In der Graph-Theorie ist ein verbundener Bestandteil eines ungeleiteten Graphen ein Subgraph, in dem irgendwelche zwei Scheitelpunkte mit einander durch Pfade verbunden werden, und der mit keinen zusätzlichen Scheitelpunkten verbunden wird. Zum Beispiel hat der Graph, der in der Illustration rechts gezeigt ist, drei verbundene Bestandteile. Ein Graph, der selbst verbunden wird, hat genau einen verbundenen Bestandteil, aus dem ganzen Graphen bestehend.

Eine Gleichwertigkeitsbeziehung

Eine alternative Weise, verbundene Bestandteile zu definieren, schließt die Gleichwertigkeitsklassen einer Gleichwertigkeitsbeziehung ein, die auf den Scheitelpunkten des Graphen definiert wird.

In einem ungeleiteten Graphen ist ein Scheitelpunkt v von einem Scheitelpunkt u erreichbar, wenn es einen Pfad von u bis v gibt. In dieser Definition wird ein einzelner Scheitelpunkt als ein Pfad der Länge-Null aufgezählt, und derselbe Scheitelpunkt kann mehr vorkommen als einmal innerhalb eines Pfads.

Reachability ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung seitdem:

• Es ist reflexiv: Es gibt einen trivialen Pfad der Länge-Null von jedem Scheitelpunkt bis sich.
• Es ist symmetrisch: Wenn es einen Pfad von u bis v gibt, bilden dieselben Ränder einen Pfad von v bis u.
• Es ist transitiv: Wenn es einen Pfad von u bis v und einen Pfad von v bis w gibt, können die zwei Pfade zusammen verkettet werden, um einen Pfad von u bis w zu bilden.

Die verbundenen Bestandteile sind dann die veranlassten durch die Gleichwertigkeitsklassen dieser Beziehung gebildeten Subgraphen.

Die Zahl von verbundenen Bestandteilen

Die Zahl von verbundenen Bestandteilen ist ein wichtiger topologischer invariant eines Graphen. In der topologischen Graph-Theorie kann es als die zeroth Zahl von Betti des Graphen interpretiert werden. In der algebraischen Graph-Theorie kommt es der Vielfältigkeit 0 als ein eigenvalue der Matrix von Laplacian des Graphen gleich. Es ist auch der Index des ersten Nichtnullkoeffizienten des chromatischen Polynoms eines Graphen. Zahlen von verbundenen Bestandteilen spielen eine Schlüsselrolle in den Lehrsatz-Charakterisieren-Graphen von Tutte, die vollkommenen matchings, und in der Definition der Graph-Schwierigkeit haben.

Algorithmen

Es ist aufrichtig, um die verbundenen Bestandteile eines Graphen in der geradlinigen Zeit (in Bezug auf die Zahlen der Scheitelpunkte und Ränder des Graphen) zu schätzen, entweder Breitensuche oder Tiefensuche verwendend. In jedem Fall wird eine Suche, die an einem besonderen Scheitelpunkt v beginnt, den kompletten verbundenen Bestandteil finden, der v (und nicht mehr) vor dem Zurückbringen enthält. Um alle verbundenen Bestandteile eines Graphen zu finden sucht die Schleife durch seine Scheitelpunkte, eine neue Breite zuerst oder Tiefe anfangend, zuerst, wann auch immer die Schleife einen Scheitelpunkt erreicht, der in einen vorher gefundenen verbundenen Bestandteil nicht bereits eingeschlossen worden ist. Hopcroft und Tarjan (1973) beschreiben im Wesentlichen diesen Algorithmus und stellen fest, dass an diesem Punkt es "weithin bekannt" war.

Es gibt auch effiziente Algorithmen, um die verbundenen Bestandteile eines Graphen als Scheitelpunkte dynamisch zu verfolgen, und Ränder werden als eine aufrichtige Anwendung von Datenstrukturen des zusammenhanglosen Satzes hinzugefügt. Diese Algorithmen verlangen amortisierten O (α (n)) Zeit pro Operation, wo, Scheitelpunkte und Ränder hinzufügend und den verbundenen Bestandteil bestimmend, in dem ein Scheitelpunkt Fälle beide Operationen sind, und α (n) ein sehr langsam wachsendes Gegenteil der sehr schnell wachsenden Funktion von Ackermann ist. Ein zusammenhängendes Problem verfolgt verbundene Bestandteile, weil alle Ränder von einem Graphen eins nach dem anderen gelöscht werden; ein Algorithmus besteht, um das mit der unveränderlichen Zeit pro Abfrage und O (|V || E |) Zeit zu lösen, um die Datenstruktur aufrechtzuerhalten; das ist amortisierte Kosten von O (|V |) pro Rand-Auswischen. Für Wälder können die Kosten auf O reduziert werden (q + |V | loggen |V |), oder O (loggen Sie |V |) amortisierte Kosten pro Rand-Auswischen.

Forscher haben auch Algorithmen studiert, um verbundene Bestandteile in mehr beschränkten Modellen der Berechnung wie Programme zu finden, in denen das Arbeitsgedächtnis auf eine logarithmische Zahl von Bit (definiert durch die Kompliziertheitsklasse L) beschränkt wird. gefragt, ob es möglich ist, in logspace zu prüfen, ob zwei Scheitelpunkte demselben verbundenen Bestandteil eines ungeleiteten Graphen gehören, und hat eine Kompliziertheitsklasse SL von zur Konnektivität logspace-gleichwertigen Problemen definiert. Schließlich geschafft Entdeckung eines Algorithmus, um dieses Konnektivitätsproblem im logarithmischen Raum zu beheben, dem L = SL zeigend.

Siehe auch

• Stark verbundener Bestandteil, ein zusammenhängendes Konzept für geleitete Graphen
• Bestandteil von Biconnected
• Modulzergliederung, für eine richtige Generalisation von verbundenen Bestandteilen auf ungeleiteten Graphen
• Das Verbunden-Teilbeschriften, eine grundlegende Technik in der Computerbildanalyse, die auf verbundenen Bestandteilen von Graphen gestützt ist
• Perkolationstheory, eine Theorie, die das Verhalten von verbundenen Bestandteilen in zufälligen Subgraphen von Bratrost-Graphen beschreibt
• Centrality

Links

• Verbundene Bestandteile, Steven Skiena, Das Steinige Bach-Algorithmus-Behältnis