In der Zahlentheorie sind Charaktere von Dirichlet bestimmte arithmetische Funktionen, die aus völlig multiplicative Charaktere auf den Einheiten dessen entstehen. Charaktere von Dirichlet werden verwendet, um Dirichlet L-Funktionen zu definieren, die Meromorphic-Funktionen mit einer Vielfalt von interessanten analytischen Eigenschaften sind.

Wenn ein Charakter von Dirichlet ist, definiert man seine Dirichlet L-Reihe durch

:

wo s eine komplexe Zahl mit dem echten Teil> 1 ist. Durch die analytische Verlängerung kann diese Funktion zu einer Meromorphic-Funktion auf dem ganzen komplizierten Flugzeug erweitert werden. Dirichlet L-Funktionen sind Generalisationen der Zeta-Funktion von Riemann und erscheinen prominent in der verallgemeinerten Hypothese von Riemann.

Charaktere von Dirichlet werden zu Ehren von Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet genannt.

Axiomatische Definition

Ein Dirichlet Charakter ist jede Funktion χ von den ganzen Zahlen bis die komplexen Zahlen, der die folgenden Eigenschaften hat:

1. Dort besteht eine positive ganze Zahl k solch dass χ (n) = χ (n + k) für den ganzen n.
2. Wenn gcd (n, k)> 1 dann χ (n) = 0; wenn gcd (n, k) = 1 dann χ (n)  0.
3. χ (mn) = χ (m) χ (n) für alle ganzen Zahlen M und n.

Aus dieser Definition können mehrere andere Eigenschaften abgeleitet werden.

Durch das Eigentum 3), χ (1) = χ (1×1) = χ (1) χ (1). Seitdem gcd (1, k) = 1, sagt Eigentum 2) χ (1)  0, so

Eigenschaften 3) und 4) Show, dass jeder Charakter von Dirichlet χ völlig multiplicative ist.

Eigentum sagt 1), dass ein Charakter mit der Periode k periodisch ist; wir sagen, dass χ ein Charakter zum Modul k ist. Das ist zum Ausspruch davon gleichwertig

Wenn gcd (a, k) = 1, der Lehrsatz von Euler sagt, dass ein  1 (mod k) (wo φ (k) die Totient-Funktion ist). Deshalb durch 5) und 4), χ (a) = χ (1) = 1, und durch 3), χ (a) = χ (a). So

Der einzigartige Charakter der Periode 1 wird den trivialen Charakter genannt. Bemerken Sie, dass jeder Charakter an 0 außer dem trivialen verschwindet, der 1 auf allen ganzen Zahlen ist.

Ein Charakter wird hauptsächlich genannt, wenn er den Wert 1 für Argumente coprime zu seinem Modul annimmt und sonst 0 ist. Ein Charakter wird echt genannt, wenn er echte Werte nur annimmt. Ein Charakter, der nicht echt ist, wird kompliziert genannt.

Das Referenzen des Charakters χ hängt von seinem Wert an −1 ab. Spezifisch, wie man sagt, ist χ wenn χ (−1) = −1 und selbst wenn χ (−1) = 1 seltsam.

Aufbau über Rückstand-Klassen

Charaktere von Dirichlet können in Bezug auf die Charakter-Gruppe des angesehen werden

Einheitsgruppe des Rings Z/kZ, wie gegeben, unten.

Rückstand-Klassen

In Anbetracht einer ganzen Zahl k definiert man die Rückstand-Klasse einer ganzen Zahl n als der Satz aller ganzen Zahlen, die zu n modulo k kongruent sind:

D. h. die Rückstand-Klasse ist der coset von n im Quotient-Ring Z/kZ.

Der Satz von Einheiten modulo k bildet eine abelian Gruppe der Ordnung, wo Gruppenmultiplikation durch gegeben wird

und

wieder zeigt die Phi-Funktion von Euler an.

Die Identität in dieser Gruppe ist die Rückstand-Klasse, und das Gegenteil dessen ist die Rückstand-Klasse wo

, d. h.. Zum Beispiel, für k=6, ist der Satz von Einheiten, weil 0, 2, 3, und 4 nicht coprime zu 6 sind.

Charaktere von Dirichlet

Ein Dirichlet Charakter modulo k ist ein Gruppenhomomorphismus von der Einheitsgruppe modulo k zu den komplexen Nichtnullzahlen

:

notwendigerweise mit Werten, die Wurzeln der Einheit seit den Einheiten modulo sind, bilden k eine begrenzte Gruppe. Wir können uns zu völlig multiplicative Funktion auf ganzen Zahlen heben, die zu k und dann zu allen ganzen Zahlen relativ erst sind, indem sie die Funktion erweitern, 0 auf ganzen Zahlen zu sein, die einen nichttrivialen Faktor genau wie k haben. Der Hauptdarsteller modulo k hat die Eigenschaften

: wenn gcd (n, k) = 1 und

: wenn gcd (n, k)> 1.

Wenn k 1 ist, ist der Hauptdarsteller modulo k 1 an allen ganzen Zahlen gleich. Für den k, der größer ist als 1, verschwindet der Hauptdarsteller modulo k an ganzen Zahlen, die einen nichttrivialen gemeinsamen Faktor mit k haben, und ist 1 an anderen ganzen Zahlen.

Einige Charakter-Tische

Die Tische helfen unten, die Natur eines Charakters von Dirichlet zu illustrieren. Sie präsentieren alle Charaktere vom Modul 1 zum Modul 10. Die Charaktere χ sind die Hauptdarsteller.

Modul 1

Es gibt Charakter modulo 1:

:

Das ist der triviale Charakter.

Modul 2

Es gibt Charakter modulo 2:

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (1) ganz bestimmt wird, da 1 die Gruppe von Einheiten modulo 2 erzeugt.

Modul 3

Es gibt Charaktere modulo 3:

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (2) ganz bestimmt wird, da 2 die Gruppe von Einheiten modulo 3 erzeugt.

Modul 4

Es gibt Charaktere modulo 4:

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (3) ganz bestimmt wird, da 3 die Gruppe von Einheiten modulo 4 erzeugt.

Die Dirichlet L-Reihe dafür ist

die Lambda-Funktion von Dirichlet (nah verbunden mit der Funktion von Dirichlet eta)

:

wo die Zeta-Funktion von Riemann ist. Die L-Reihe dafür ist die Beta-Funktion von Dirichlet

:

Modul 5

Es gibt Charaktere modulo 5. In den Tischen bin ich eine Quadratwurzel dessen.

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (2) ganz bestimmt wird, da 2 die Gruppe von Einheiten modulo 5 erzeugt.

Modul 6

Es gibt Charaktere modulo 6:

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (5) ganz bestimmt wird, da 5 die Gruppe von Einheiten modulo 6 erzeugt.

Modul 7

Es gibt Charaktere modulo 7. Im Tisch unten,

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (3) ganz bestimmt wird, da 3 die Gruppe von Einheiten modulo 7 erzeugt.

Modul 8

Es gibt Charaktere modulo 8.

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (3) und χ (5) ganz bestimmt wird, da 3 und 5 die Gruppe von Einheiten modulo 8 erzeugen.

Modul 9

Es gibt Charaktere modulo 9. Im Tisch unten,

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (2) ganz bestimmt wird, da 2 die Gruppe von Einheiten modulo 9 erzeugt.

Modul 10

Es gibt Charaktere modulo 10.

:

Bemerken Sie, dass χ durch χ (3) ganz bestimmt wird, da 3 die Gruppe von Einheiten modulo 10 erzeugt.

Beispiele

Wenn p eine sonderbare Primzahl, dann die Funktion ist

: wo das Symbol von Legendre ist, ist ein Charakter von Dirichlet modulo p.

Mehr allgemein, wenn M eine positive ungerade Zahl, die Funktion ist

: wo das Symbol von Jacobi ist, ist ein Charakter von Dirichlet modulo M. Diese werden die quadratischen Charaktere genannt.

Leiter

Rückstände mod N verursachen Rückstände mod M, für jeden Faktor M von N, durch die Verschrottung etwas Information. Die Wirkung auf Charaktere von Dirichlet geht in die entgegengesetzte Richtung hinein: Wenn χ ein Charakter mod M ist, verursacht er einen Charakter χ* mod N für jeden vielfachen N der M. Mit etwas Aufmerksamkeit auf die Werte, an denen Charaktere den Wert 0 nehmen, bekommt man das Konzept eines primitiven Charakters von Dirichlet, derjenige, der aus einem Faktor nicht entsteht; und die verbundene Idee vom Leiter, d. h. das natürliche (kleinste) Modul für einen Charakter. Charaktere von Imprimitive können fehlende Faktoren von Euler in L-Funktionen verursachen.

Geschichte

Charaktere von Dirichlet und ihre L-Reihe wurden von Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1831 eingeführt, um den Lehrsatz von Dirichlet auf arithmetischen Fortschritten zu beweisen. Er hat sie nur für echten s studiert, und besonders wenn s zu 1 neigt. Die Erweiterung dieser Funktionen zum Komplex s im ganzen komplizierten Flugzeug wurde von Bernhard Riemann 1859 erhalten.

Siehe auch

• Charakter-Summe
• Dirichlet L-Funktion
• Gaussian summieren
• Primitive Wurzel modulo n
• Klasse von Selberg
• Sieh Kapitel 6 von

• sieh Kapitel 13.