:This-Artikel ist über die Gleichwertigkeit in der Mathematik; weil die Gleichwertigkeit in der Musik Gleichwertigkeitsklasse (Musik) sieht.

In der Mathematik, in Anbetracht eines Satzes und einer Gleichwertigkeitsbeziehung auf, ist die Gleichwertigkeitsklasse eines Elements darin die Teilmenge aller Elemente, in denen dazu gleichwertig sind. Gleichwertigkeitsklassen unter Elementen einer Struktur werden häufig verwendet, um eine kleinere Struktur zu erzeugen, deren Elemente die Klassen sind, eine Beziehung jedes Element der Klassenanteile mit mindestens einem anderem Element einer anderen Klasse destillierend. Das ist als modding durch die Klasse bekannt. Die Klasse kann die Identität von einem der ursprünglichen Elemente, als annehmen, wenn Bruchteile in der reduzierten Form gestellt werden.

Notation und formelle Definition

Eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist eine binäre Beziehung, die drei Eigenschaften befriedigt:

• Für jedes Element in, (reflexivity),
• Für alle zwei Elemente und in, wenn, dann (Symmetrie) und
• Für alle drei Elemente, und in, wenn und, dann (transitivity).

Die Gleichwertigkeitsklasse eines Elements wird angezeigt und kann als der Satz definiert werden

Elemente, die mit dadurch verbunden sind. Die alternative Notation kann verwendet werden, um die Gleichwertigkeitsklasse des Elements spezifisch in Bezug auf die Gleichwertigkeitsbeziehung anzuzeigen. Wie man sagt, ist das - Gleichwertigkeitsklasse dessen.

Der Satz aller Gleichwertigkeitsklassen im gegebenen eine Gleichwertigkeitsbeziehung wird als angezeigt und den Quotient-Satz dadurch genannt. Jede Gleichwertigkeitsbeziehung hat eine kanonische Vorsprung-Karte, die Surjective-Funktion von zum gegebenen dadurch.

Analogie mit der Abteilung

Von dieser Operation kann (sehr informell) als die Tat gedacht werden, den Eingang zu teilen, der durch die Gleichwertigkeitsbeziehung, folglich sowohl der Name "Quotient" als auch die Notation gesetzt ist, die beide an die Abteilung erinnernd sind. Ein Weg, auf den der Quotient-Satz Abteilung ähnelt, besteht darin, dass, wenn begrenzt ist und die Gleichwertigkeitsklassen der ganze equinumerous sind, dann kann die Zahl von Gleichwertigkeitsklassen darin durch das Teilen der Zahl der Elemente in von der Zahl der Elemente in jeder Gleichwertigkeitsklasse berechnet werden. Vom Quotient-Satz kann als der Satz mit allen gleichwertigen identifizierten Punkten gedacht werden.

Beispiele

• Wenn der Satz aller Autos ist, und die Gleichwertigkeitsbeziehung ist, "hat dieselbe Farbe wie" dann besteht eine besondere Gleichwertigkeitsklasse aus allen grünen Autos. konnte mit dem Satz aller Autofarben natürlich identifiziert werden.
• Betrachten Sie den modulo als 2 Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Satz von ganzen Zahlen: Wenn, und nur wenn ihr Unterschied eine gerade Zahl ist. Diese Beziehung verursacht genau zwei Gleichwertigkeitsklassen: Eine Klasse, die aus allen geraden Zahlen und dem anderen besteht, aus allen ungeraden Zahlen bestehend. Unter dieser Beziehung, und vertreten alle dasselbe Element dessen.
• Lassen Sie, der Satz von befohlenen Paaren von ganzen Zahlen mit nicht die Null zu sein, und eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf gemäß der wenn und nur wenn zu definieren. Dann kann die Gleichwertigkeitsklasse des Paares mit der rationalen Zahl identifiziert werden, und diese Gleichwertigkeitsbeziehung und seine Gleichwertigkeitsklassen können verwendet werden, um eine formelle Definition des Satzes von rationalen Zahlen zu geben. Derselbe Aufbau kann zum Feld von Bruchteilen jedes integrierten Gebiets verallgemeinert werden.

Eigenschaften

Jedes Element dessen ist ein Mitglied der Gleichwertigkeitsklasse. Alle zwei Gleichwertigkeitsklassen und sind entweder gleich oder zusammenhanglos. Deshalb, der Satz aller Gleichwertigkeitsklassen von Formen eine Teilung: Jedes Element dessen gehört einer und nur einer Gleichwertigkeitsklasse. Umgekehrt kommt jede Teilung dessen aus einer Gleichwertigkeitsbeziehung auf diese Weise, gemäß der wenn und nur wenn und demselben Satz der Teilung gehören.

Es folgt aus den Eigenschaften einer Gleichwertigkeitsbeziehung das

:: wenn und nur wenn.

Mit anderen Worten, wenn eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf einem Satz ist, und und zwei Elemente dessen sind, dann sind diese Behauptungen gleichwertig:

Invariants

Wenn eine Gleichwertigkeitsbeziehung darauf ist, und ein Eigentum von Elementen von solchen ist, das wann auch immer, wahr ist, wenn wahr ist, dann, wie man sagt, ist das Eigentum ein invariant, oder bestimmt unter der Beziehung.

Ein häufiger besonderer Fall kommt vor, wenn eine Funktion von zu einem anderen Satz ist; wenn, wann auch immer, dann gesagt wird, ein morphism für, eine Klasse invariant unter, oder einfach invariant darunter zu sein. Das kommt z.B in der Charakter-Theorie von begrenzten Gruppen vor. Einige Autoren verwenden "vereinbar mit", oder "respektiert" gerade statt "invariant unter".

Jede Funktion selbst definiert eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf gemäß der wenn und nur wenn. Die Gleichwertigkeitsklasse dessen ist der Satz aller Elemente, in denen zu kartografisch dargestellt werden, d. h. die Klasse das umgekehrte Image dessen ist. Diese Gleichwertigkeitsbeziehung ist als der Kern dessen bekannt.

Mehr allgemein kann eine Funktion gleichwertige Argumente (unter einer Gleichwertigkeitsbeziehung auf) zu gleichwertigen Werten (unter einer Gleichwertigkeitsbeziehung auf) kartografisch darstellen. Solch eine Funktion ist als ein morphism von dazu bekannt.

Siehe auch

• Das Gleichwertigkeitsverteilen, eine Methode, um Testsätze in der auf dem Teilen des möglichen Programms gestützten Softwareprüfung auszudenken, geben in Gleichwertigkeitsklassen gemäß dem Verhalten des Programms auf jenen Eingängen ein
• Quotient-Gruppe, ein Aufbau von mathematischen Gruppen von Gleichwertigkeitsklassen von größeren Gruppen