Diagramm des Verständnisses genannt, obwohl dieser Begriff auch für das uneingeschränkte Verständnis gebraucht wird' hat unten besprochen. Im Wesentlichen sagt es, dass jede definierbare Unterklasse eines Satzes ein Satz ist.

Behauptung

Ein Beispiel des Diagramms wird für jede Formel φ auf der Sprache der Mengenlehre mit freien Variablen unter x, w..., w, A eingeschlossen. So ist B in φ nicht frei. Auf der formellen Sprache der Mengenlehre ist das Axiom-Diagramm:

:oder in Wörtern:

: In Anbetracht jedes Satzes A gibt es einen Satz B solch, dass, in Anbetracht jedes Satzes x, x ein Mitglied von B ist, wenn, und nur wenn x ein Mitglied von A und &phi ist; hält für x.

Bemerken Sie, dass es ein Axiom für jedes solches Prädikat φ gibt; so ist das ein Axiom-Diagramm.

Um dieses Axiom-Diagramm zu verstehen, bemerken Sie, dass der Satz B eine Teilmenge von A sein muss. So was das Axiom-Diagramm wirklich sagt, ist, dass, in Anbetracht eines Satzes A und ein Prädikat P, wir eine Teilmenge B finden können, wessen Mitglieder genau die Mitglieder sind, die P befriedigen. Durch das Axiom von extensionality ist dieser Satz einzigartig. Wir zeigen gewöhnlich diesen Satz mit der Notation des Satz-Baumeisters als {C  A an: P (C)}. So ist die Essenz des Axioms:

: Jede Unterklasse eines Satzes, der durch ein Prädikat definiert wird, ist selbst ein Satz.

Das Axiom-Diagramm der Spezifizierung ist für Systeme der axiomatischen mit der üblichen Mengenlehre verbundenen Mengenlehre ZFC charakteristisch, aber erscheint in radikal verschiedenen Systemen der alternativen Mengenlehre nicht gewöhnlich. Zum Beispiel verwenden Neue Fundamente und positive Mengenlehre verschiedene Beschränkungen des Axioms des Verständnisses der naiven Mengenlehre. Die Alternative Mengenlehre von Vopenka bringt ein spezifisches Argument an, richtige Unterklassen von Sätzen, genannt Halbsätze zu erlauben. Sogar in mit ZFC verbundenen Systemen wird dieses Schema manchmal auf Formeln mit begrenztem quantifiers, als in der Kripke-Platek Mengenlehre mit urelements eingeschränkt.

Beziehung zum Axiom-Diagramm des Ersatzes

Das Axiom-Diagramm der Trennung kann fast aus dem Axiom-Diagramm des Ersatzes abgeleitet werden.

Rufen Sie erstens dieses Axiom-Diagramm zurück:

:

für jedes funktionelle Prädikat F in einer Variable, die die Symbole A, B, C oder D nicht verwendet.

In Anbetracht eines passenden Prädikats P für das Axiom der Spezifizierung, definieren Sie den kartografisch darstellenden F durch F (D) = D, wenn P (D) wahr ist und F (D) = E, wenn P (D) falsch ist, wo E jedes Mitglied Eines solchen ist, dass P (E) wahr ist.

Dann ist der Satz B versichert durch das Axiom des Ersatzes genau der Satz B erforderlich für das Axiom der Spezifizierung. Das einzige Problem besteht darin, wenn kein solcher E besteht. Aber in diesem Fall ist der Satz B erforderlich für das Axiom der Trennung der leere Satz, so folgt das Axiom der Trennung aus dem Axiom des Ersatzes zusammen mit dem Axiom des leeren Satzes.

Deshalb wird das Axiom-Diagramm der Trennung häufig aus modernen Listen der Zermelo-Fraenkel Axiome ausgeschlossen. Jedoch ist es noch für historische Rücksichten, und zum Vergleich mit der Alternative axiomatizations der Mengenlehre wichtig, wie zum Beispiel in den folgenden Abteilungen gesehen werden kann.

Uneingeschränktes Verständnis

Das Axiom-Diagramm (des uneingeschränkten) Verständnisses liest:

:das ist:

:There besteht ein Satz B, dessen Mitglieder genau jene Gegenstände sind, die das Prädikat φ. befriedigen

Dieser Satz B ist wieder einzigartig, und wird gewöhnlich als {x angezeigt: φ (x, w... w)}.

Dieses Axiom-Diagramm wurde in den frühen Tagen der naiven Mengenlehre stillschweigend verwendet, bevor ein strenger axiomatization angenommen wurde. Leider führt es direkt zum Paradox von Russell durch die Einnahme φ (x), um ¬ (xx) zu sein (d. h., das Eigentum, die x setzen, ist nicht ein Mitglied von sich). Deshalb kann kein nützlicher axiomatization der Mengenlehre uneingeschränktes Verständnis, mindestens nicht mit der klassischen Logik verwenden.

Das Annehmen nur des Axiom-Diagramms der Spezifizierung war der Anfang der axiomatischen Mengenlehre. Die meisten anderen Zermelo-Fraenkel Axiome (aber nicht das Axiom von extensionality oder das Axiom der Regelmäßigkeit) sind dann notwendig geworden, um etwas davon wettzumachen, wem durch das Ändern des Axiom-Diagramms des Verständnisses zum Axiom-Diagramm der Spezifizierung verloren wurde - stellt jedes dieser Axiome fest, dass ein bestimmter Satz besteht, und diesen Satz durch das Geben eines Prädikats für seine Mitglieder definiert, um zu befriedigen, d. h. es ein spezieller Fall des Axiom-Diagramms des Verständnisses ist.

In der NBG Klassentheorie

In der Mengenlehre von von Neumann-Bernays-Gödel wird eine Unterscheidung zwischen Sätzen und Klassen gemacht.

Eine Klasse C ist ein Satz, wenn, und nur wenn sie einer Klasse E gehört.

In dieser Theorie gibt es ein Lehrsatz-Diagramm, das liest:

:das ist:

: Es gibt eine solche Klasse D, dass jede Klasse C ein Mitglied von D ist, wenn, und nur wenn C ein Satz ist, der P befriedigt.

Dieses Lehrsatz-Diagramm ist selbst eine eingeschränkte Form des Verständnisses, das das Paradox von Russell wegen der Voraussetzung vermeidet, dass C ein Satz sind.

Dann kann die Spezifizierung für Sätze selbst als ein einzelnes Axiom geschrieben werden:

:das ist:

: In Anbetracht jeder Klasse D und jedes Satzes A gibt es einen Satz B, dessen Mitglieder genau jene Klassen sind, die Mitglieder sowohl von A als auch von D sind;

oder noch einfacher:

: Die Kreuzung einer Klasse D und eines Satzes A ist selbst ein Satz B.

In diesem Axiom wird das Prädikat P durch die Klasse D ersetzt, die gemessen werden kann.

In höherwertigen Einstellungen

Auf einer getippten Sprache, wo wir über Prädikate messen können, wird das Axiom-Diagramm der Spezifizierung ein einfaches Axiom. Das ist ziemlich gleicher Trick, wie in den NBG Axiomen der vorherigen Abteilung verwendet wurde, wo das Prädikat durch eine Klasse ersetzt wurde, die dann gemessen wurde.

In der zweiten Ordnung höherwertige und Logiklogik mit der höherwertigen Semantik ist das Axiom der Spezifizierung eine logische Gültigkeit und braucht in eine Theorie nicht ausführlich eingeschlossen zu werden.

In den neuen Fundamenten von Quine

In der Neuen Fundament-Annäherung an die von W.V.O. Quine den Weg gebahnte Mengenlehre nimmt das Axiom des Verständnisses für ein gegebenes Prädikat die uneingeschränkte Form an, aber die Prädikate, die im Diagramm verwendet werden können, werden selbst eingeschränkt.

Das Prädikat (C ist nicht in C), wird verboten, weil dasselbe Symbol C an beiden Seiten des Mitgliedschaft-Symbols (und so an verschiedenen "Verhältnistypen") erscheint; so wird das Paradox von Russell vermieden.

Jedoch, indem wir P (C) nehmen um (C = C) zu sein, dem erlaubt wird, können wir die eine Reihe aller Sätze bilden. Für Details, sieh Schichtung.

Paul Halmos, Naive Mengenlehre. Princeton, New Jersey:D. Van Nostrand Company, 1960. Nachgedruckt vom Springer-Verlag, New York, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90092-6 (Ausgabe des Springers-Verlag).Jech, Thomas, 2003. Mengenlehre: Die Dritte Millennium-Ausgabe, Revidiert und Ausgebreitet. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-44085-2.Kunen, Kenneth, 1980. Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise. Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 0-444-86839-9.